北京市北京交通大学附属中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

**基本信息** 交大附中高二开学数学试卷聚焦概率、导数等核心知识，以线上支付统计、医学试验等真实情境考查数学应用能力，融入洛必达法则历史背景深化思维，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|概率（射击/支付）、导数（切线/单调性）|洛必达法则引入（题5），结合生活情境（题4）| |填空题|6/30|排列组合（圆桌座位）、函数零点、二项式定理|多空题（题14）考查分段函数最值与参数范围| |解答题|5/70|统计（频率分布直方图/分布列）、导数综合（极值/恒成立）|医学试验（题19）分层设问，导数与不等式证明（题21）体现逻辑推理|

交大附中2026~2027学年度第一学期开学 高二数学 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．某运动员射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，恰好命中一次的概率为（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．函数的导数是（    ） A． B． C． D． 4．线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下： 支付金额（元） 支付方式 大于1000 仅使用A 20人 8人 2人 仅使用B 10人 6人 4人 从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（    ） A． B． C． D． 5．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（    ） A．60种 B．68种 C．82种 D．108种 8．篮子里装有3个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个白球，一个黑球”，（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个问题： ①；②；③；④ 其中正确的命题是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 10．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．一个圆桌有八个座位，编号为至．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种． 12．函数有三个零点，则实数m的取值范围是 . 13．抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数大于甲骰子点数的概率为 . 14．设函数. ①若，则的最大值为____________________； ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________. 15．若展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大，则 ；该展开式的常数项为 （结果用数字表示）． 16．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示．关于函数有四个结论： ①函数在区间上单调递减； ②函数在区间上单调递减； ③函数的图象关于中心对称； ④； 其中所有正确结论的序号为 ． 3、 解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调增区间. 18．某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 19．某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示． 疱疹面积（单位：） 第1组（只） 3 4 1 2 0 第2组（只） 1 3 2 3 1 (1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率； (2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望； (3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明） 20．已知函数，其中. (1)若，求此时的值； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 21．已知函数，. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有2个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C D B D D B C B 11．48 12． 13． 14．2 15． 9 84 16．①③④ 17．（1）因为 所以 所以， 又因为 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为函数的定义域为 由，解得 所以函数单调递增区间为. 18．（1）， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； （2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； （3），理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 19．（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件， 其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为， 从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为， 所以. （2）依题意的可能取值为、、， 且，，， 所以的分布列为： 所以. （3）依题意可得，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 所以. 20．（1）函数，则， 因为，所以，解得. （2）的定义域为，， 所以在区间和上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的递增区间为，递减区间为； （3）当且时，， 证明如下： 令，则， 设， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，即， 所以的单调递增区间为. 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当且时，. 21．（1）解：由函数，可得， 令，可得， 则的关系，如图下表： 1 2 0 极大值 综上可得，函数. （2）解：由函数， 可得， 因为， 所以方程有两个不同的根，设为且，则有 极小值 极大值 综上可得，函数恰有2个极值点. （3）解：因为，所以，不等式恒成立， 设，可得， 所以的关系，如图下表： 1 0 极大值 所以，所以实数的最小值为. 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $