18.3 正方形 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 18.3 正方形 第18章 矩形、菱形与正方形 18.3 正方形 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知正方形ABCD的边长为7cm，利用正方形的性质，求该正方形的周长、面积以及对角线的长度。 解析：正方形是特殊的平行四边形，兼具矩形和菱形的所有核心性质：四条边都相等、四个角均为直角、对角线相等且互相垂直平分。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=7cm。① 周长：正方形周长=4×边长=4×7=28cm；② 面积：正方形面积=边长×边长=7×7=49cm²；③ 对角线：由勾股定理得，对角线长度=√(7²+7²)=7√2 cm。答：周长为28cm，面积为49cm²，对角线长为7√2 cm。 2. 已知正方形ABCD中，对角线AC=12cm，求正方形的边长和面积。 解析：正方形的对角线相等且互相垂直平分，对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形。设正方形边长为a，根据勾股定理，正方形对角线长度=√(a²+a²)=a√2。已知AC=12cm，即a√2=12，解得a=6√2 cm（边长为正数）。面积=边长×边长=(6√2)²=72cm²。答：边长为6√2 cm，面积为72cm²。 3. 已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，求OA、OB的关系，并说明理由。 解析：OA=OB且OA⊥OB。理由：正方形的对角线相等且互相垂直平分，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，且AC与BD互相平分、互相垂直，∴OA=½AC，OB=½BD，因此OA=OB；又∵AC⊥BD，∴OA⊥OB。答：OA与OB相等且垂直，即OA=OB，OA⊥OB。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是OB上一点，AE⊥CE，求证：AE=CE。 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴对角线AC与BD互相垂直平分且相等，∴OA=OC，∠AOB=∠COB=90°。在△AOE和△COE中，OA=OC，∠AOE=∠COE=90°，OE=OE（公共边），∴△AOE≌△COE（SAS）。由全等三角形对应边相等，可得AE=CE。 注意：解答本课时题目时，需牢记正方形的核心性质：①四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线相等且互相垂直平分（兼具矩形和菱形的对角线性质）。解题时需灵活运用这些性质，结合勾股定理、全等三角形等知识，明确正方形与矩形、菱形的区别与联系，避免混淆三者性质，确保计算准确、证明逻辑严谨。 仔细观察下列实际生活中的物品，你能发现什么？ 都有正方形的形象. 你还能举出其他的例子吗？ 我们已经学了矩形和菱形，想一想它们怎么才能变成正方形？ 5 cm 8 cm 5 cm 一组邻边相等 矩形 正方形 一个角是直角 菱形 正方形 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形的定义： 根据定义，你能猜想正方形具有哪些性质？ 猜想：1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 2. 正方形对角线相等且互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角. 尝试证明 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四条边都相等，四个角都是直角. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A = 90°，AB = AD（正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形， 所以四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义）， 且四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）. ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = BC = CD = AD. A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交与点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC ⊥ BD. 证明：在四边形 ABCD 中， ∵正方形是矩形， ∴AO = BO = CO = DO. 又∵正方形是菱形， ∴AC ⊥ BD. A B C D O 动手操作 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？ 是轴对称图形， 有 4 条对称轴. 归 纳 边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对角线相等且互相垂直平分 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直平分 对角线相等且互相平分 四个角都是直角 对角相等 对角相等 对边平行，四条边相等 对边平行，四条边相等 对边平行且相等 中心对称 轴对称、 中心对称 轴对称、 中心对称 轴对称、 中心对称 例 1 如图，已知正方形 ABCD . 求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小. A B C D O 分析：由正方形的特殊性质， 易证△ABO≌△CBO， 从而可得∠ABD = ×90°= 45°， 同理可得∠DAC = 45°. 可知∠DOC = 90°. 老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形. 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务.这种检验可信吗？ 讨 论 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形. A B C D O 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下. 思 考 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 一个角是直角 平行四边形 矩形 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 菱形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 矩形、正方形 矩形、菱形、正方形 B 菱形、正方形 菱形、正方形 2. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， E、F 分别为 AC、BD 上的点，且 OE ＝ OF，连结 AF、 BE、EF．若∠AFE ＝25°，则∠CBE 的度数为( ) A. 70° B. 65° C. 55° D. 50° B 返回 1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC B 中考考法 17 返回 2．[自贡中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′.则点D′的坐标为(　　) A．(－3，5) B．(5，－3) C．(－2，5) D．(5，－2) A 中考考法 18 返回 3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为________． 5 中考考法 19 返回 4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连结BF，则∠AFB的度数为________． 22.5° 中考考法 20 5．[广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连结AE，AF，CE，CF． 中考考法 21 (1)求证：△ADE≌△CBF． 中考考法 22 中考考法 23 返回 中考考法 24 正方形的定义和性质 定义 性质 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四个角都是直角 四条边都相等 对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 课堂小结 【证明】∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°. 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. (2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长． 【解】如图，连结AC交BD于点O. ∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OB＝BD＝5， ∴AF＝CF，AE＝CE. 由(1)知△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∴AF＝CF＝AE＝CE. ∵四边形AECF的周长为4，∴AF＝. 在Rt△AOF中，OF＝＝3， ∴DE＝BF＝OB－OF＝5－3＝2， ∴EF＝BD－BF－DE＝6. $