9.1.2 余弦定理(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦余弦定理这一核心知识点，通过向量运算推导定理，系统呈现其文字语言、符号语言及推论，衔接勾股定理形成知识支架，为解三角形（已知两边一角、三边等）提供工具。 以山峰距离测量问题引入培养数学眼光，推导与例题分析发展逻辑推理和数学运算素养，题型分类教学辅助课堂效率提升，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

9.1.2　余弦定理 1.借助向量的运算，能推导余弦定理并掌握余弦定理（逻辑推理）. 2.会运用余弦定理解决三角形的一些问题（数学运算）. 　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角. 【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点　余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 符号语言 a2＝　　　　　　　　， b2＝　　　　　　　　， c2＝　　　　　　　 推论 cos A＝　　　　　　， cos B＝　　　　　　， cos C＝　　　　　 　　提醒：对余弦定理的理解：①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立；②结构特征：“平方”“夹角”“余弦”；③揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；④主要功能：实现三角形中边角关系的互化. 【想一想】 1.解三角形时利用余弦定理可解决哪几类问题？ 2.余弦定理公式c2＝a2＋b2－2abcos C与勾股定理c2＝a2＋b2很类似，它们之间有联系吗？ 3.有人说：公式cos A＝中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形.你认为这种说法对吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.（　　） （2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的.（　　） （3）在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形.（　　） 2.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　） A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝ 3.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝（　　 ） A. B.8 C.10 D.7 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝　　　　. 题型一｜已知两边及一角解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，则a＝　　　　； （2）在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝　　　　. 尝试解答 通性通法 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 三角形中已知的元素 解三角形的方法 两边及其夹角 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角 两边和其中一边的对角 ①先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角（这里注意对解的判断），最后用正弦定理求出第三边； ②先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角 【跟踪训练】 1.在△ABC中，AB＝，AC＝2，C＝120°，则sin A＝（　　） A. B. C. D. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积. 题型二｜已知三边（或三边关系）解三角形 【例2】　（1）在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为（　　） A.　　　B. C.　　　D. （2）在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，则A＝　　　　. 尝试解答 通性通法 　　已知三角形的三边（或三边关系）解三角形的两种方法 （1）先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角； （2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角. 【跟踪训练】 1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝　　　　. 2.已知AB＝2，AC＝3，BC＝4，则△ABC的面积是　　　　. 题型三｜判断三角形的形状 【例3】　在△ABC中，若acos B＝bcos A，试判断这个三角形的形状. 尝试解答 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“若cos2＝”问题不变. 通性通法 1.判断三角形形状的常用方法 （1）用余弦定理将条件转化为边之间的代数关系式，利用代数变形对边的关系进行判断； （2）用正弦定理将条件转化为角的三角函数关系式，利用三角函数变形对角的关系进行判断. 2.判断三角形形状的常用结论 （1）cos A＝cos B⇒A＝B； （2）cos （A－B）＝1⇒A＝B； （3）cos A＞0⇔b2＋c2－a2＞0⇔A是锐角 △ABC是锐角三角形； cos A＝0⇔b2＋c2－a2＝0⇔A是直角⇒ △ABC是直角三角形； cos A＜0⇔b2＋c2－a2＜0⇔A是钝角⇒△ABC是钝角三角形. 【跟踪训练】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝acos B＋bcos A，则△ABC的形状为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 题型四｜余弦定理的综合应用 【例4】　已知向量m＝（0，－1），向量n＝，A，B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，a2＋c2－b2＝ac，a＝1，求｜m＋n｜的取值范围及｜m＋n｜最小时△ABC的周长l. 尝试解答 通性通法 　　本例是一道余弦定理与向量、三角恒等变换相结合的综合题，解此类问题时要注意条件的变化与已有知识的联系.如本例中首先要发现a2＋c2－b2＝ac具备余弦定理的结构特征，进而用余弦定理求角B，然后结合向量与三角函数有关知识正确解题. 【跟踪训练】 在△ABC中，AB＝4，E是BC边中点，线段AE长为，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则AD的长为（　　） A.　　　 B.　　　 C.2　　 　D. 1.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 2.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是（　　） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C＝，则c＝（　　） A.7 B.3 C. D. 4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cos B＝，a＝7，且·＝－21，则角C的大小为　　　　，△ABC的面积为　　　　. 提示：完成课后作业　第九章　9.1　9.1.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.2　余弦定理 【基础落实】 新知初探 知识点 b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C 　　 想一想 1.提示：①已知三边，求三角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和另两个角；③已知两边和其中一边对角求第三边和另两个角. 2.提示：对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C中，若C＝90°，则有c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况. 3.提示：不完全对.若b2＋c2－a2＝0，则△ABC是直角三角形.若b2＋c2－a2＜0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2＞0，△ABC不一定是锐角三角形，还要考虑B，C的大小. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.A　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. 3.D　由余弦定理得c＝ ＝＝7.故选D. 4.150°　 解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又∵0°＜B＜180°，∴B＝150°. 【典例研析】 【例1】　（1）60　（2）4或5　 解析：（1）由余弦定理得， a＝ ＝ ＝60. （2）由余弦定理得（）2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0， 解得BC＝4或BC＝5. 跟踪训练 1.B　∵AB＝，AC＝2，C＝120°，由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C，得BC2＋2BC－3＝0，解得BC＝1，或BC＝－3（舍去），∴由正弦定理可得sin A＝＝. 2.解：法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据得c2－24c＋128＝0，解得c＝8或c＝16. 当c＝8时，S△ABC＝16； 当c＝16时，S△ABC＝32. 法二　由＝，得sin B＝sin A， ∴sin B＝sin 30°＝. ∴B＝60°或B＝120°，∴C＝90°或C＝30°. ∴S△ABC＝absin C＝×8×8×sin 90°＝32或S△ABC＝×8×8×sin 30°＝16. 【例2】　（1）B　（2）　 解析：（1）∵c＜a，c＜b，∴角C为最小角且为锐角. 由余弦定理得cos C＝＝. ∵0＜C＜π，∴C＝. （2）由于a∶b∶c＝1∶∶2，故可设a＝x，b＝x，c＝2x，x＞0，∴角A为锐角.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，故A＝. 跟踪训练 1.　 解析：由已知可得（a＋b）2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－.∵C∈（0，π），∴C＝. 2.　 解析：由余弦定理得cos A＝＝＝－.因为0＜A＜π，所以sin A＝＝，可得S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×3×＝. 【例3】　解：法一（边化角）　利用正弦定理知sin Acos B＝sin Bcos A， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0， 故sin（A－B）＝0， 因为A，B是三角形内角， 所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形. 法二（角化边）　利用余弦定理知a×＝b×， 因此a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，即a＝b， 故△ABC是等腰三角形. 母题探究 解：在△ABC中，∵cos2＝， ∴＝＋， ∴cos A＝. 由余弦定理，知＝， ∴b2＋c2－a2＝2b2， 即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形. 跟踪训练 D　∵a＝acos B＋bcos A，∴由余弦定理可得a＝a×＋b×，整理可得2ac＝2c2，∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形. 【例4】　解：∵a2＋c2－b2＝ac， ∴由余弦定理知cos B＝＝. 又∵0＜B＜π，∴B＝，∴A＋C＝，即C＝－A. ∵m＝（0，－1），n＝， ∴m＋n＝（cos A，cos C）. ∴｜m＋n｜＝＝ ＝＝ ＝. ∵0＜A＜，∴＜2A＋＜. ∴－1≤cos＜. ∴｜m＋n｜∈.当｜m＋n｜最小时，A＝. ∴A＝B＝C＝，l＝3a＝3. 跟踪训练 B　E是BC边中点，则＝（＋），所以＝（＋）2＝（＋2·＋），即3＝（16＋2×4·ACcos 120°＋AC2），解得AC＝2，BC＝＝2，AD是∠BAC的平分线，则＝＝，BD＝，CD＝，cos C＝＝＝，在△CAD中，AD＝＝＝. 随堂检测 1.C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈（0°，180°），得A＝60°. 2.C　∵2cos Bsin A＝sin C，∴2··a＝c，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形. 3.C　由S△ABC＝absin C＝a×1×sin＝a＝，解得a＝3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋12－2×3×1×cos＝7，所以c＝. 4.45°　14　 解析：∵·＝－21，∴·＝21，∴·＝｜｜×｜｜cos B＝accos B＝21.又cos B＝，∴sin B＝，ac＝35.又a＝7，∴c＝5，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝4.由正弦定理＝，得sin C＝sin B＝×＝.∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝45°，S△ABC＝absin C＝×7×4×＝14. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $