9.1.2 余弦定理(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9.1.2　余弦定理

课标要求

　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.

【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　余弦定理

　　提醒：对余弦定理的理解：①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立；②结构特征：“平方”“夹角”“余弦”；③揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间

的关系，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；④主要功能：实现三角形中边角关系的互化.

【想一想】

1.解三角形时利用余弦定理可解决哪几类问题？

提示：①已知三边，求三角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和另两个角；③已知两边和其中一边对角求第三边和另两个角.

2.余弦定理公式c2＝a2＋b2－2abcos C与勾股定理c2＝a2＋b2很类似，它们之间有联系吗？

提示：对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C中，若C＝90°，则有c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.

3.有人说：公式cos A＝中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形.你认为这种说法对吗？

提示：不完全对.若b2＋c2－a2＝0，则△ABC是直角三角形.若b2＋c2－a2＜0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2＞0，△ABC不一定是锐角三角形，还要考虑B，C的大小.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.（　√　）

（2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的.（　√　）

（3）在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形.（　×　）

2.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）

A.c2＝a2＋b2－2abcos C

B.c2＝a2－b2－2bccos A

C.b2＝a2－c2－2bccos A

D.cos C＝

解析：A　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A.

3.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝（　　 ）

A. B.8

C.10 D.7

解析：D　由余弦定理得c＝＝＝7.故选D.

4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝150°.

解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又∵0°＜B＜180°，∴B＝150°.

题型一｜已知两边及一角解三角形

【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，则a＝60；

解析：由余弦定理得，

a＝

＝ ＝60.

（2）在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝4或5.

解析：由余弦定理得（）2＝52＋BC2－2×5×BC×，

所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.

 

通性通法

已知三角形的两边及一角解三角形的方法

【跟踪训练】

1.在△ABC中，AB＝，AC＝2，C＝120°，则sin A＝（　　）