专题03 分式（九大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习考点强化讲与练

专题03 分式（九大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习・考点强化讲与练 （一）分式的基本概念 （1）分式：形如（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式． （2）与分式有关的结论 ①分式无意义的条件是B＝0． ②分式有意义的条件是B≠0． ③分式值为0的条件是A＝0且B≠0． （二）分式的基本性质 （1）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ＝，＝（其中M是不等于零的整式）． （2）由基本性质可推理出变号法则为：； . （三）约分与通分 （1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质． （2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （四）分式的运算 分式的乘除 ①乘法法则： ②除法法则： ③分式的乘方： 分式的加减 ①同分母分式的加减： ； ②异分母分式的加法： 整数负指数幂： 0指数幂： （五）分式化简求值 （1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分. （2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入. 典例1： 1．下列各式中，，，，，，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】 2．在代数式，，，，，中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】 3．下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有　 　个． 【变式3】 4．观察下列分式：按此规律第10个分式是　 　． 典例2： 5．x满足什么条件（　　），有意义 A． B． C．且 D．或 【变式1】 6．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【变式2】 7．（1）当　 　时，等式成立； （2）当　 　时，等式成立． 【变式3】 8．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为　 　． 的取值 分式的值 无意义 典例3： 9．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【变式1】 10．a，b，c均为正数且，已知，求（　　） A．1 B． C．3 D．2 【变式2】 11．已知，，，则　 　． 【变式3】 12．已知，则的值为　 　． 典例4： 13．下列式子从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 14．若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（　　） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的0.1倍 D．不变 【变式2】 15．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为　 　． 【变式3】 16．在括号里填上适当的整式： （1）；　 　． （2）；　 　． （3）．　 　． 典例5： 17．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 18．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 19．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有　 　个． 【变式3】 20．化简：　 　，　 　 典例6： 21．把与通分后，的分母为，则的分子变为（　　） A． B． C． D． 【变式1】 22．下列说法中，正确的是（　　） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【变式2】 23．分式，，的最简公分母是　 　. 【变式3】 24．对于任意的值都有，则值为　 　． 典例7： 25．计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】 26．计算下列各题 （1） （2） （3） （4） 【变式2】 27．计算： （1）； （2）； （3）． 变式3】 28．计算： （1） （2） （3） （4） 【变式4】 29．计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【变式5】 30．化简： （1）； （2）． 【变式6】 31．计算： （1）； （2）． 【变式7】 32．计算： （1） （2） （3） （4） 【变式8】 33．计算 （1） （2） （3） （4）． 【变式9】 34．计算 （1） （2） （3） （4）． 【变式10】 35．计算： （1） （2） （3） （4）． 典例8： 36．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 37．若，，，，则，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】 38．计算：　 　． 【变式3】 39．如果，， ， ，那么a，b，c，d四数的大小为　 　 【变式4】 40．计算：　 　． 典例9： 41．先化简：，然后从的解集中选一个x的整数值代入求值． 【变式2】 42．先化简，再从，2，3，4中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【变式3】 43．解决下面问题 （1）先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【变式4】 44．已知． （1）分别化简P和Q； （2）若，求x的值． 【变式5】 45．先化简，再求值：，其中． 【变式6】 46．先化简，再求值：，其中． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：在，，，，，中，，，是分式，共3个 故答案为：B． 【分析】本题重点考查分式的基本概念：形如（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B 0）的式子称为分式。解题时需逐项判断分母中是否含有字母，并注意负指数幂可化为分数形式，从而准确识别分式。避免只看表面形式而忽略化简后的结构。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：在代数式，，，，，中，分式有，，这3个， 故答案为：B． 【分析】本题重点考查分式的基本概念：形如（A、B 为整式，且 B 中含有字母，B0）的式子叫做分式。解题时要逐项检查分母中是否出现字母，注意常数（如数字 2、4 等）不算字母，也不要被多项式形式的分子或分母干扰判断。分式与整式的根本区别在于分母中是否含有字母。 3．【答案】3 4．【答案】 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】（1） （2）或 【解析】【解答】解：∵当时，， ∴， 即等式成立， 故答案为：． （2）∵， ∴，， 解得：或， 经检验，或是方程的解． 故答案为：或． 【分析】本题以零次幂和负整数指数幂为背景，考查了分式方程的解法和幂的运算法则。 （1）需注意非零数的零次幂等于1，由=1得分母为2，代入原式成立，故x 0； （2）由=1得且，解得x=-4或x=-6。 8．【答案】 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】 【解析】【解答】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 【分析】本题以分式条件等式为背景，考查了取倒数法和整体求值。将已知三个等式分别取倒数，得到、、，联立解得，而所求，故填。 12．【答案】 13．【答案】C 14．【答案】B 【解析】【解答】解：分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得， 即分式的值是原来的10倍，故B正确． 故答案为：B． 【分析】用10a与10b分别替换原分式中的a与b，分子利用单形式乘以单项式法则计算，分母利用提取公因式法分解因式，然后约分化简后与原分式比较即可判断得出答案. 15．【答案】 【解析】【解答】解：． 故答案为：． 【分析】本题以系数含小数的分式为背景，考查了分式的基本性质。根据分式的分子和分母同时乘以同一个非零整式，分式的值不变，这里将分子、分母都乘以1000，即可将小数系数化为整数，结果为。 16．【答案】（1） （2） （3） 17．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误. 故答案为：C. 【分析】约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，由分式约分的概念可知：要 首先将分式的分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，从而一一判断得出答案. 18．【答案】C 【解析】【解答】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C． 是最简分式，符合题意； D．，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】本题以判断最简分式为背景，考查了约分和最简分式的概念。最简分式要求分子与分母没有公因式。逐一化简：A、B、D均可约去公因式，不是最简分式；C的分母+1 与分子5无公因式，是最简分式，故选C。 19．【答案】 【解析】【解答】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 【分析】本题以判断最简分式的个数为背景，考查了最简分式的概念。最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。逐一判断：①和④的分子分母无公因式，是最简分式；②和③可以约分，不是最简分式，所以最简分式有2个。 20．【答案】； 21．【答案】B 【解析】【解答】解：， 故的分子为． 故答案为：∶B． 【分析】本题以分式通分为背景，考查因式分解和通分变形。由公分母为 (1-a)(a+1)2，将分子分母同乘 (a+1)，分子变为 1+a，故选 B。 22．【答案】C 23．【答案】2x（x+1）（x﹣1） 24．【答案】 25．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【解析】【分析】（1）根据分式的除法，结合完全平方公式，平方差公式即可求出答案. （2）根据分式的减法，结合平方差公式即可求出答案. （3）根据分式的混合运算，结合平方差公式即可求出答案. （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 26．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【解析】【分析】本题以分式的混合运算为背景，考查了因式分解、约分、通分及分式加减乘除法则。 (1)先分解因式再约分； (2)先通分再加减； (3)先化简再通分计算。熟练掌握这些步骤是解题的关键。 27．【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 28．【答案】（1） （2） （3） （4） 29．【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 30．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了分式的通分、除法的转化及约分。 (1)先将括号内通分相加，再将除法转化为乘法，约分得； (2)先将括号内通分合并，再将除法化为乘法，分解因式后约分得。掌握通分和因式分解是关键。 31．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【解析】【分析】本题以分式的混合运算为背景，考查了分式乘除、通分、约分及运算顺序。 (1)先将除法转化为乘法，再约分即可； (2)先算括号内的减法，再算乘方，然后进行除法运算，最后合并加减。 32．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【解析】【分析】本题以分式的混合运算为背景，考查了乘方、通分、因式分解及加减乘除法则的运用。 (1)先算乘方，再算乘除； (2)括号内通分相加，再将除法转为乘法后约分； (3)括号内通分相加，除法转乘法后约分，再与另一项通分相加； (4)先算乘方和除法，最后算加减。 33．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【解析】【分析】本题以分式的乘除运算为背景，考查了除法转乘法、因式分解及约分。熟练掌握因式分解和约分步骤是解题关键。 (1)将除法化为乘法后约分； (2)分解因式后约分； (3)注意除法转化为乘法再约分； (4)同样先转乘法再因式分解约分。 34．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 ＝； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 35．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式＝． 36．【答案】A 37．【答案】C 【解析】【解答】解：，，，， ∵， ∴， 故答案为：C． 【分析】本题以有理数乘方和指数幂为背景，考查了乘方运算、零指数幂及实数大小比较。先分别计算：a = -0.09，b = -9，c =，d = 1，再比较得 -9 < -0.09 < < 1，即 b < a < c < d，故选 C。 38．【答案】4 【解析】【解答】解： ． 故答案为：4． 【分析】本题以负整数指数幂和零指数幂为背景，考查了幂的运算法则。先计算=3，再计算=1，最后相加得4。掌握（a0）和任何非零数的零次幂等于1是解题关键。 39．【答案】 40．【答案】2 【解析】【解答】解：， 故答案为：． 【分析】本题以整式与负指数幂的混合运算为背景，考查了积的乘方、负整数指数幂及单项式的乘除运算法则。先算乘方得，再将除法转化为乘法并处理负指数，最后约分得结果 2。注意运算顺序和符号处理是关键。 41．【答案】解： ． ， ， ∴原式 【解析】【分析】本题以分式化简求值为背景，考查了分式的混合运算和整体代入思想。先根据分式运算法则化简原式，再由已知条件得，最后整体代入化简后的结果即可求出值为6。掌握化简技巧和整体代入是解题关键。 42．【答案】解：原式 ． ∵，． ∴且， ∴当时，原式； 当时，原式． 43．【答案】（1）解：原式 ，即 当时，原式； （2）解：原式= ， 原式 ． 【解析】【分析】（1）首先根据分式的混合运算进行化简，再根据分式的意义，选择符合题意的x的值，代入求值即可；（2）首先根据分式的混合运算进行化简，然后再根据． 得出b=2a，代入原式，进一步花化简即可得出答案。 （1）解：原式 ，即 当时，原式； （2）解：原式= ， 原式 ． 44．【答案】（1）解：， ； （2）解：由（1）知，，， ， ， 方程两边同乘以，得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 的值为． 【解析】【分析】（1）根据分式加减化简即可求出答案. （2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （1）解：， ； （2）解：由（1）知，，， ， ， 方程两边同乘以，得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 的值为． 45．【答案】解： =， 当时，原式 【解析】【分析】本题以分式化简求值为背景，考查了因式分解、约分、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及代数式求值。先将分子分母分解因式，再把除法转化为乘法，依次约分化简为。再计算 a = -1- + 2 = 1，代入得。注意运算顺序和化简细节是关键。 46．【答案】解：原式 ， ， 当时， 原式 【解析】【分析】本题以分式化简求值为背景，考查了分式的乘除混合运算、因式分解及二次根式的代入计算。先将各分式分解因式，再将除法转化为乘法，约分后化简为，最后代入 计算得。注意运算顺序和约分细节是关键。 学科网（北京）股份有限公司 $