专题02 整式及其因式分解2026年中考数学重难点突破训练

专题02 整式及其因式分解—中考数学重难点突破训练 一、选择题 1．2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（m表示体重，单位：公斤；h表示身高，单位：米），成年人数值标准见表： BMI范围 胖瘦程度 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（　　） A．偏瘦 B．正常 C．偏胖 D．肥胖 2．观察下列单项式：﹣xy，x2y3，﹣x3y5，x4y7，⋯，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（　　） A．﹣x15y27 B．﹣x15y29 C．x13y27 D．x13y29 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C．2a+2b=2ab D． 4．已知，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是（　　） A．205 B．250 C．502 D．520 6．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 8．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋2)(x－3)，则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝6 B．a＝－1，b＝－6 C．a＝－1，b＝6 D．a＝1，b＝－6 9．与相等的是（　　） A． B． C． D． 10． 对任意整数n， 都能 (　　) A．被 3 整除 B．被 4 整除 C．被5 整除 D．被 6 整除 二、填空题 11．因式分解：4a3-16a2+16a=　 　 12．若则　 　. 13．如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数，则的值为　 　． 0 3 1 14．有两个正方形，，现将放在的内部如图①，将，并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为　 　． 15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律(如图)，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)"(n=0， 1， 2， 3， 4， …)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序).请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是　 　． 16．数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则　 　．（结果用含的代数式表示） 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中 18．(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25. (2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)的值． 19．下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务． （1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式． 任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”） 任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案． 任务三：计算：． 20．如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张． （1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为______； （2）用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示） （3）取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个． 21．阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 22．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）______； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； （2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 23．综合与实践有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是　 　，后积是　 　； （2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。 　 　=　 　， （3）【推理算法】记两位数分别是和，且，其中 请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。 24．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）： ①　 　； ②　 　； （2）试比较与与的大小，并说明理由； （3）【类比运用】 图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 25．《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立. （1）观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2： 等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2： 可知，图②对应等式　 　；图③对应等式　 　. （2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵某位成年人身高 1.6 米，体重 64 公斤， ， ， ∴该成年人胖瘦程度为偏胖； 故答案为：C． 【分析】根据衡量人体胖瘦程度的标准的计算公式“”求出的值，并结合表格中的信息即可判断求解． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：第1个单项式：-xy=-1·x·y， 第2 个单项式： x2y3 =（-1）2· x2·y1+2 ， 第3 个单项式： -x3y5 =（-1）3· x3·y1+2×2=（-1）3· x3·y1+2×（3-1）， 第4 个单项式： x4y7 =（-1）4· x4·y1+2×3=（-1）4· x4·y1+2×（4-1）， …… 由以上规律可知，第n个单项式：（-1）n· xn·y1+2×（n-1）=（-1）nxny2n-1， ∴第15个单项式：（-1）15· x15·y2×15-1=-x15y29， 故答案为：B. 【分析】观察给出的单项式，找出系数，x的次数、y的次数的变化规律，即可得出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A.，A错误； B.，B错误； C.，C错误； D.，D正确. 故答案为：D 【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的知识，对每个选项逐一进行分析判断。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【分析】 由幂的乘方的逆运算法则可把三个幂转化为同指数幂，再对底数进行大小比较即可，即． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：设两个连续奇数中的较小一个奇数为 ，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故答案为：D. 【分析】设两个连续奇数中的较小一个奇数为 ，则另一个奇数为 ，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为 ，再看四个选项中，能够整除4的即为答案. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由甲可得阴影部分的面积为a2-b2， 由乙可得阴影部分的面积为（a+b）(a-b)， 则a2-b2=（a+b）(a-b). 故答案为：A. 【分析】根据两种方法计算阴影部分的面积，即可得出答案. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：A、ax+ay=a（x+y），故A不符合题意； B、3a+3b=3（a+b），故B符合题意； C、a2+4a+4=（a+2）2，故C不符合题意； D、a2+b不能分解因式，故D不符合题意； 故答案为：B. 【分析】利用提公因式法，就是各项中都有的因式，就是公因式，可对A，B，D作出判断；利用完全平方公式，可对C作出判断. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： x2＋ax＋b=(x＋2)(x－3) ， ∴x2＋ax＋b=x2-x-6， ∴a=-1, b=-6. 故答案为：B. 【分析】根据题意列等式，再将右边展开，比较各项系数，即可得出a、b值. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：， 故答案为：C． 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可求解. 10．【答案】B 【解析】【解答】解： 可知能被4整除. 故答案为：B. 【分析】利用完全平方公式先去括号，再合并同类项，再提公因式，可将原式转化为4（n2+n-6），即可求解. 11．【答案】4a(a-2)2 【解析】【解答】解： 4a3-16a2+16a =4a（a2-4a+4） =4a（a-2）2； 故答案为：4a(a-2)2. 【分析】先提取公因式4a，再运用公式法进行因式分解即可求解. 12．【答案】-1 【解析】【解答】解：x =- -1，则=- x -1， ∴a =(- x -1)2=x2+2x+1， 原式=x5+2x4-ax3-x2+( a +1) x - a = x5+2x4-(x2+2x+1)x3-x2+(x2+2x+1+1）x-(x2+2x+1) = x5+2x4- x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1 =-1， 故答案为：-1. 【分析】利用已知等式，可得到a=(- x -1)2=x2+2x+1，再将a代入原式，先去括号，再合并同类项即可. 13．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】 利用九宫格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等这一性质，通过列方程求解出各个未知数的值，进而计算a=b-c-d-e的值即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图①中阴影部分面积为 图②中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为： 【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，联立化简即可求出答案. 15．【答案】10 【解析】【解答】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10， 5， 1， 所以 展开式中第三项的系数是10. 故答案为：10. 【分析】根据题意，得出“杨辉三角”中数是其肩上的两数之和(最外侧的数除外)，据此可解决问题. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：解：依题意得：，，，，， 故答案为：． 【分析】 先寻找图形递变规律，由于n=1时有1个三角形， 即； n=2时有5个三角形，即 ； n=3时有9个三角形，即 ； 即 则． 17．【答案】解：， ． 当时，原式． 【解析】【分析】先运算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，因式分解约分，再根据负指数幂求得x的值，将x的值代入计算即可． 18．【答案】解：(1)[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x) =(9x2-4y2-5x2-8xy+4y2)÷(4x) = x-2y 当x=100，y=25时. 原式=100-25×2 =50； (2) [(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b) =（a2+2ab+b2－a2－b2＋4ab-4b2）÷(2b) =（6ab-4b2）÷(2b) =3a-2b 因为3a＝2b， 所以原式=0. 【解析】【分析】根据整式的乘除法则和加减法则进行计算化简，再代入已知值计算. 19．【答案】任务一：平方差公式； 任务二：小华（2）的解答是不正确， ； 任务三： ． 【解析】【解答】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式； 故答案为：平方差公式； 【分析】任务一：根据所给运算过程判断①中运用的是的平方差公式； 任务二：根据平方差公式的特征判断，并运用多项式乘多项式计算解题； 任务三：根据完全平方公式计算解答即可． 20．【答案】（1） （2）解：这25张卡片拼成一个正方形面积为， 这个正方形的边长为； （3）2 【解析】【解答】解：（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为 故答案为：； （3）拼成一个矩形面积为 能分解成两个因式的积 或 当时，； 当时，， 可能的整数值有2个． 故答案为：2. 【分析】（1）先分别计算甲，乙的面积，再求其和即可； （2）先求出25个卡片的总面积，再求其算术平方根即可； （3）根据题意知能分解成两个因式的积，再对其进行因式分解即可． 21．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】 （）仿照阅读理解中的进行分解即可； （）仿照阅读理解中的进行分解即可. （1）解： ； （2）解： ． 22．【答案】（1）（ⅰ）48 （ⅱ）证明：， 又∵是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）或； 【解析】【解答】解：（1）（ⅰ）， 故答案为：； （2）， ． 故答案为：（或），． 【分析】（1）（ⅰ）利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算有理数的乘法得出答案； （ⅱ） 利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出结论； （2） 利用平方差公式将(2n+2)2-(2n)2变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出第一空的答案，进而得出关于字母k的等式，变形用含n的式子表示出k即可. 23．【答案】（1）22；36 （2）100×(2×8+5）+52；2125 （3）证明：(10a+c)(10b+c) =100ab+10ac+10bc+c2 =100ab+10c(a+b)+c2 =100ab+100c+c2 =100(ab+c)+c2. 【解析】【解答】解：（1）根据 【算法介绍】 可得 前积是22，后积是36， 故答案为：22，36； （2）， 故答案为：100×(2×8+5）+52，2125； 【分析】（1）根据【算法介绍】 解答即可； （2）根据题目所给方法解答即可； （3）根据多项式的乘法解答即可. 24．【答案】（1）＞；＜ （2）解：， 理由如下： ． ∵，∴，∴； （3）解：∵，， ∴，∴． 【解析】【解答】解：（1） ①∵， ∴； ② (x-1)-(x+3)=x-1-x-3=-4<0， ∴x-1<x+3. 故答案为：＞，＜. 【分析】（1）求出两个数的差，根据差的正负比较两个数的大小，即可得到答案； （2）求出两个数的差，根据差的正负比较两个数的大小，即可得到答案； （3）求出与 的值，根据与 的差比较两个数的大小，即可得到答案. 25．【答案】（1）B；A （2）解：设 ，则CD=a+b，如图， ∵AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC， ∴∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b， ∴AG=AD+DG=a+2b， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC=∠EGD=90°， ∴∠GEC=∠GCE=45°， ∴CG=EG=a， ∵EF⊥BD， ∴∠EFD=90°， ∴四边形DFEG是矩形， ∴EF=DG=b，FD=EG=a， ∴BF=BD-FD=b， ∴， ∵AH∥BC， ∴∠HAG=∠ACB=45°， ∴∠H=∠HAG=45°， ∴AG=GH=a+2b， ∴ ∴ 【解析】【解答】解：（1）图②是由两个小长方形方形和两个小正方形组成的大正方形，其面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，因此对应的等式是：（a+b)2=a2+2ab+b2 ，即等式B； 图③面积可以表示为(a+b)(a-b)，也可以表示为a2-b2，因此对应的等式是： （a+b)（a-b)=a2-b2，即等式A； 故答案为：B，A； 【分析】（1） 用两种不同的方法表示出同一个图形的面积，根据整个图形的面积等于各个部分面积这和列出等式，即可判断得出答案； （2）设CG=a，DG=b，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，判断出△ABD、△CEG及△AGH都是等腰直角三角形，四边形DFEG是矩形，得CG=EG=a，EF=DG=b，FD=EG=a，AG=GH=a+2b，进而根据直角三角形面积计算公式分别表示出S1、S2、S3、S4，再代入化简即可. 学科网（北京）股份有限公司 $