18.2.2 第1课时 菱形的判定定理1- 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 18.2.2 第1课时 菱形的判定定理1 第18章 矩形、菱形与正方形 18.2.2 第1课时 菱形的性质及运用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知菱形ABCD中，AB=6cm，求其余三边的长度，并说明理由。 解析：菱形的核心性质1：菱形的四条边都相等。∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形对边相等、邻边相等）。已知AB=6cm，∴BC=CD=AD=6cm。答：BC=6cm，CD=6cm，AD=6cm。 2. 已知菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，求对角线的交点O到AB的距离（提示：先求菱形面积）。 解析：菱形的核心性质2：对角线互相垂直平分，且菱形面积=对角线乘积的一半。首先计算菱形面积：S=（AC×BD）÷2=（8×6）÷2=24cm²。又∵菱形面积也等于底×高，以AB为底，设O到AB的距离为h，O是AC、BD交点，∴O到AB的距离是菱形AB边上高的一半（三角形中位线性质）。先求AB的长度：菱形对角线互相垂直，△AOB是直角三角形，AO=4cm，BO=3cm，由勾股定理得AB=√(4²+3²)=5cm。再由面积公式得：24=5×（2h），解得h=2.4cm。答：交点O到AB的距离为2.4cm。 3. 已知菱形ABCD中，∠A=60°，AB=5cm，求菱形的周长和面积。 解析：菱形的核心性质3：对角相等，邻角互补。∴∠A=60°，则∠B=120°。菱形四条边相等，周长=4×AB=4×5=20cm。连接AC，△ABC是等边三角形（AB=BC，∠A=60°），∴AC=AB=5cm，菱形面积=2×△ABC面积=2×（√3/4×5²）=（25√3）/2 cm²。答：周长为20cm，面积为（25√3）/2 cm²。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，求证：AE=AF。 解析：要证AE=AF，可结合菱形性质和全等三角形证明。∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，BC=CD，∠B=∠D（菱形对角相等、对边相等）。又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°。在△AEB和△AFD中，∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB=AD，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AE=AF。 注意：解答本课时题目时，需牢记菱形的核心性质：①四条边都相等；②对角线互相垂直平分且相等；③对角相等，邻角互补。解题时需灵活运用这些性质，结合全等三角形、勾股定理等知识，明确性质与所求问题的关联，避免混淆菱形与普通平行四边形的性质差异，确保计算和证明的严谨性。 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. A B C D 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 且 AB = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形. 你还有其他的判定方法吗？ 动手操作 用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由. 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 试一试 如图，作一个四条边都相等的四边形. 作法： A B C D 1. 作两条相等的线段 AB、AD； 2. 分别以点 B 和点 D 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧相交于点 C； 3. 连结 BC、CD. 四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. 它是菱形吗，怎么证明？ 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA . 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵AB = CD，DA = BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又 ∵AB = BC， ∴ □ ABCD 是菱形. A B C D 归 纳 菱形的判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言： ∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD . ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 思 考 有三条边相等的四边形是菱形吗？画一画. 例 4 如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是四条边的中点. 试问：四边形 EFGH 是什么图形？并说明理由. A B D C E H F G 解题思路： 1. 先证明这四个三角形全等. 2. 再利用菱形的判定定理 1. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AD = BC，AB = CD． ∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点， ∴AH=DH=BF=CF，AE = BE = CG = DG． ∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)， ∴HE = FE = FG = HG. ∴四边形 EFGH 是菱形． A B D C E H F G 1. 如图，在 □ ABCD 中，若添加一个条件使得 □ ABCD 是菱形，则这个条件可以是 ( ) A. ∠ABC ＝ 90° B. AB ＝ AD C. AB ＝ CD D. AB∥CD B 2. 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、 CD 、AC、BD 的中点，添加下列条件，可以判定 四边形 EHFG 为菱形的是（ ） A. AC ＝BD B. AB ∥ CD C. AD ＝ BC D. AC ⊥ BD C 【选自教材第132页 练习 第1题】 你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这是一个特殊的平行四边形——菱形. 现在你能说明其中的理由吗？ 解: 如图所示，沿着虚线剪开后，得到四边形的四条边长都等于 AB 的长，所以这个四边形是菱形. 【选自教材第132页 练习 第2题】 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，AB = AD，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，连结 DE . 求证：四边形 ABED 是菱形. 证明：∵ AD∥BC，∴ ∠1 ＝∠3. ∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠1＝∠2， ∴ ∠2＝∠3，∴ AB ＝ BE. ∵ AB ＝ AD，∴ AD ＝ BE. 又∵ AD∥BE， ∴ 四边形 ABED 是平行四边形. 又∵ AB ＝AD， ∴ 四边形 ABED 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). A B E C D 1 2 3 解: □ ABCD 是菱形. 理由如下: ∵ PE ⊥ AB，PF ⊥ AD，PE ＝ PF， ∴ AC 是∠DAB 的平分线， ∴ ∠DAC ＝∠BAC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，∴ ∠BAC ＝∠ACD， ∴ ∠DAC ＝∠ACD，∴ AD ＝ DC， 3. 如图，在 □ ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上的一点， PE ⊥ AB，PF ⊥ AD，垂足分别为点 E、F，且 PE = PF. 问：□ ABCD 是菱形吗？为什么？ 【选自教材第132页 练习 第3题】 ∴ 四边形 ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). A B C D P E F 返回 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥ AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为(　　) A．4 B．8 C．6 D．10 B 中考考法 15 2．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连结EF，EO，FO，则下列结论错误的是(　　) A．EF＝DO B．EF⊥AO C．四边形EOFA是菱形 D．四边形EBOF是菱形 D 返回 中考考法 16 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，AD交EF于点O，则∠AOF＝________°． 90 中考考法 17 返回 【点拨】如图，∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形，∠2＝∠3. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3.∴AE＝DE. ∴平行四边形AEDF为菱形．∴AD⊥EF.∴∠AOF＝90°. 中考考法 18 返回 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝8．点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交 BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的长为________． 5.5 中考考法 19 5．如图，已知四边形ABCD的四条边都相等，等边三角形AMN的顶点M，N分别在边BC，CD上，且AM＝AB，则∠C的度数为(　　) A．100° B．105° C．110° D．120° 中考考法 20 【点拨】∵四边形ABCD的四条边都相等，∴AB＝AD，四边形ABCD是菱形．∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥ BC.∴∠DAB＋∠B＝180°.∵△AMN是等边三角形，∴∠MAN＝60°，AM＝AN. 又∵AM＝AB，∴AB＝AD＝AM＝AN.∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND. ∴由三角形的内角和定理得∠BAM＝∠NAD. 中考考法 21 返回 ∴设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠AMB＝∠B＝180°－60°－2x＝120°－2x. 又∵∠BAM＋∠B＋∠AMB＝180°， ∴x＋2(120°－2x)＝180°，解得x＝20°. ∴∠C＝∠BAD＝2×20°＋60°＝100°. 【答案】A 中考考法 22 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的判定 菱形的判定定理 1：四条边相等的四边形是菱形. $