集训9 选择、填空题重难点突破-2026年山东中考数学必备试题汇编

9.已知二次函数y=x2-2ax+a（a≠0)的图象经过 集训九选择、填空题重难点突破 4受)，B(3a,)两点，则下列判断正确的是（〉 6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点为(1,2)。小 A.可以找到一个实数a,使得y1>a 类型1二次函数的图象与性质 烨同学得出以下结论：①abc<0;②当x>1时，y随x B.无论实数a取什么值，都有y1>a 1.将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后，所得新 的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为3，则 C.可以找到一个实数a,使得y2<0 抛物线的顶点式为 ( D.无论实数a取什么值，都有y2<0 A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 a=- ;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+ 10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象交x轴于点 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 bx+c向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位 A(-3,0),B(1,0),交y轴于点C。以下结论：①a+ 2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个 长度得到的。其中一定正确的是 b+c=0;②a+3b+2c<0;③当以点A,B,C为顶点的三 交点的横坐标为-3，顶点坐标为(-1,4)，则下列说法 A.①② B.②③ 角形是等腰三角形时，c=√7；④当c=3时，在△A0C内 正确的是 c.③④ D.②④ A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 7.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交 有一动点P,若0P=2,则CP+号P的最小值为。 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为2 于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下 其中正确结论有 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 列四个结论：①bc<0;②3a+2c<0;③ax2+bx≥a+b; A.1个 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为3 B.2个 ④若-2<c<-1,则- 8 <a+b+c<- 3。其中正 C.3个 (-1,4) 0 确结论的个数为 D.4个 A.1 B.2 C.3 D.4 11.在平面直角坐标系中，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是 -30 二次函数y=-x2+4x-1图象上三点。若0<x1<1, 第2题图 第4题图 x2>4,则y1 y2(填“>”或“<”)；若对于m< 3.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点 x1<m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在 的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结 B y1<y3<y2,则m的取值范围是 论正确的是 ( 12.对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一点 A.6+c>1 B.b=2 第7题图 第8题图 P(x',y),使得x'-m=y'-k≠0，则称2Ix'-ml为该 C.b2+4c<0 D.c<0 8已知二次函数y二7+6x与y=7x-bx的图象 抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=+行+3 4.如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4 的“开口大小”为 上，点D在y轴上。若A,C两点的横坐标分别为m,n 均过点A(4,0)和坐标原点0，这两个函数在0≤x≤4 (m>n>0),下列结论正确的是 时形成的封闭图象如图所示，P是线段OA的中点，过 13.如图，抛物线y=行2-4+6与y轴交于点4，与x轴 A.m+n=1 B.m-n=1 点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B,C两 交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在 C.m=1 D.m=1 点。给出下列结论：①b=2;②PB=PC;③以0，A,B,C 点D下方)，且CD=3。当AD+BC的值最小时，点C n 为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为 的坐标为 5.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时， 函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取 1,点Q在y轴上(Q,B,C三点不共线)，则△BCQ周长 值范围是 ( 的最小值为5+√3。其中，所有正确结论的个数为 A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 A.1 B.2 C.3 D.4 29 ss类型2几何图形的相关计算 14.在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺 (CDL DE)按如图方式摆放，若AB∥CD,则∠1的大 小为 A.30° B.45° C.60° D.75° E B D -a G 第14题图 第15题图 15.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G 的方向竖直向下，支持力F,的方向与斜面垂直，摩擦力 F2的方向与斜面平行。若斜面的坡角α=25°，则摩擦 力F2与重力G方向的夹角B的度数为 () A.155° B.125° C.115° D.65 16.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我 国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角 形拼成。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的 面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大 正方形的面积为 () 图1 图2 A.24 B.36 C.40 D.44 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6,AD 平分∠CAB交BC于点D,E是边AB上一点，则线段DE 长度的最小值为 () A.√2 B.3 C.2 D.3 0 18.如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm。 点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时 点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往 复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动。在 此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是（) A.3 A卫+ D B.4 c.5 Q C D.6 19.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC 匀速运动，运动到点C时停止。设点P的运动路程为 x,OP的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC的中点时，OP的长为 0 图1 图2 A.2 B.3 C.5 D.22 20.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E,F分别是边 AB,BC上的动点，且满足AE=BF,AF与DE交于点O, M是DF的中点，G是边AB上的点，连接FG,AG= 2GB,则OM+FG的最小值为 A.4 B.5 C.8 D.10 D G E GB 第20题图 第21题图 21.如图，边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边 中点。连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那 么四边形MNPQ的面积为 （) A.1 B.2 c.5 D.10 22.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,∠C=70°， 以AB为直径作半圆，与AC,BC分别相交于点D,E,则 -3 DE的长度为 () 28.如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分， A.g B.Sm C.10m 图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得 9 9 到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m,点C,D分别为 C OA,OB的中点，则花窗的面积为 m2。 D B 0 第22题图 第23题图 0 图 图2 23.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是 OC的中点，EF∥AB交BC于点F。若AB=4,则EF 类型3网格作图题2 的长为 () 29.若想在如图的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的x B.1 D.2 3 轴、y轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长，则下列 24.将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD, 哪一种画法可在方格纸的范围内标出(5,3)，（-4，-4)， 连接AC,则tan∠CAB= (-3,4),(3,-5)四点？ B 图1 图2 B 第24题 第25题图 25.如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接 CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF。 若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 0 26.如图，正方形ABCD的面积为4，E,F,G,H分别为边 AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH的面积为 0 D H 30.如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与 第26题图 第27题图 阴影部分组成正方体展开图的方法有 27.如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重 合，打开后，得到折痕EF,连接BF。再将矩形纸片折 叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG。若点G 恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB=4, 则BC的长为 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 31.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的 边长均为2，∠ABD=120°，其中点A,B,C都在格点上， 则tan∠BCD的值为 () A.2 B.23 .3 D.3 32.黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方 形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知 一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上， 且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分 割点C处，且6=5 AB 2 ,若NP=2cm,则BC的长为 cm(结果保留根号)。 M Q 33.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G 均在格点上。 (1)线段AG的长为 (2)点E在水平网格线上，过点A,E,F作圆，经过圆与 水平网格线的交点作切线，分别与AE,AF的延长线相 交于点B,C。在△ABC中，点M在边BC上，点N在边 AB上，点P在边AC上。请用无刻度的直尺，在如图所 示的网格中，画出点M,N,P,使△MNP的周长最短，并 简要说明点M,N,P的位置是如何找到的（不要求 证明)(2)以B,G,8,C为顶点的四边形的面积=10x8-2×7×2× AC=BC,∠ACB=90°，.∠CAB=∠ABC=45°。 GH⊥AH,.△AHG是等腰直角三角形。 4-2× 2×4×8=40。 AH=2AG=2BD。 21 2 (3)如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标为(6,6)。 .·∠BHG=∠BCG=90°，BF=GF, 26.(1)证明：如图1，标注∠1，∠2，连接CD。 根据题意，得BC=BD,∠CBD=180°-2ao FH=FC=BF=2BG。 .∠BDC=∠BCD。 ∴.∠FBH=∠FHB,∠FBC=∠FCB。 .:∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°， .∠GFH=∠FBH+∠FHB=2∠FBH, ∠BDc=180°-(180°-2）=a。 ∠GFC=∠FBC+∠FCB=2LFBC。 2 ∴.∠HFC=∠GFH+∠GFC=2LFBH+2LFBC=2LABC=90°。 ∴.∠BDC=∠A。∴.AC=CD。 .·FM⊥BG,∴.∠BFM=90°。 .DN⊥AN,∴.∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°。 .∠HFM=∠CFN。 .∠1=∠2。.CD=CE。∴.AC=CE。 设∠CBG=x,则∠ABG=45°-x,∠CGB=90°-x。 .C是AE的中点。 .∠HMF=∠BFM+∠FBM=135°-x。 M :CN平分∠ACB,∠CCN=号LACB=45。 .∠CWF=∠CGW+∠GCN=135°-x。 3 ∴.∠HMF=∠CNF。 A B D B 图1 图2 ·.△HFM≌△CFN(AAS)。∴.HM=CN。 (2)解：EF=2AC。证明如下： AM=HM+AH,:.AM CN+BD 如图2，标注∠3，在射线AM上取点H,使得BH=BA,取EF的中 点G,连接DG,DH。 BH=BA,∠BAH=∠BHA=aO .∠ABH=180°-2a=∠CBD。 .∴.∠ABC=∠HBD。 .'BC=BD,.△ABC≌△HBD(SAS)。 图1 图2 .AC=DH,∠BHD=∠A=ao (3)解：如图2，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H,连接 ∴.∠FHD=∠BHA+∠BHD=2。 FH,延长DQ交FH于点K。 :DF∥AN,∠EFD=∠A=a,∠EDF=∠3=90°。 .·BD∥AC,∠ACB=90°，∴.∠BCH=∠CBD=90°。 G是AE的中点，∴.FG=DG,EF=2DG。 ,DH⊥AC,∴.四边形BCHD是矩形。.BC=DH=AC。 .∠GFD=∠GDF=a。∴.∠HGD=2a。 :F是AD的中点，且AF=AC, ∴.∠HGD=∠FHD。∴DG=DH。 ∴.AD=2AF=2DH=2FH=2DF。 .AC=DH,∴.DG=AC。∴.EF=2ACe .△FDH是等边三角形。∠DFH=∠FDH=6O°。 ∴.∠BDA=∠DAH=30°。.∠FHA=∠FAH=30°。 27.（1)证明：：∠ACB=90°，BD∥AC, ∴.∠CBD=180°-∠ACB=90°。 由旋转的性质可得FQ=FP,∠PFQ=60°=∠DFH。 ∴.∠DFQ=∠HFP。.△DFQ≌△HFP(SAS)。 :AE⊥CD,.∠ACD+∠CAE=90°。 ∠FDQ=∠FHP=30°。∴.点Q在直线DQ上运动。 .·∠ACD+∠BCD=90°，∴.∠CAE=∠BCD: 又.·AC=CB,∠CBD=∠ACE=90°， 则DK1P,K=分Fm,LFDK=分LFDH=30. △ACE≌△CBD(ASA)。.BD=CE。 .∠BDQ=60°。 ,E是BC的中点， 由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值。 ∴.BC=2CE=2BD。∴.AC=2BD .∠DBQ=30°。 (2)证明：如图1，过点G作GH⊥AB于点H,连接FH。 设AC=DH=6a,则AH=√3DH=6√3a。 BD∥AC,.∠FBD=∠FGA,∠D=∠FAG。 .BD=CH=AH-AC=6√3a-6a。 F是AD的中点，∴.AF=DF。 ∴.△AGF≌△DBF(AAS)。∴.AG=BD,BF=GF。 D0=2BD=33a-3a。BQ=3D0=9a-33a。 -59- 在R△DFK中，K=子FH=DH=3a, 大值，.t-1≤3。又当x=1时，函数取得最小值，.t-1≥1。 ∴.1≤t-1≤3。解得2≤t≤4。故选C。 .DK=√DF2-FK=33a。 ∴.QK=DK-DQ=3ao 6B【解折1：项点为(1,2)，一会=1.6=-2a。a<0, 在Rt△FQK中，由勾股定理，得FQ=√FK+QK=3√2a。 b>0。a+b+c=2,c=2-a-b=2-a-（-2a）=2+a。 ∴.c无法判断。故①错误。·a<0,∴.抛物线开口向下。对称轴 .△DFQ≌△HFP,∴.PH=DQ=33a-3ao 为直线x=1,.当x>1时，y随x的增大而减小。故②正确。 .CP=CH-PH=33a-3a。 b=-2a,c=2+a,.y=ax2-2ax+2+a。当x=3时，y=0, ∴.由折叠的性质可得TQ=BQ=9a-3√3a。 1 .FT≤FQ+TQ, 0=9a-6a+2+a。a=-2。故③正确。：y=am+bx+c= …8=00 a(x-1)2+2,∴.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个 CP 单位长度得到y=a(x-1+1)2+2-2=a2。故④错误。故选B。 当点Q在线段T上时，品此时有最大值，最大值为 7.C【解析】：函数图象开口向上，.a>0。对称轴在y轴右侧， a,b异号。.b<0。抛物线与y轴的交点在y轴负半轴， F0+TQ_32a+9a-33a-6+2+23 CP 3√3a-3a 2 ∴c<0。.bc>0。故①错误。，二次函数y=ax2+bx+c的图象 与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1, 集训九选择、填空题重难点突破 b 1.A【解析】小：抛物线y=x2+2x=(x+1)2-1,.新抛物线的顶点 :.-2 =1,当x=-1时，y=0。∴.b=-2a,a-b+c=0。∴.3a+c=0。 式为y=(x+1)2-3。故选A。 .3a+2c<0。故②正确。，对称轴为直线x=1,a>0,.ax2+bx≥ 2.D【解析】顶点坐标为(-1,4)，对称轴为直线x=-1。故A 错误。由对称性可知，(-3,0)关于直线x=-1对称的，点为 a+6。故③正确。：西=(-1)×3=-3=合，c=-3a。 (1,0)。故B错误。当x<-1时，y随x的增大而增大。故C错 1 2 -2<c<-1,-2<-3a<-1.3<a<3。b=-2a, 误。设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4。将(-3,0)代入， 得a=-1。二次函数的表达式为y=-(x+1)2+4。令x=0, a+b+c=a-2a-3a=-4a。心号<a+b+c<-3。故g 得y=3。·.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为3。故D正 正确。故选C。 确。故选D。 3.A【解析】小抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为 8D【解折：二次函教y=分+6：与y (1,0)和(x2,0),且x1<1,.x1-1<0,x32-1>0。.(x1-1)· -证的图象均过点4(4,0)和坐标原点0， （x-1)<0。名2-(x1+x)+1<0。由根与系数的关系可得 P是线段OA的中点，∴.P(2,0),两个函数的对 -c-b+1<0。,b+c>1。故选A。 图1 b 4.B【解析】如图，分别过点A和点C作y轴 y 称轴均为直线x=2。∴.x=- =2, 1 的垂线，垂足分别为M和N。根据题意，得 2×（-2】 N C 点A的坐标为（m,-m2+4),点C的坐标 解得b=2。故①正确。如图1，过，点B作BD⊥x轴于点D,过，点C D 为(n,-n2+4),.AM=m,0M=-m2+4, 作CE⊥x轴于点E,则∠CEP=∠BDP=90°。由函数的对称性可 M中- CN=n,ON=-n2+4。'四边形ABCD是 0 知PE=PD。 正方形，∴.AD=CD,∠ADC=90°。∴.∠CDN+∠ADM=∠ADM+ L CEP=LBDP, ∠DAM=90°。.∠CDN=∠DAM。在△CDN和△DAM中， 在△CEP和△BDP中，{EP=DP, L∠EPC=∠DPB, ,∠CND=∠DMA, ∠CDN=∠DAM,.△CDN≌△DAM(AAS)。·.DM=CN=n, △CEP≌△BDP(ASA). .PB=PC。故②正确。 CD=AD, DN=AM=m。MN=DM+DN=m+n。又MN=ON-OM= 如图2，当点B,C分别在两个函数的顶点上时， BC1OA,点B,C的横坐标均为2。由①可知两 m2-n2,.m2-n2=m+n,即(m+n)(m-n)=m+n。'm>n>0, 个二次函载的表达式分别为y=-名2+2， 图2 ∴.m+n≠0。∴.m-n=1。故选B。 5.C【解析】小：y=x2-2x=(x-1)2-1,.抛物线的对称轴为直线 x=1,且顶点坐标为(1，-1)。1-（-1)=3-1，x=-1和 y=7-2,B2,2,c(2,-2)。BC=2-（-2)=4。点 x=3时的函数值相等。：-1≤x≤t-1,当x=-1时，函数取得最 A(4,0),.0A=4。BC=0A。BC⊥0A,此时以0，A,B,C为 60- 顶，点的四边形是正方形。故③正确。 如图3，作点B关于y轴的对称点B',连接BC cH。在△Ga0中，CH=VOm+0C=√(+3=T 交y轴于点Q,连接BQ。此时△BCQ的周长最 B- 故④正确。故选C 小，最小值为BQ+CQ+BC=B'Q+CQ+BC= 11.> 名<m<1【解析】：y=-2+4-1=-(x-2)2+ BC+BC。点B的横坐标为1，B1,) 图3 3,.二次函数y=-x2+4x-1图象的对称轴为直线x=2,开 点C的横坐标为3。(-1,2)，c,-2) 口向下。0<名1<1，x2>4,2-x1<2-2,即(x1,y1)比 (2,y2)离对称轴直线的水平距离近。y1>y2。m<x1< c-8-P+(-新=E m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,∴.x1<x2<x30 :对于m<x1<m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存 BC=√(-1-3)2+（含+2=5。△B0周长的最小值为 在y1<3<y2,.名1<2,3>2，且A(x1,y1)离对称轴最远，B (x2,2)离对称轴最近。2-x>x-2>x-21。.名+为< B'C+BC=5+√3。故④正确。故选D。 4,且x2+x3>4.2m+2<x1+x3<2m+4,2m+3<x2+x3< 9.C【解析】小：y=x2-2ax+a(a≠0)，抛物线开口向上，且对称 轴为x=-=a,顶点坐标为(a,a-d)。当a>0时，0<受< 2m+5,2m+2<4,且2m+5>4,解得-7<m<1 a,a-a2<y<a;当a<0时，a<号<0，a-a2<<a。故A, 124【解析：抛物线y=-之+了+3=-(x-号+ B错误，不符合题意。当a>0时，0<a<2a<3a,由二次函数对称 性可知，点(0，a)和点(2a,a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随 抛物线y=-+字+3的“开口大小为2-=2× x的增大而增大，.当x=3a时，y2>a>0;当a<0时，3a<2a< a<0。由二次函数对称性可知，点(0，a)和，点(2a,a)关于对称轴 1-21=4。 对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，.当x=3a时，y2>a,不 13.（4,1)【解析】如图，作点A关于对称轴的对称 点A',点A'向下平移3个单位长度，得到点A”, A 一定大于0。故C正确，符合题意；D错误，不符合题意。故选C。 10.C【解析】小：抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的 连接A"B,交对称轴于点C,此时AD+BC的值最 图象交x轴于点B(1,0),∴.a+b+c=0。故 小，D+BG=AB。在y=72-4+6中，令 ①正确。抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图 象交x轴于点A(-3,0,B(1,0-品 x=0,得y=6。点40,6)。令y=0,得分-4+6=0，解 得x=2或x=6。∴.点B(2,0)。,抛物线的对称轴为直线x= =3+1=-1。b=2a。a+b+c=0,c=-3aoa+36+ 2 、-4 =4,∴.A'(8,6)。∴.A"(8,3)。设直线A"B的表达式为 .1 2c=a+6a-6a=a。a<0,a+3b+2c<0。故②正确。抛 2×2 物线的对称轴为直线x=-1,AC≠BC。A(-3,0),B(1,0), 8k+b=3, 解得 C(0,c),.AB=4。当AC=AB=4时，AC2=0A2+0C2,即42= y=x+b。把点A”,B的坐标代入，得 L2k+b=0, 32+c2。解得c=√7或c=-√万（不合题意，舍去）；当AB=BC= [k= 4时，BC2=0B2+0C,即42=12+c2,解得c=√15（负数舍去）。 2’直线AB的表达式为y=2-1。当x=4时y=1。 Lb=-1。 综上，当以，点A,B,C为顶，点的三角形是等腰三角形时，c=√7或 .C(4,1)。 c=√15。故③错误。当c=3时，C(0,3),则OC=3。如图，取点 14.A【解析】如图，：AB∥CD,∴.∠CDB=∠ABF=60°。，CD1 4 DE,.∠CDE=90°。.∴.∠1=180°-60°-90°=30°。故选A。 -专叭连接m,则0m=号。六8-喜=子8所 OA 号小g=-8器∠op=∠PA00M器 8贺=号.Pm=号PH,PC+号PA=C+Pm。当c,PH米 线时，PC+PH的值最小，即此时PC+子AP的值最小，最小值为15.C【解析1如图，：支持力R的方向与斜面垂直，摩擦力月，的方 -61- 向与斜面平行，.∠3=90°。：重力G的方向竖直向下，∴.Lα+ 为腰的等腰梯形，则PD>6cm,这种情况在4<t≤8时不存在。 ∠1=90°。∴∠2=∠1=90°-25°=65°。摩擦力F2的方向与 ∴.t为6s时，PQ=CD; 斜面平行，.∠B+∠2=180°。.∠B=180°-∠2=180°-65°= D D 1 115°。故选C。 F →Q 0-0 图3 图4 ③当8<t≤12时，四边形CQPD是平行四边形，如图4。此时CQ= 3(t-8),PD=12-t,∴.3(t-8)=12-t。解得t=9。 ∴.t为9s时，PQ=CD。 16.D【解析】如图，设直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c。 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD。故选B。 19.C【解析】结合图象，得到当x=0时，OP=OA=4,∴.当点P运 动到点B时，OP=OB=2。.·四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD。 .∠A0B=∠B0C=90°。.AB=BC=√OA2+0B=25。当，点P 图1 图2 运动到BC的中点时，0P的长为2BC=5。故选C。 :图1中大正方形的面积为24，。2+B2=6=24。:小正方形20.B【解析：四边形ABCD是正方形，AD=AB,LDMB=LABC= 的面积为4，(a-b)2=a2+b2-2ab=4。.ab=10。.图2中 90°。又AE=BF,∴.△ADE≌△BAF(SAS)。∴.∠ADE=∠BAF。 最大的正方形的面积为2+4×2b=24+2×10=4。故选D。 ∴.∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°。，·M 1n.C【解标】在△Ac中，mB=C4C-号x6=25。 是DF的中点，0M=2DF。知图，在 3 ∠C=90°，∠B=30°，.∠CAB=60°。AD平分∠CAB, AB的延长线上截取BH=BG,连接FH。 .·∠FBG=∠FBH=9O°，BF=BF,BG=BH, ∠CD=分×60=0，在R△AC0中，m∠C0=0, .△FBG≌△FBH(SAS)。.FH=FG。 :CD=x25=2。AD平分∠CAB,且DC14C,点D到边 3 G=F+号那=宁(DF+)。当H,D,F三 .0M+2 AB的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最小值为2。故： 点共线时，如图此时DH与BC交于点F',DF+HF有最小值，即 选C。 此时OM+2FG有最小值，最小值即为DH的长的一半。“AG= 18.B【解析】由已知可得，点P从点A到点D需12s,点Q从点C 2GB,AB=6,BH=BG=2。.AH=8。在Rt△ADH中，由勾股定 到点B(或从点B到点C)需4s。设P,Q运动时间为ts。①当 0≤t≤4时，过，点Q作QH⊥AD于，点H,过，点C作CG⊥AD于，点 理，得DH=VAD+M=10.0M+2FG的最小值为5。故 G,如图1。根据题意，得AP=tcm,CQ=3tcm=GH。PD∥CQ, 选B。 PQ=CD,.四边形CQPD是等腰梯形。.LQPH=LD=LB=21.C【解析】小正方形的边长为5，CD=5,CF=2.5。由勾股定 PQ=CD=AB=6 cm.PI-P=3 cm,DG-CD- 里，得DF=55。根搭题意，得△D0G△DCR.六0D:OG 3cm。:AP+PH+GH+DG=AD=BC=12cm,∴.t+3+3t+3= ! CD:CF=2:1。QD=2QG=5。E,F,G,H分别为各边中点， 12,解得t=1.5」 .DQ=PQ=√5。.四边形MNPQ的面积=(V5)2=5。故选C。 22.C【解析】如图，连接OD,OE。,AB=AC D .∠ABC=∠C=70°。0E=OB, Q←C B Q .LOEB=∠ABC=70°。·.L0EB=∠CO 图1 图2 .∴.OE∥AC。在△ABC中，∠A+∠ABC+ 当四边形CQPD是平行四边形时，如图2。此时PD=CQ=3tcm。 .t+3t=12,解得t=3。t为1.5s或3s时，PQ=CD; ∠C=180°，.∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°， ②当4<t≤8时，四边形CQPD是平行四边形，如图3。此时BQ= 0A=0D=2AB=5。:0E∥AC,∠A=∠AD0=40°=∠D0E。 3(t-4)cm,AP=tcm。AD=BC,PD=CQ,.BQ=AP。 ∴.3(t-4)=t,解得t=6。由①知，若四边形CQPD是以CD,PQ D死的长度为40x5_10m。 180 9 -62- 23.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形，0C=号AC。28(年-日)【解析】：C,D分别是0A,0B的中点，0C= :E是0C的中点CB=20C=子AC。yEF/AB,ACE 0D=m,Sa=××分=g(m)。58aw 1 1 aca器-8器竖4 4=4。EF=1。故选B。 00=平()花商的西积为行-8m。 360 24【解析】如图，设AC与BD的交点为 29.D 30.B【解析】如图所示，选择标有1或2的位 O。.·∠ABD=∠CDB=90°，∴.CD∥AB 置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方 A 又AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四 体展开图，所以能与阴影部分组成正方体展 边形。AC与BD互相平分。小0B=2BD。:AB=BD, 开图的方法有2种。故选B。 0B=2AB。在Ru△A0B中，an∠CAB=OE=号 31.B【解析】如图，延长BC交格点于E, AB=2 连接AE。根据题意，得AE⊥BE,AE= 25.60【解析】如图，过点C作CM⊥AB,CN⊥ 4√3，EC=2,∴.tan∠BCD=tan∠ACE= BF,则CM=CN。.·AB=AC,∴.∠ABC= ∠ACB。:BF∥AC,.∠ACB=∠CBF。 A EM 瓷--2。故选B 六LABC=LCBF。BC平分LABF。:Sa4a=2AB·CM, 32.(√5-1)【解析】：四边形MWPQ是正方形，∴.∠N=∠P= 90°。又：AB∥NP,∴∠BAW+∠N=180°。.∠BAN=90°。 Scm=2BF,CN,且BF=AE,SAam=G四边形EBFC 四边形ABPW是矩形。AB=MP=2cm。又BC=5-1, AB 2 的面积=SACBF+SACBE=SAACE+SACBE=SAABC。AC=13, ∴.AB=13。设AM=x,则BM=13-x。由勾股定理，得CM= ..BC=(5-1)cmo AC2-AM=BC2-BM2,即132-x2=102-(13-x)2。解得x= 33.(1)2 M. 畏cw-√3-(-0so=B.w=0, (2)如图，根据题意，切点为M;连接ME 并延长，与网格线相交于点M1;取圆与网 ∴.四边形EBFC的面积为60。 格线的交点D和格点H,连接DH并延 26.2【解析】如图，连接HF,EG。正方形ABCD A 长，与网格线相交于点M2;连接M1M2,分 的面积为4，.BC∥AD,BC=AD。H,F分别 别与AB,AC相交于点N,P,则点M,N,P即为所求 是边BC,AD的中点，∴.四边形BFHA是平行四 集训十解答题重难点突破 边形。∴.AB=FH,AB∥FH。同理可得BC= 1.(1)证明：直线1与⊙0相切于点A,AB是⊙0的直径， EG,BC∥EG。:AB⊥BC,.FH⊥EG。∴.四边形EFGH的面积为 .AB⊥CD。∠BAC=∠BAD=90°。 2GFH=号×2x2=2。 .·AB是⊙O的直径，∴.∠AFB=90°。 .∠BAF+∠ABD=90°，∠CDB+∠ABD=90° 27.2√10【解析】如图，设AG与BF A D ∴.∠BAF=∠CDB。 交于点M。四边形ABCD是矩形， (2)解：在Rt△ABD中，，AB=2r=12,AD=9, .∠ABC=∠C=90°，AB=CD=4。 M 由翻折，得CF=2CD=2,4G1 H .BD=√92+122=15。 B G 在Rt△ABC中，：AB=12,AC=12,.BC=√122+12=12√2。 BH。设BG=a,则BC=5a。∴.AG=√AB+BGC=√16+a,BF= ,·∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD,∴.△BAF∽△BDA。 VBC+CF=V2s+4。:Sm=2AB·BG=2AG·BM BF:BA=BA:BD,即BF:12=12:15,解得BF=48 9 .BM=AB.BG 4a .'∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,∴.∠BEF=∠CDB。 .·∠BMG=∠C=90°，.∴.cos∠FBC= AG /a2+16 .·∠EBF=∠DBC,∴.△BEF∽△BDC。 能-邵。则：即=c·BC 4a V√25a+4=a·5a。 ÷.EF:DC=BF:BC,即EF:21=48:12E, √a+16 5 0=号0。经检验，a=号0是原方程的解。BC=50=2而。 解得EF=422 59 -63- 2.(1)证明：如图，连接0E。 的长为60πx3 T 180 .∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠ABC=45°。 N(B) B .∴.∠C0E=2∠ABC=90°。 .·EF∥CD,∴.∠C0E+∠OEF=180°。 ∴.∠FE0=90°。 图1 图2 .OE是⊙0的半径， (2)如图2，过点B作BI⊥OA于点I,过点O作OH⊥MN于点H, ∴.EF是⊙O的切线。 连接OM,OB。 (2)解：如图，过点M作MH⊥BC于点H,连接BD,则△BMH是等 :OA∥MN,.∠1IBH=∠BH0=∠HOI=∠BI0=90°。 腰直角三角形。 ∴.四边形BIOH是矩形。∴.BH=OI,BI=OH。 BM=4,2,BM=Mh=2BM=4。 .·MN=2√5，OH⊥MN,.MH=NH=5。 2 在△CM中，m∠BCD-捌-分CA=2Mm=8。 .·OM=3,.OH=√OM2-Mf=2=B1。 .点B到OA的距离为2。 .CM=√CH+M=4V5,CB=CH+BH=12。 AB=3,BIL0A,.AI=√AB2-Br=√5。 CD是⊙O的直径，.BD⊥BC。.MH∥BD。 .OI=OA-A1=3-√5=BH。 删-g册源DM=2.00=0=35 .x=BN=BH+NH=3-√5+5=3。 (3)①如图3，过点O作OJ⊥BC于点J,过点0作OK⊥AB于点K。 ∴.OM=OD-DM=√5。 .∠ABC=90°，过点A的切线与AC垂直， 3.(1)解：如图1，连接0E,0F。 .AC过圆心。.四边形KOJB是矩形。.OJ=BK。 由切线长定理可知，AF=AD,BD=BE。 .:AB=3,BC=32,.AC=AB2+BC2=33。 ∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆， .∠C=∠OEC=∠0FC=90°，0E=OF。 wc-提清有袋K5 .四边形OECF是正方形。 .OJ=BK=3-3,即d=3-√3。 设OE=OF=CF=CE=x, 图1 A' M 则BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD。 BD+AD=AB=√AC+BC=√32+4=5， 0 ∴.4-x+3-x=5,解得x=1。 图3 图4 图5 .0E=1,即⊙0的半径长为1。 ②如图4，当B是MN的中点时，过点O作OL⊥B'C于点L,过点O 故答案为AD:BE;1。 作OJ⊥BC于点J。 (2)证明：如图2，过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF。 :∠OJL>90°，.0L>0J,故当B是MN的中点时，d最短。 ∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB, 如图5，过点A作AQ10B于点Q。 .△AMW≌△ABC(AAS)。AN=ACO B是MN的中点，∴.OB⊥MN。 AD=AF,..AN-AD =AC-AF, 同(2)可得0B=2。.BQ=0Q=1。 即DN=CF。 .AQ=√32-12=22。 同(1)可知，CF=0E,∴.DN=0E。 ,·∠ABC=90°=∠AQB .:∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN, ∴.∠OBJ+∠ABO=90°=∠ABO+∠BAQ。∴.∠OBJ=∠BAQ。 四边形OHND是矩形。 图2 ∴.OH=DN。 mL0=L0.器-器方 .∴.OH=OE,即OH是⊙0的半径。 设OJ=m,则BJ=2√2m。 ,OH⊥MN,∴.MN是⊙O的切线 0+B=0B2,即m2+(22m)2=22, 4.解：(1)如图1，连接0A,0B。 解得瓜=子(m的负值配会去)。 .⊙0的半径为3，AB=3,.OA=OB=AB=3。 .△AOB是等边三角形。.∴∠AOB=60°。 :0的最小值为子，即a的最小值为子。 64