专题04 二次根式（七大考点）-【重难突破】2026年中考数学总复习 考点强化讲与练

专题04 二次根式（七大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习・考点强化讲与练 （一）二次根式的相关概念 （1）二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式． （2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即中， （二）最简二次根式与同类二次根式 （1）最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含分数；分母不含根式； ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式． （2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式． （三）二次根式的性质 （1）（a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0． （2）（）2＝a（a≥0）． （3） （四）二次根式的有理化 在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。 ①。 ② （五）二次根式的运算 （1）二次根式的加减运算： （类比同类项的加减运算） （2）二次根式的乘除运算： ①乘法运算：。推广：。 ②乘法逆运算：。 ③除法运算：。推广：。 ④除法逆运算：。 （3）二次根式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 典例1： 1．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】 2．在函数 中，自变量 x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 3．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　． 【变式3】 4．若是正整数，则整数可取的最小值为　 　． 【变式4】 5．（1）当a为　 　时，＋1的值最小，为　 　； （2）当a为　 　时，的值最大，为　 　． 【变式5】 6．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是　 　． 【变式6】 7．下列式子中，是二次根式的是(　　) A． B．52 C．5 D． 【变式7】 8．若 则的值为（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 典例2： 9．将根号外的因式移到根号内，结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1】 10．化简：　 　． 【变式2】 11．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：的结果是　 　． 【变式3】 12．若满足等式，则的值为　 　． 【变式4】 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：　 　． 【变式5】 14．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6】 15．已知，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式7】 16．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （　　） A． B． C． D． 典例3： 17．计算： （1） （2） 【变式1】 18．化简 （1） （2） 【变式2】 19．计算（要求写出演算过程）： （1）； （2）； （3）． 【变式3】 20．计算： （1）； （2）； （3）． 【变式4】 21．计算 （1） （2） （3） 【变式5】 22．计算： （1） （2） （3） （4） 【变式6】 23．计算： （1）； （2）． 【变式7】 24．计算 （1） （2） （3） （4） 典例4： 25．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 26．在、、、、、中，是最简二次根式的是　 　． 【变式2】 27．二次根式、、、中是最简二次根式的有　 　个． 【变式3】 28．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 　 　． 【变式4】 29．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为　 　． 【变式5】 30．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式6】 31．将二次根式化为最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【变式7】 32．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 典例5： 33．把式子分母有理化过程中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 34．已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为　 　 ． 【变式2】 35．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得　 　； （2）关于的方程的解是　 　． 【变式3】 36．计算：　 　． 【变式4】 37．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么　 　． 【变式5】 38．计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 【变式6】 39．阅读例题：，用上述类似的方法解答问题：若a是的小数部分，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式7】 40．观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（　　）（n为正整数）． A． B． C． D． 典例6： 【变式1】 41．已知，求代数式的值． （1）若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【变式2】 42．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 【变式3】 43．已知，，求下列代数式的值： （1） （2）先化简，再求值：． 【变式4】 44．已知，， （1）求及的值； （2）求的值． 【变式5】 45．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【变式6】 46．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的； ， ， ，， ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）　 　； （2）化简：； （3）若，求的值． 【变式7】 47．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． （3）利用这一规律计算：． 典例7： 48．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： （1）若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴　 　． 根据海伦公式可得：　 　． （2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【变式1】 49．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得．如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为．解．再如求式子的最小值，可以得，整理得，当时，；当，方程有解， ，即，所以最小值为． （1）解下列方程： ①， ② （2）根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【变式2】 50．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； （2）在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【变式3】 51．【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）【方法运用】 请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为　 　； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：_▲_； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； （3）【知识迁移】 如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【变式4】 52．某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． （1）三角形的三边长为，，，则面积为　 　； （2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式5】 53．规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； …… （1）　 　； （2）　 　； （3）求出的值． 【变式6】 54．龙城初级中学数学兴趣小组现场学习：在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）的面积为：　 　； （2）中边上的高为　 　； （3）在图1右侧空白部分，画线段，并以为边作，使其面积为2（只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上）． （4）如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形的面积分别为13，10，17，则花坛中间的面积为　 　． 【变式7】 55．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． （1）【初步探索】 化简：　 　； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得　 　，　 　； （3）若，且，均为正整数，求的值； （4）【解决问题】 某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）： 型号 长 宽 高 型 型 型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴原式. 故答案为：． 【分析】由题意及立方根的性质可得，则，再代入二次根式计算即可求解. 2．【答案】B 3．【答案】且 4．【答案】15 5．【答案】（1）；1 （2）；2 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， ∴当，+1的值最小， ∴． ∴当时，的值最小且为1． 故答案为：；1. （2）∵， ∵， ∴， ∴有最大值且最大值为2．此时， ∴． ∴当时，的值最大且为2． 故答案为：，2. 【分析】（1）根据及题意可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据及题意可求出的值，以及所求式子的最大值． 6．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵ 关于x的方程有实数解， ∴， ∴. 故答案为：. 【分析】根据二次根式的非负性及题意列出不等式，即可求解． 7．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得， 是二次根式，故A项符合题意； 52不是二次根式，故B项不符合题意； 5不是二次根式，故C项不符合题意； 不是二次根式，故D项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可求得. 8．【答案】C 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴x-1<0， ∴原式 . 故答案为：B． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 10．【答案】 11．【答案】 【解析】【解答】解：由数轴可得， ∴原式 . 故答案为：． 【分析】由数轴得出，再化简即可． 12．【答案】2022 13．【答案】 14．【答案】D 【解析】【解答】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 【分析】根据二次根式的性质，对四个式子逐一化简，再作判断． 15．【答案】A 16．【答案】C 17．【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 18．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后再计算二次根式的乘除，最后计算二次根式的加减法． （2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再计算二次根式的加减法运算． 19．【答案】（1） （2） （3） 20．【答案】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）先算乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类二次根式即可． 21．【答案】（1）解： . （2）解： =2. （3）解： . 【解析】【分析】（1）先算乘法，再算减法，即可得出答案； （2）先对分子的根式化简成最简根式，再合并同类根式，再算除法即可； （3）先对所有根式化简成最简根式，再合并同类根式即可． 22．【答案】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【解析】【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先进行乘除运算，再进行加减计算； （3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算． 23．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】（1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，最后算加减法即可； （2）先利用平方差和完全平方公式去括号，再算加减即可． 24．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．【答案】D 26．【答案】 【解析】【解答】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式. 故答案为：． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 27．【答案】1 【解析】【解答】解：，，，都不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式， 则最简二次根式有1个. 故答案为：1． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可. 28．【答案】 29．【答案】 【解析】【解答】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴. 故答案为：． 【分析】先化简，再根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 30．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故该选项不符合题意； B、，能与合并，故该选项符合题意； C、，不能与合并，故该选项不符合题意； D、，不能与合并，故该选项不符合题意； 故答案为：B． 【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）和同类二次根式的定义逐项分析判断即可. 31．【答案】B 32．【答案】A 33．【答案】C 【解析】【解答】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故本选项不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故本选项不符合题意； C、有可能为0，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故本选项不符合题意. 故答案为：C ． 【分析】根据分母有理化的方法进行判断即可，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变. 34．【答案】 【解析】【解答】解：，， ∵， ∴-2<<-1， ∴，， ∵x的整数部分是m ，y的小数部分是n， ∴x的整数部分是，y的小数部分是， ∴原式 ． 故答案为：． 【分析】先化简得，化简得，再根据估计无理数的方法求出m、n的值，最后代入即可. 35．【答案】（1） （2） 【解析】【解答】解：（1）原式 . 故答案为：. （2）∵， ∴， ∴， ， ， ， ， . 故答案为：． 【分析】（1）分母有理化即可得出答案； （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 36．【答案】9 37．【答案】 38．【答案】D 【解析】【解答】解：原式 . 故选：D． 【分析】先把分母因式分解，再化简，进而得出答案. 39．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴2是的整数部分， ∵a是的小数部分， ∴， ∴． 故选：C 【分析】先根据a是的小数部分，得到，再分母有理化即可． 40．【答案】D 41．【答案】（1）解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 42．【答案】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 43．【答案】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解： ， 由（1）可得：，故原式． 44．【答案】（1）解： ， . （2）解：原式， 由（1）可得 则原式=. 【解析】【分析】（1）根据分母有理化先求出再代入求值即可； （2）先变形，再整体代入求值即可． 45．【答案】（1）2 （2）11 46．【答案】（1） （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴原式． 【解析】【解答】解：（1）原式． 故答案为：． 【分析】（1）先对每一项进行分母有理化，再计算即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先利用可得得到，两边平方得到，最后利用整体代入的方法计算即可． 47．【答案】（1）解：∵， 代入得， ， ， . （2）解：先比较两式的倒数， ∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴ ， ． 【解析】【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）先比较两式的倒数，进而得出答案； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解. 48．【答案】（1）9； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵ 三角形的面积为， ∴S ． 【解析】【解答】解：（1）∵，，， ∴， . 故答案为：；． 【分析】（1）将，，直接代入求解即可； （2）运用二次根式的性质化简即可求解． 49．【答案】（1）解：①因式分解得， ∴或， 解， 因式分解得， ∴或， 解得：x=-1或x=4， 综上所述：，，； ②， 方程两边平方得， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，， ∵， ∴（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， 当时，， ∴； 当，方程有解， ， ∴， ∴最小值为． 【解析】【分析】（1）①方程左边分解因式，进而得出答案； ②方程两边平方，进而得出答案； （2）根据材料转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程根的判别式即可解答． 50．【答案】（1）解：，之间的距离为：； 故答案为：5； （2）解：作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入，解得：， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． （3）解：表示点到和的距离之和． 两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小． 利用公式可得，点和之间的距离为． 即的最小值为． 51．【答案】（1） （2）解：①； ②∵， ∴， ∵斜边长为， ∴斜边上的中线长为，高线长为， ∵， ∴， ∴； 故大小关系为：； （3）解：设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为平方米，（平方米）， ∵， ∴， ∴， 答：小栅栏的总长度最少为40米． 【解析】【解答】解：（1）作边上的高， 由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：； （2）①如图， 由勾股定理可得，，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：； 【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． （1）先用割补法求出的面积，再用底×高表示面积，最后根据等面积法即可得出答案； （2）①在中，利用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，m的关系式； ②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示与高线，再根据的变形，即可得到结论； （3）设与墙平行的边长x米，垂直于墙的边长y米，可得所有虚线的和为，根据（2）中得到的结论，可得，整理可得所有虚线和的最小值． 52．【答案】（1） （2）解：连接， 四边形中，，，， ， 的面积， ， 的面积， 四边形的面积为． 53．【答案】（1） （2） （3）解：原式 ． 【解析】【解答】解：（1），，， 通过观察可得， . 故答案为：． （2）通过观察可得规律. 故答案为：； 【分析】（1）先找出规律，进而求出的值； （2）先找出变化规律，再得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 54．【答案】（1） （2） （3）解： 将放在矩形中， 设， ， ， ， ，∴， ∴， 是正整数，且， ， ， ，满足，且， 即为所求. （4） 【解析】【解答】解：（1）利用割补法可得：. 故答案为：. （2）， 由（1）知， 设中边上的高为h， ， ∴， ， 中边上的高为. 故答案为：. （4）∵正方形的面积分别为13，10，17， ∴， ， ， ∴． 故答案为：. 【分析】（1）长方形的面积减去长方形内除所求三角形以外三个三角形面积即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）根据的边为，将放在矩形中，利用正方形的面积求出的值，利用勾股定理在网格中画出相应的三角形即可； （4）先利用正方形的面积求出，根据构图法即可求出的面积． 55．【答案】（1） （2）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （4）解：底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， 所以应选择C型号包装纸箱． 【解析】【解答】解：（1）原式=. 故答案为：. （2）∵， ∴， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴. 故答案为：，； 【分析】（1）根据题意变成完全平方的形式，再进行计算即可； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断，两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可. 学科网（北京）股份有限公司 $