18.2.2 第1课时 菱形的判定定理1（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

第 1 课时 菱形的判定定理1 18.2.2 菱形的判定 第18章 矩形、菱形与正方形 八年级下册数学（华师版） 1. 运用菱形的定义来判定菱形；（重点） 2. 利用菱形的性质（四条边相等）来判定菱形. （难点） 学习目标 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 复习回顾 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： 且 AB = AD， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 四条边都相等的四边形是菱形 1 探究新知 思考1 菱形是特殊的平行四边形，具有如下性质: 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢? 1. 四条边都相等: 2. 两条对角线互相垂直. 可以根据菱形的特殊性质来猜想菱形的判定方法. 思考2 对于一般的四边形，如何寻找判定它是不是菱形的方法呢? 试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立. 由菱形的性质“四条边都相等”，你可能会想到菱形的一种判定方法: 如果一个四边形的_______________，那么它肯定是一个菱形. 四条边都相等 试一试 如图，作一个四条边都相等的四边形. 作法： (1) 作两条相等的线段 AB、AD； (2) 分别以点 B 和点 D 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧相交于点 C； (3) 连结 BC、CD；四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. 观察你所画的图形，它是菱形吗? D A B C 菱形的判定定理 1 四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言： 在四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 思考 三条边都相等的四边形是菱形吗？ 不一定！ 反例： A B C D 知识要点 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 【定理证明】 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 【练一练】 1.下列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 例1 如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是四条边的中点，试问：四边形 EFGH 是什么图形 ? 并说明理由. 分析 四边形 EFCH 的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四边形 EFGH 是菱形. 典例精析 证明 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = CD，∠A =∠D = 90°. ∵点 E、F、G 为 AB、AD、CD 的中点， ∴ AE = DG，AF = DF. ∴△AEF≌△DGF.∴ EF=FG. 同理可得 EF = EH = HG = FG. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. A B C D E F G H 延伸 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中 点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD = BC，AB = CD，∠A = ∠C， ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴△AEF≌△CGH. ∴EF = GH. 同理可得 FG = EH. 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例2 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 典例精析 A B C D O E 【练一练】 2. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，DE∥AC , CE ∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形 证明 ∵ DE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC = OD， ∴ 四边形 OCED 是菱形． 例3 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm， BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ AC＝DF＝AD＝CF. ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 典例精析 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 判定定理1：四边都相等的四边形是菱形. 菱形的判定 当堂小结 1. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60° B 解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE， ∴ AC∥DE，AC = DE. ∴ 四边形 ACED 为平行四边形. 当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．故选 B． 当堂练习 2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 到点 E，使 AE = AB，连接 ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形 ACDE 成为菱形的是（　　） A．AB = AD B．AB = ED C．CD = AE D．EC = AD B 3.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F． 求证：四边形 AEDF 是菱形． 证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD = ∠CAD. 又∵EF⊥AD，∴∠AOE = ∠AOF = 90°. ∵在△AEO 和△AFO 中 ∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴ EO = FO，AE = AF. ∵ EF 垂直平分 AD， ∴ EF、AD 相互平分， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形. 又 ∵AE = AF， ∴ 平行四边形 AEDF 为菱形． 证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE =∠FAE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB. ∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE. ∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形. ∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形. 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作 ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O， 若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长． 解：∵ 四边形 ABEF 为菱形， ∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO． 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4， ∴ AE = 2AO = 8． $