9.1.2·余弦定理【知识梳理+7个核心题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教B版必修第四册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【9.1.2·余弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：余弦定理求角/边长】 【练方法】 知识梳理 1核心公式 变形（求角公式） 2适用场景 已知两边及夹角求第三边 已知三边求任意一角 已知两边及对角可结合正弦定理判断解的个数 3三角形形状判断结论 若则为锐角 若则为直角 若则为钝角 解题方法 1求边长：直接套用余弦定理公式已知两边及夹角求第三边 2求角度：已知三边时用求角公式直接计算优先求最大角避免多解 3易错点：求角时注意余弦函数的单调性余弦值与角的对应关系如则为锐角 （25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）在中，已知，，，则c边的长可能为（   ）经典例题1例题 A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】CD 【详解】因为，，， 由余弦定理，即， 即，解得或．故选CD． （25-26高一下·上海青浦·期中）在中，，，，则________.经典例题2例题 【答案】 【详解】由余弦定理，得 . （25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题先利用结合余弦定理列出关于的一元二次方程，解出两个正根，再由同角三角关系求出，借助正弦定理算出，结合推出角有锐角、钝角两种情况，三角形存在两解，故的两个取值均满足三边关系，全部保留. 【详解】在中，由余弦定理得. 已知，，，代入得： . 化简得： . 由求根公式. 因为，由正弦定理. 得，存在两解，即三角形存在两个解. 所以所对的边或. （25-26高一下·山东菏泽·期中）在中，内角所对的边分别为.小试牛刀2 (1)若，求和的大小； (2)若，求和的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算可得； （2）借助余弦定理计算可得，再利用正弦定理计算即可得. 【详解】（1）由，可得， 由余弦定理，可得， 即，则； （2）由余弦定理，可得， 即，解得， 则由正弦定理可得. （25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 【题型2：余弦定理在边角互化中的应用】 【练方法】 知识梳理 1角化边：将条件中的余弦直接替换为边的形式如 2边化角：将边的二次式转化为余弦形式如 3齐次式结论：边的二次齐次式可直接转化为余弦形式快速判断三角形形状 解题方法 1角化边法：条件含时直接用余弦定理替换为边的关系化简求解 2边化角法：条件含边的平方时用余弦定理转化为余弦形式再结合三角恒等变换化简 3秒杀技巧：遇到该结构直接替换快速化简 （25-26高二下·浙江·期中）记的内角所对的边为，已知，，则__________.经典例题1例题 【答案】 【详解】由，得， 所以，所以，又因为，所以. 由余弦定理可得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以，即，解得，所以， 所以. （2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____.经典例题2例题 【答案】 【分析】本题主要利用三角形内角和与三角恒等变换，求出角，再利用余弦定理建立等量关系，将转化为关于的表达式，进而利用二次函数的性质求出的最小值. 【详解】在中，，则，由诱导公式可知， 所以由，可得， 即， 化简得，因为，所以， 因此，又因为，所以. 在中，由余弦定理可知，已知，， 则，所以， 当时，取最小值为，因此的最小值为. （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则______.小试牛刀1 【答案】 【分析】由余弦定理变形得，所以，代入，并利用二倍角公式，诱导公式变为同名函数，再利用三角函数性质得出结论. 【详解】因为，所以，两边同乘以得， 又由余弦定理得，所以， 所以，所以， 因为，所以 即， 显然不可能为钝角，否则 ，，不可能相等， 同样不可能等于， 所以为锐角，所以，所以. （25-26高一下·山东济南·期中）在中，已知，则的形状为________．小试牛刀2 【答案】直角三角形或等腰三角形 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边化简给定等式即可. 【详解】在中，， 由正弦定理和余弦定理得 ， 整理得，则或， 所以是直角三角形或等腰三角形. （25-26高三下·安徽合肥·月考）在中，角A，B，C的对边，b，c，且，则的值为_______.小试牛刀3 【答案】2 【详解】根据余弦定理可得， 则即 再由正弦定理原式可化为，故. 【题型3：余弦定理求周长/面积】 【练方法】 知识梳理 1周长：已知两边及夹角时先用余弦定理求第三边再求周长 2面积：结合余弦定理已知三边时可先求角再算面积 3海伦公式：其中 解题方法 1周长计算：已知两边及夹角时用余弦定理求出第三边再相加得到周长 2面积计算：已知三边时先用余弦定理求出一个角的余弦值再求正弦值代入计算 3海伦公式：已知三边时直接代入公式计算面积适合快速求解 （25-26高一下·重庆·期中）在中，角，，所对边分别为，，，，．经典例题1例题 (1)若，求的值，以及的面积； (2)若，求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由余弦定理求得，再由面积公式计算面积； （2）由正弦定理化边为角求得，再计算出后，由正弦定理求得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以； 所以． （2）因为； 所以，即，所以， 因为，所以，即，所以； 所以由得． （25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且．经典例题2例题 (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式、诱导公式得到，根据三角形面积公式求出，结合余弦定理求出，即可得到三角形周长. （2）利用两角差的余弦公式、辅助角公式进行化简，得到，根据锐角三角形求出的范围，进而求值域即可. 【详解】（1）中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. （2） . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. （25-26高二下·湖南岳阳·期中）记的内角、、的对边分别是、、，已知，，．求：小试牛刀1 (1)的值； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的等式，解之即可； （2）利用同角三角函数的基本关系求出，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得，即， 整理得， 因为，解得. （2）因为，则为锐角，且， 故的面积为. （25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. （25-26高一下·黑龙江大庆·月考）已知，，分别是的内角，，的对边，．小试牛刀3 (1)求角； (2)若是锐角三角形，，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意得，利用正弦定理可得，进而可求得，可求得角； （2）利用三角恒等变换和同角三角函数间的关系可求得，利用正弦定理可求得，可求的面积． 【详解】（1）， ， ， 由正弦定理得，，， ，． （2），， ， ， 由正弦定理知，，， ． 【题型4：余弦定理+基本不等式求周长/面积最值】 【练方法】 知识梳理 1核心依据：余弦定理与基本不等式 2周长最值：固定一边及对角时由余弦定理结合基本不等式可求的范围进而求周长最值 3面积最值：固定一边及对角时结合余弦定理和基本不等式可求的最大值进而求面积最大值 4常考结论：固定一边及对角时等腰三角形（）时周长和面积均取得最大值 解题方法 1周长最值 由余弦定理得到 结合建立关于的不等式求解范围 再结合求周长的最值 2面积最值 由余弦定理得到或直接用 结合得到 代入得到面积的最大值 3验证：当时基本不等式取等号此时三角形为等腰三角形验证满足条件 （25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中，角所对的边分别为，满足．经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可； （2）结合余弦定理及基本不等式求解即可； （3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 整理得：， 即，， 而,故，又因为，所以； （2），， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； （3）如图所示： 设， 则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以 （25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，角的对边分别为，且 ．经典例题2例题 (1)求角的值； (2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； (3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． ，． （2） ，， 由，得． ， ． 平分， ． ， ； ． （3） ， ，即，得 ． ， ，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立． ， 即的面积最大值为． （25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.小试牛刀1 (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. （25-26高三上·山西太原·月考）在中，角A、B、C所对的边为、、，且．小试牛刀2 (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【详解】（1）由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． （2）因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． （2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为小试牛刀3 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将的周长为利用正弦定理及余弦定理变形化简，求出，再结合角的范围，即可求出角； （2）利用余弦定理及基本不等式先求出，再根据三角形面积公式即可求出面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为的周长为， 所以，即，化简可得， 故由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为，，所以由余弦定理 可得，解得，当且仅当时取等号， 所以面积， 即当时，面积取最大值. 【题型5：余弦定理+基本不等式求角/边长的最值】 【练方法】 知识梳理 1角的最值：固定两边时由余弦定理结合基本不等式可求的范围进而求的最值 2边长的最值：固定一边及对角时由正弦定理或余弦定理结合基本不等式可求其他边的范围 3常考结论：固定两边时第三边的范围为；当最大时最大此时最小 解题方法 1角的最值 由余弦定理表示 结合的范围或利用得到的范围 再由余弦函数的单调性求的最值 2边长的最值 固定一边及对角时由结合和基本不等式求或的范围 再由等三角形不等式确定边长的最值 3易错点：注意角的范围为余弦函数在上单调递减 （25-26高一下·湖南衡阳·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理、余弦定理和基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，所以， 由的面积为，得，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. （25-26高一下·江苏扬州·期中）内角､､的对边分别为，满足，且，以下说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．是锐角 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，根据余弦定理： 代入条件得，， 即， 又因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以，得，又因为已知， 所以且. ， 选项A：因为，，故是钝角，A错误. 选项B：，， 函数在单调递减，故，B错误. 选项C：由得，又，故， 由半角公式： ​， 因为为锐角，且函数在单调递增，故，C错误. 选项D：由，且由C选项分析知，所以，D正确. （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知满足，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解． 【详解】已知满足， 设、、对应的边分别为，，， 则， 即， 由 所以，则当取最大值时，取最小值， 由于， 当且仅当时取等号， 即的最小值为，所以的最大值为 （25-26高一下·浙江·期中）已知满足：，则角的最大值是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即. 所以，当时取等号； 又，故角为锐角，，，当时取等号， 所以角的最大值是. （2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ）小试牛刀3 A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 【题型6：余弦定理+向量求中线/定比分点线的长度】 【练方法】 知识梳理 1中线长公式（阿波罗尼斯定理） 2向量法推导中线长：平方得 3定比分点公式：若为上一点且则平方后结合余弦定理可求的长度 解题方法 1中线长计算 直接套用中线长公式 或用向量法写出中线向量平方后结合余弦定理计算长度 2定比分点线长度计算 设分点比例写出向量表达式 对向量平方展开后利用结合余弦定理化简 开方得到线段长度 3适用场景：三角形中已知两边及夹角求中线或分点线的长度 （25-26高一下·山东济南·月考）在中，角的对边分别是，且．经典例题1例题 (1)求； (2)若是边的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得，所以． （2）因为是边的中点，所以， 所以， 则． （2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．经典例题2例题 (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； （2）在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. （25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，是直角斜边上一点，．小试牛刀1 (1)若，求的大小； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）求出，利用正弦定理求出，进而求出，即可求出. （2）设，表示出，，求出，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，，所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 又，所以. 所以. （2）设，则，， 在中，，即，解得或（舍去）. 所以，，，则. 在中，由余弦定理得， ， 所以. （25-26高一下·江苏·月考）在中，角所对的边分别为，且小试牛刀2 (1)求； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，若，求线段的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理可得； （2）余弦定理代入，然后解关于的方程； （3）由向量的线性运算求出的表达式，然后求模. 【详解】（1）由， 得. （2）由余弦定理， 因，可得， 即，解得或（舍去）， 所以. （3）由，，， ， ， 所以. （2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足.小试牛刀3 (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）结合题意与正弦定理得到，再利用余弦定理证明即可. （2）利用余弦定理建立方程，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，最后结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得. （2）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为与互补，所以， 即，则， 整理可得，所以， 此时，可得为直角三角形， 故的面积为. 【题型7：正余弦定理综合解三角形】 【练方法】 知识梳理 1核心思路：正弦定理与余弦定理结合使用解决复杂的边角关系问题 2常见组合： 已知一边及对角结合正弦定理和余弦定理求其他边和角 条件含边和角的混合式先边角互化再用正余弦定理化简 涉及周长面积中线等问题结合两个定理综合求解 解题方法 1先判断已知条件：已知两角一边或两边及对角优先用正弦定理；已知三边或两边及夹角优先用余弦定理 2边角互化：条件中边和角混合出现时先统一转化为边或角再用正余弦定理化简 3分步求解：先求边或角再求周长面积中线等其他量 4易错点：注意三角形内角和为以及大边对大角避免出现多解或无解的情况 （25-26高一下·安徽合肥·期中）的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.经典例题1例题 【答案】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. （25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，，则的长为___________．经典例题2例题 【答案】 【分析】由正弦定理得出，代入已知等式求得，然后由余弦定理求解． 【详解】因为，所以由正弦定理，得，所以． 因为，所以． 所以，即． 又因为，所以， 整理得，即． 因为，所以，所以． 所以，即． 由余弦定理，得， 解得． 因为，所以． （2026·四川宜宾·三模）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为______.小试牛刀1 【答案】1 【分析】根据余弦定理求得.利用三角形的面积公式计算求得，进而求出，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得， 又，所以.又， 所以，即， 解得，所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以. （25-26高一下·江苏·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则的值为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】由向量的数量积公式、余弦定理、正弦定理得，再由余弦定理得，平方求出可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 整理得，又， 由正弦定理得， 所以， 所以，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以. （湖南衡南县第二中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）在中，内角所对的边分别为，的面积为，已知，则_________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】由，可得， 又，所以， 故，其中， 因为，当且仅当时等号成立， 又，当时等号成立， 所以， 故， 即 ． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、的对边分别为、、，且的面积 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ，又， 则， ，， ，，，，， ． 2．（25-26高一下·陕西安康·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积.则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用正弦定理求出外接圆半径即可求解. 【详解】已知，，的面积， 所以，解得. 根据余弦定理得，解得. 则，即，进而外接圆面积为. 3．（25-26高一下·广东广州·期中）三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】由余弦定理知，， 整理得，解得或， 又，所以， 由正弦定理得. 二、多选题 4．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 三、填空题 5．（25-26高一下·山西吕梁·期中）在中，，，，则________. 【答案】2 【详解】由余弦定理， ，，， 所以， 解得. 6．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 【答案】 【详解】由余弦定理可知， 可知， 所以边的高线长为. 7．（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______. 【答案】 3 【分析】根据题意利用余弦定理可得；利用余弦定理消去b结合基本不等式可得，进而分析的最大值. 【详解】由余弦定理和，可得， 所以，则； 由余弦定理，， 当且仅当，即时，等号成立， 而， 由可得为锐角，且，则， 故的最大值为. 四、解答题 8．（25-26高一下·广西柳州·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． (1)求A， (2)若的周长为20，面积为，求a． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. （2）由的面积为，得，解得， 由的周长为20，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. 9．（25-26高一下·河南洛阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且. (1)求角的大小； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量共线性质和正弦定理建立关于的方程并求解； （2）根据三角形内心的性质和面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，得， ，即 . （2）点为的内心，为的角平分线， 而 整理得 由余弦定理，可得 将代入可得， 解得. 的周长为 10．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得； （2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值. 【详解】（1）由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得. （2）由于，， 所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 11．（2026·山西晋中·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据正弦定理得到，再代入计算，再求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）已知，由（1）知， 由余弦定理， 得， ，即， 　当且仅当时取等号， . 12．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角的对边分别为，且． (1)若，求的值． (2)若，的内切圆的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边化角，结合内角和化简，求出，再由两角和正切公式计算即可． （2）由内切圆面积得半径，用面积公式建立与的关系，结合余弦定理，代入求出边长，再由正弦定理将转化为计算． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以， 所以， 在中，因为，所以，即， 因为，所以，即，所以． 所以． （2）内切圆的面积为，所以内切圆半径， 又，则有， 由余弦定理得 ， 所以，解得或（舍）， 因为，所以． 13．（25-26高一下·天津红桥·期中）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，，求. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）使用正弦定理进行边化角，从而求出角; （2）使用面积公式计算出边长关系，再使用余弦定理计算. 【详解】（1）由，根据正弦定理可知 ，即， ， 又， 所以 因为不为零，所以， 又，所以. （2）由的面积为，可知 ，那么 由可知 所以， 由余弦定理得， 所以. 14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知分别为三个角所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的范围. 【答案】(1)； (2)6 ； (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求角； （2）利用面积公式，结合余弦定理，可求出边长； （3）利用正弦定理将边化为角，再转化为三角函数求值域即可. 【详解】（1）由，结合正弦定理得，， 因为，所以， 又因为，所以. （2）由的面积为可得，. 由结合余弦定理得，， 配方可得，，即. 所以三角形的周长为6. （3）由正弦定理可知， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以， 所以，所以 15．（25-26高一下·浙江杭州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若，试判断三角形形状，并说明理由； (2)若，，，求△ABC的面积； (3)若，，，求. 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用正弦定理进行边化角，利用两角差的正弦公式求角. （2）利用余弦定理和三角形面积求角. （3）利用二倍角的余弦公式、余弦函数的图像和性质、正弦定理、两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）由得， ∴， ∴， ∴， △ABC为等腰三角形. （2）因为，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 故△ABC的面积为. （3）因为，所以， 由可知A为锐角，即， 又因为且余弦函数在上单调递减， 由正弦定理得， 即， 所以， 故， 所以 ， 由正弦定理得 . 16．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理，列出方程，求得，得到，结合面积公式，即可求解； （2）由和，结合，求得，结合正弦定理，求得的长，即可得到三角形的周长. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由余弦定理得，即， 整理得，因为，所以，则， 所以的面积为. （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则， 因为为锐角，可得，， 因为，可得， 所以，则 所以得周长为. 17．（25-26高一下·云南昆明·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用三角形内角和关系进行角的代换，再借助正弦定理将边角关系转化为边之间的关系，最后利用余弦定理即可求出角. （2）根据（1）中求得的角和已知边长，由正弦定理求出 ，依据的取值范围分两种情况讨论，确定角，再分别求出对应角的正弦值，最后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由于，则， 所以原式可化为， 又由正弦定理， 为三角形外接圆半径， 得，即， 由余弦定理，得. 由于，所以. （2）由正弦定理，得，所以， 由于，结合，所以或. 当时，，而， 则； 当时，，而， 则. 综上，得的面积为或. 18．（25-26高一下·天津河西·期中）已知a，b，c分别为锐角三角形三个内角A，B，C所对的边，且. (1)求； (2)若，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理转化边角关系，消去得，结合锐角三角形确定. （2）利用余弦定理建立方程，解得. （3）由求，计算二倍角和，再用两角差公式展开进行求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 由于，所以， 所以，又是锐角三角形， 所以. （2）由余弦定理， 化简得，解得或（舍），故. ，为锐角， 此时，所以为锐角，符合题意. （3）由，可得，且为锐角， 则，， 所以 . 此时 ，为锐角，符合题意. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【9.1.2·余弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：余弦定理求角/边长】 【练方法】 知识梳理 1核心公式 变形（求角公式） 2适用场景 已知两边及夹角求第三边 已知三边求任意一角 已知两边及对角可结合正弦定理判断解的个数 3三角形形状判断结论 若则为锐角 若则为直角 若则为钝角 解题方法 1求边长：直接套用余弦定理公式已知两边及夹角求第三边 2求角度：已知三边时用求角公式直接计算优先求最大角避免多解 3易错点：求角时注意余弦函数的单调性余弦值与角的对应关系如则为锐角 （25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）在中，已知，，，则c边的长可能为（   ）经典例题1例题 A．10 B．8 C．5 D．4 （25-26高一下·上海青浦·期中）在中，，，，则________.经典例题2例题 （25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．4 （25-26高一下·山东菏泽·期中）在中，内角所对的边分别为.小试牛刀2 (1)若，求和的大小； (2)若，求和的值. （25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则________．小试牛刀3 【题型2：余弦定理在边角互化中的应用】 【练方法】 知识梳理 1角化边：将条件中的余弦直接替换为边的形式如 2边化角：将边的二次式转化为余弦形式如 3齐次式结论：边的二次齐次式可直接转化为余弦形式快速判断三角形形状 解题方法 1角化边法：条件含时直接用余弦定理替换为边的关系化简求解 2边化角法：条件含边的平方时用余弦定理转化为余弦形式再结合三角恒等变换化简 3秒杀技巧：遇到该结构直接替换快速化简 （25-26高二下·浙江·期中）记的内角所对的边为，已知，，则__________.经典例题1例题 （2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____.经典例题2例题 （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则______.小试牛刀1 （25-26高一下·山东济南·期中）在中，已知，则的形状为________．小试牛刀2 （25-26高三下·安徽合肥·月考）在中，角A，B，C的对边，b，c，且，则的值为_______.小试牛刀3 【题型3：余弦定理求周长/面积】 【练方法】 知识梳理 1周长：已知两边及夹角时先用余弦定理求第三边再求周长 2面积：结合余弦定理已知三边时可先求角再算面积 3海伦公式：其中 解题方法 1周长计算：已知两边及夹角时用余弦定理求出第三边再相加得到周长 2面积计算：已知三边时先用余弦定理求出一个角的余弦值再求正弦值代入计算 3海伦公式：已知三边时直接代入公式计算面积适合快速求解 （25-26高一下·重庆·期中）在中，角，，所对边分别为，，，，．经典例题1例题 (1)若，求的值，以及的面积； (2)若，求． （25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且．经典例题2例题 (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． （25-26高二下·湖南岳阳·期中）记的内角、、的对边分别是、、，已知，，．求：小试牛刀1 (1)的值； (2)的面积． （25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． （25-26高一下·黑龙江大庆·月考）已知，，分别是的内角，，的对边，．小试牛刀3 (1)求角； (2)若是锐角三角形，，，求的面积． 【题型4：余弦定理+基本不等式求周长/面积最值】 【练方法】 知识梳理 1核心依据：余弦定理与基本不等式 2周长最值：固定一边及对角时由余弦定理结合基本不等式可求的范围进而求周长最值 3面积最值：固定一边及对角时结合余弦定理和基本不等式可求的最大值进而求面积最大值 4常考结论：固定一边及对角时等腰三角形（）时周长和面积均取得最大值 解题方法 1周长最值 由余弦定理得到 结合建立关于的不等式求解范围 再结合求周长的最值 2面积最值 由余弦定理得到或直接用 结合得到 代入得到面积的最大值 3验证：当时基本不等式取等号此时三角形为等腰三角形验证满足条件 （25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中，角所对的边分别为，满足．经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． （25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，角的对边分别为，且 ．经典例题2例题 (1)求角的值； (2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； (3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． （25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.小试牛刀1 (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. （25-26高三上·山西太原·月考）在中，角A、B、C所对的边为、、，且．小试牛刀2 (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． （2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为小试牛刀3 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【题型5：余弦定理+基本不等式求角/边长的最值】 【练方法】 知识梳理 1角的最值：固定两边时由余弦定理结合基本不等式可求的范围进而求的最值 2边长的最值：固定一边及对角时由正弦定理或余弦定理结合基本不等式可求其他边的范围 3常考结论：固定两边时第三边的范围为；当最大时最大此时最小 解题方法 1角的最值 由余弦定理表示 结合的范围或利用得到的范围 再由余弦函数的单调性求的最值 2边长的最值 固定一边及对角时由结合和基本不等式求或的范围 再由等三角形不等式确定边长的最值 3易错点：注意角的范围为余弦函数在上单调递减 （25-26高一下·湖南衡阳·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．2 B． C．4 D． （25-26高一下·江苏扬州·期中）内角､､的对边分别为，满足，且，以下说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．是锐角 B． C． D． （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知满足，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江·期中）已知满足：，则角的最大值是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ）小试牛刀3 A．6 B． C． D． 【题型6：余弦定理+向量求中线/定比分点线的长度】 【练方法】 知识梳理 1中线长公式（阿波罗尼斯定理） 2向量法推导中线长：平方得 3定比分点公式：若为上一点且则平方后结合余弦定理可求的长度 解题方法 1中线长计算 直接套用中线长公式 或用向量法写出中线向量平方后结合余弦定理计算长度 2定比分点线长度计算 设分点比例写出向量表达式 对向量平方展开后利用结合余弦定理化简 开方得到线段长度 3适用场景：三角形中已知两边及夹角求中线或分点线的长度 （25-26高一下·山东济南·月考）在中，角的对边分别是，且．经典例题1例题 (1)求； (2)若是边的中点，求的长． （2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．经典例题2例题 (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． （25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，是直角斜边上一点，．小试牛刀1 (1)若，求的大小； (2)若，且，求的长． （25-26高一下·江苏·月考）在中，角所对的边分别为，且小试牛刀2 (1)求； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，若，求线段的长度. （2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足.小试牛刀3 (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 【题型7：正余弦定理综合解三角形】 【练方法】 知识梳理 1核心思路：正弦定理与余弦定理结合使用解决复杂的边角关系问题 2常见组合： 已知一边及对角结合正弦定理和余弦定理求其他边和角 条件含边和角的混合式先边角互化再用正余弦定理化简 涉及周长面积中线等问题结合两个定理综合求解 解题方法 1先判断已知条件：已知两角一边或两边及对角优先用正弦定理；已知三边或两边及夹角优先用余弦定理 2边角互化：条件中边和角混合出现时先统一转化为边或角再用正余弦定理化简 3分步求解：先求边或角再求周长面积中线等其他量 4易错点：注意三角形内角和为以及大边对大角避免出现多解或无解的情况 （25-26高一下·安徽合肥·期中）的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.经典例题1例题 （25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，，则的长为___________．经典例题2例题 （2026·四川宜宾·三模）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为______.小试牛刀1 （25-26高一下·江苏·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则的值为__________.小试牛刀2 （湖南衡南县第二中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）在中，内角所对的边分别为，的面积为，已知，则_________．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、的对边分别为、、，且的面积 ，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西安康·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积.则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东广州·期中）三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题 4．（25-26高一下·河南平顶山·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题 5．（25-26高一下·山西吕梁·期中）在中，，，，则________. 6．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 7．（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______. 四、解答题 8．（25-26高一下·广西柳州·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． (1)求A， (2)若的周长为20，面积为，求a． 9．（25-26高一下·河南洛阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且. (1)求角的大小； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 10．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、的对边分别为、、．已知． (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 11．（2026·山西晋中·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 12．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角的对边分别为，且． (1)若，求的值． (2)若，的内切圆的面积为，求的值． 13．（25-26高一下·天津红桥·期中）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，，求. 14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知分别为三个角所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的范围. 15．（25-26高一下·浙江杭州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若，试判断三角形形状，并说明理由； (2)若，，，求△ABC的面积； (3)若，，，求. 16．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 17．（25-26高一下·云南昆明·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的面积. 18．（25-26高一下·天津河西·期中）已知a，b，c分别为锐角三角形三个内角A，B，C所对的边，且. (1)求； (2)若，，求； (3)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $