精品解析：广东广州市某校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025—2026学年（下）期中考试题 高二年级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则　　 A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数，组合数的公式，求得，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，可得， 即，解得，故选A． 【点睛】本题主要考查了排列数，组合数的应用，其中解答中熟记排列数，组合数的计算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2. 已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则该质点在末的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】瞬时速度是位移对时间的导数，即，求导得：，代入：. 故质点在末的瞬时速度为. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列下标的性质求解. 【详解】已知等差数列的前项和为，则 ， 得，因为， 所以公差， 所以. 4. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，根据题意可得出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，， 因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是. 故选：B. 5. 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】由奇数项的二项式系数之和是64，可求得，可得中间项为第4项与第5项，利用通项公式，即得解 【详解】由已知，可得，解得， 的展开式中共有8项，中间项为第4项与第5项， ， 故选：C 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 下列命题正确的有（ ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据特例判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及求和公式判断D. 【详解】对于①：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故不是等比数列，①错误； 对于②，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故②正确； 对于③，依题意，，它不满足，③错误； 对于④，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，④正确. 故选：B 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列和组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误. B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误. C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确. D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为； 只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为. 所以选法总数是，所以D选项错误. 故选：ABD 10. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断. 【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以，； 对于A，因为，所以是递增数列，A正确； 对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确； 对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确. 故选：AB. 11. 现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误； 对于B，，，，， 则， 因此，B正确； 对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子， 若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列满足如下条件：①；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式______. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据等比数列的性质直接求解即可. 【详解】满足上述所有条件的一个数列的通项公式. 故答案为：(答案不唯一) 13. 某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______． 【答案】0.785 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解. 【详解】记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，，，， 因此． 故答案为：0.785． 14. 设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______． 【答案】 ①. 增 ②. ## 【解析】 【分析】由题意可知，令，求导利用导函数的正负即可判断单调性，由可求得，再根据可知，进而得出，利用的单调性解不等式即可. 【详解】解：已知，则， 令，，则， 所以在为增函数，即函数在定义域内是增函数； ，， 又，， 可得，由于在为增函数， 所以，解得，即的最小值为， 故答案为：增； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数． (1)请列出X的分布列； (2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【答案】（1） X 0 1 2 3 4 P （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望． （2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果． 解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布， 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4． ． ∴所以X的分布列为： （2）由分布列可知至少选3名男生， 即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=． 点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 16. 现有只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球． （1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？请用数字作答 （2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，，，共有多少种分堆的方法？请用数字作答 （3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的方法数．请用数字作答 【答案】（1）种 （2）种 （3）种. 【解析】 【小问1详解】 将只红球看成个整体，内部有种排法； 将只白球看成个整体，内部有种排法； 将只黑球看成个整体，内部有种排法. 个整体全排列，有种排法，总排列数：. 故有种排列方法. 【小问2详解】 由题意知，将只球分成三堆，球数分别为，，. 先从只球中选只作为一堆，有种；然后从剩余只球中选只作为一堆，有种；最后剩余只自动成堆. 因为有两堆都是只球，分堆时会产生重复，需除以，所以：. 故有种分堆方法. 【小问3详解】 取只球，各种颜色都必须取到，设红球取只，白球取只，黑球取只，则；，，，. 令，，，则：. 非负整数解为：，，三种情况： 第一种情况：红只，白只，黑只：； 第二种情况：红只，白只，黑只：； 第三种情况：红只，白只，黑只：. 总方法数：. 故有种取法. 17. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值是，极小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【小问1详解】 ，由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； 【小问2详解】 由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 18. 已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. （Ⅲ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)略 (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：； （3）若，求证：. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）证明：由（1）得在的值域为， 在上的值域为.注意到，. 不妨设，则欲证，即证. 由于由（Ⅰ）得在上单调递增， 故只需证， 由已知，即证，也即， 方法一：令，. ， 由，在单调递增， 得单调递增， 且. 由于，故满足. 由单调递增知： 当时，单调递减，值域为； 当时，单调递增，值域为； 设，，则，单调递减， 故，即， 取，得，即 综上，得，即，得证. 方法二：（重新同构） 令，即，证：， 由于，从而. 故要证成立，只需在单调递增成立即可. ， 令，，则， 在单调递减，，， 故在单调递增成立，原命题成立. 方法三：（比值代换）由对称性，不妨设，， 则 由于，欲证， 即证：，即证， 可变为，由证法二可知成立，从而得证； 方法四：（切、割线放缩）1、由于故，即； 2、由方法二知，， 故，即，故，； 由1、2知，故成立，原命题成立. （3）证明：由（1）得在的值域为， 在上的值域为.注意到，. 不妨设，则欲证，即证. 由于由（Ⅰ）得在上单调递增， 故只需证， 由已知，即证，也即， 方法一：令，. ， 由，在单调递增， 得单调递增， 且. 由于，故满足. 由单调递增知： 当时，单调递减，值域为； 当时，单调递增，值域为； 设，，则，单调递减， 故，即， 取，得，即 综上，得，即，得证. 方法二：（重新同构） 令，即，证：， 由于，从而. 故要证成立，只需在单调递增成立即可. ， 令，，则， 在单调递减，，， 故在单调递增成立，原命题成立. 方法三：（比值代换）由对称性，不妨设，， 则 由于，欲证， 即证：，即证， 可变为，由证法二可知成立，从而得证； 方法四：（切、割线放缩）1、由于故，即； 2、由方法二知，， 故，即，故，； 由1、2知，故成立，原命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数单调性； （2）由函数的单调性求其值域，从而不妨设，从而将证明转化为证明， 方法一：设，，借助导数研究函数的单调性从而得值域，求得恒成立，得证； 方法二：由，设，， 利用导数可知在单调递增，从而得证； 方法三：（比值代换）由对称性，不妨设，，欲证，即证，由方法二可得证； 方法四：由得，由方法二得，所以，得证； （3）由（2）知，由，可知，分和两种情况，结合函数的单调性可证. 【小问1详解】 函数的定义域是. 由，得在上单调递减； 由，得在上单调递增， 综上知，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（下）期中考试题 高二年级数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则　　 A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 2. 已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则该质点在末的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（ ） A. B. C. 和 D. 和 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的有（ ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 10. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 11. 现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D. 若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列满足如下条件：①；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式______. 13. 某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______． 14. 设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数． (1)请列出X的分布列； (2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 16. 现有只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球． （1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？请用数字作答 （2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，，，共有多少种分堆的方法？请用数字作答 （3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的方法数．请用数字作答 17. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18. 已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：； （3）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $