18.2.1 第2课时 菱形性质的运用- 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 18.2.1 第2课时 菱形性质的运用 第18章 矩形、菱形与正方形 18.2.2 第1课时 菱形的性质及运用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知菱形ABCD中，AB=6cm，求其余三边的长度，并说明理由。 解析：菱形的核心性质1：菱形的四条边都相等。∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形对边相等、邻边相等）。已知AB=6cm，∴BC=CD=AD=6cm。答：BC=6cm，CD=6cm，AD=6cm。 2. 已知菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，求对角线的交点O到AB的距离（提示：先求菱形面积）。 解析：菱形的核心性质2：对角线互相垂直平分，且菱形面积=对角线乘积的一半。首先计算菱形面积：S=（AC×BD）÷2=（8×6）÷2=24cm²。又∵菱形面积也等于底×高，以AB为底，设O到AB的距离为h，O是AC、BD交点，∴O到AB的距离是菱形AB边上高的一半（三角形中位线性质）。先求AB的长度：菱形对角线互相垂直，△AOB是直角三角形，AO=4cm，BO=3cm，由勾股定理得AB=√(4²+3²)=5cm。再由面积公式得：24=5×（2h），解得h=2.4cm。答：交点O到AB的距离为2.4cm。 3. 已知菱形ABCD中，∠A=60°，AB=5cm，求菱形的周长和面积。 解析：菱形的核心性质3：对角相等，邻角互补。∴∠A=60°，则∠B=120°。菱形四条边相等，周长=4×AB=4×5=20cm。连接AC，△ABC是等边三角形（AB=BC，∠A=60°），∴AC=AB=5cm，菱形面积=2×△ABC面积=2×（√3/4×5²）=（25√3）/2 cm²。答：周长为20cm，面积为（25√3）/2 cm²。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，求证：AE=AF。 解析：要证AE=AF，可结合菱形性质和全等三角形证明。∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，BC=CD，∠B=∠D（菱形对角相等、对边相等）。又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°。在△AEB和△AFD中，∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB=AD，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AE=AF。 注意：解答本课时题目时，需牢记菱形的核心性质：①四条边都相等；②对角线互相垂直平分且相等；③对角相等，邻角互补。解题时需灵活运用这些性质，结合全等三角形、勾股定理等知识，明确性质与所求问题的关联，避免混淆菱形与普通平行四边形的性质差异，确保计算和证明的严谨性。 菱形的性质 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特殊性质 四条边都相等 对角线互相垂直 是轴对称图形 菱形的面积 = 底×高或对角线乘积的一半 例 2 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2 cm，∠BAD = 120°，对角线 AC、BD 相交于点 O . 求这个菱形的两条对角线 AC 和 BD 的长（保留根号）. A D B C O A D B C O 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OB = OD， AB = AD（菱形的四条边都相等）. 又∵AO = AO， ∴△ABO ≌ △ADO. ∴∠BAO = ∠DAO = ∠BAD = 60°. 在△ABC 中，∵AB = BC， ∠BAC = 60°， ∴△ABC 为等边三角形. ∴AC = AB = 2 (cm). 在菱形 ABCD 中， ∵AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直）， ∴△AOB 为直角三角形. ∴BO = = = . ∴BD = 2BO = 2（cm). A D B C O 例 3 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分 CD，垂足为点 E. 求 ∠BCD 的大小. 解: ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD = DC = CB = BA (菱形的四条边都相等）. 又∵AE 垂直平分 CD， ∴AC = AD. ∴AC = AD = DC = CB = BA， 即△ADC 和△ABC 都是等边三角形. ∴ ∠ACD = ∠ACB = 60°. ∴∠BCD = 120°. B A C D O E 1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OE ⊥ AB，垂足为点 E．若 OE ＝ 3，菱形 ABCD 的 面积是 48，则菱形的边长为_____. 8 2. 如图，在菱形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点，DE ＝ AD， 连结 EC．若∠ADE ＝ 36°，则 ∠DEC 的度数为 ( ) A. 72° B. 54° C. 50° D. 48° B 3. 如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点， 过点 P 作 PE ⊥ BC 于点 E，PF ⊥ AB 于点 F. 若菱形 ABCD 的周长为 10，面积为 12， 则 PE + PF 的值为______. 4.8 【选自教材第130页 练习 第1题】 如图，已知菱形 ABCD 的边 AB = 5 cm，一条对角线 AC = 6 cm. 求这个菱形的周长和它的面积. 解: 如图，设 AC、BD 相交于点 O. 在菱形 ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5 cm，AC ⊥ BD， ∴ 菱形的周长＝4AB ＝20 cm. 又∵ AO ＝CO ＝ AC ＝ 3 cm，BO ＝ DO， 在 Rt△ABO 中， BO ＝ ＝ ＝ 4 (cm)， A C B D ∴ BD ＝ 8 cm， ∴ S菱形ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6×8 ＝24 ( cm2 ). O 【选自教材第130页 练习 第2题】 2. 如图，已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 恰好与其边 AB 的长相等. 求这个菱形各内角的大小. 解: 在菱形 ABCD 中，AB ＝AD，AB∥ CD. 又∵ BD ＝AB，∴ △ABD 为等边三角形， ∴ ∠A ＝60°，∴ ∠C ＝∠A ＝ 60°. ∵ DC∥AB，∴ ∠A + ∠ADC ＝ 180°， ∴ ∠ADC ＝ 120°， ∴ ∠ABC ＝∠ADC ＝120°. A B C D 3. 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且 DE ⊥ AB，AB = 4. （1）求两条对角线 AC、BD 的长（保留根号）； （2）求菱形 ABCD 的面积（精确到 0.1）. 【选自教材第130页 练习 第3题】 解:（1）如图，AC 交 BD 于点 O. ∵ E 是 AB 的中点，DE ⊥ AB， ∴ AE ＝ AB ＝ ×4 ＝ 2，BD ＝ AD. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD ＝AB ＝4，OB ＝ BD，OA ＝ AC，AC ⊥ BD. ∴ BD ＝ 4，OB ＝ 2. 在 Rt△AOB 中，AO ＝ ＝ ＝ ， ∴ AC ＝ 2AO ＝ 2. A B C D E O 3. 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且 DE ⊥ AB，AB = 4. （1）求两条对角线 AC、BD 的长（保留根号）； （2）求菱形 ABCD 的面积（精确到 0.1）. 【选自教材第130页 练习 第3题】 A B C D E （2）在菱形 ABCD 中， AC ＝ 2，BD ＝ 4， ∴ 菱形 ABCD 的面积为 AC · BD ＝ ×2×4 ≈ 13.9. $