期末复习（四）矩形、菱形与正方形 常考题型突破-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(华东师大版·新教材)

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦矩形、菱形与正方形，包含常考题型突破，通过例题解析与变式训练搭建复习支架，涵盖性质判定及综合应用，助力学生系统梳理知识。 资料以“题型示例-规范证明-变式巩固”为特色，通过矩形判定、菱形性质等具体案例，培养学生几何直观与推理能力，发展数学思维。例题解答逻辑清晰，变式训练强化应用，适合九年级学生升学备考，助力教师高效教学，帮助学生提升几何综合解题能力。

2 期末复习（四）　矩形、菱形与正方形 3 常考题型突破 4 例1　如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连结DF，AF与DE交于点O. （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB=3，OE=2，BF=5，求证：AB⊥AF. 题型1　矩形的性质与判定 变1 例2 变2 例3 变3 例1 5 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD⫽BC，AD=BC. ∵CF=BE，∴CF+CE=BE+CE，∴EF=BC=AD. ∵AD⫽EF，∴四边形AEFD是平行四边形. ∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形. （2）由（1）知，四边形AEFD是矩形，∴AF=DE=2OE=2×2=4. ∵AB=3，BF=5，∴AB2+AF2=BF2， ∴△ABF是直角三角形，∠BAF=90°，∴AB⊥AF. 变1 例2 变2 例3 变3 例1 6 1. 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连结BF、AF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD. 【变式训练】 变1 例2 变2 例3 变3 例1 7 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB⫽CD，即BE⫽DF. ∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形. ∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形. （2）由（1）可知AB⫽CD，∴∠BAF=∠AFD. ∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD， ∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD. 变1 例2 变2 例3 变3 例1 8 例2　如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为AD的中点. 过点A作AF⫽BC交BE的延长线于点F，连结CF. （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC=8，菱形ADCF的面积为40，求AB的长. 题型2　菱形的性质与判定 变1 例2 变2 例3 变3 例1 9 解：（1）证明：∵AF⫽BC，∴∠AFE=∠DBE. ∵E是AD的中点，∴AE=DE. 又∵∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=DB. ∵D为BC的中点，∴DB=DC，∴AF=CD. ∵AF⫽BC，∴四边形ADCF是平行四边形. ∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BC=CD，∴▱ADCF是菱形. （2）∵D是BC的中点，∴S菱形ADCF=2S△ADC=S△ABC=AC·AB=×8AB=40，∴AB=10. 变1 例2 变2 例3 变3 例1 10 2. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP⫽AC，过点C作CP⫽BD，DP、CP交于点P，连结OP. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=12，BD=16，求OP的长. 【变式训练】 变1 例2 变2 例3 变3 例1 11 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD⫽BC，∴∠DAC=∠ACB. ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC， ∴∠ACB=∠BAC，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形. （2）∵DP⫽AC，CP⫽BD，∴四边形OCPD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°， ∴四边形OCPD是矩形，∴OP=CD. 在菱形ABCD中，OC=AC=6，OD=BD=8， 在Rt△OCD中，CD==10，∴OP=CD=10. 变1 例2 变2 例3 变3 例1 12 例3 　如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别以点B、C为圆心，OC、OB的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点P，连结BP、CP. （1）求证：四边形BOCP是平行四边形； （2）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形BOCP是什么图形？ 并说明理由. 题型3　正方形的性质与判定 变1 例2 变2 例3 变3 例1 13 解：（1）证明：∵分别以点B、C为圆心，OC、OB的长为半径作弧，两弧交于点P， ∴BP=OC，OB=CP， ∴四边形BOCP是平行四边形. （2）四边形BOCP是正方形. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO. ∵AC=BD，∴OC=BO，∴▱BOCP是菱形. ∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴菱形BOCP是正方形. 变1 例2 变2 例3 变3 例1 14 3. 如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连结AE、AF，已知BF=DE，AF⊥AE. （1）求证：四边形ABCD是正方形. （2）若AE=2，DE=1，求四边形AECB的面积. 【变式训练】 变1 例2 变2 例3 变3 例1 15 解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠BAD=∠ABC=90°， ∴∠ABF=90°=∠D，∠DAE+∠BAE=90°. ∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，又∵BF=DE， ∴△ABF≌△ADE（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD为正方形. （2）在Rt△ADE中，AE=2，DE=1，由勾股定理，得AD==， ∴S正方形ABCD=AD2=3，S△ADE=AD·DE=， ∴S四边形AECB=S正方形ABCD-S△ADE=3-. 变1 例2 变2 例3 变3 例1 16 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $