9.1.2 余弦定理(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“余弦定理”核心知识点，通过测量山峰距离的现实问题引入，借助向量运算推导定理，系统梳理其文字、符号语言及推论，构建“问题情境—定理推导—应用拓展”的学习支架，涵盖已知两边一角、三边解三角形及形状判断等应用。 资料以现实问题培养数学眼光，通过向量推导与题型分类（如综合应用向量求模）发展逻辑推理和数学运算素养。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与综合题帮助学生巩固方法，查漏补缺，提升解三角形问题的解决能力。

9.1.2　余弦定理 课标要求 1.借助向量的运算，能推导余弦定理并掌握余弦定理（逻辑推理）. 2.会运用余弦定理解决三角形的一些问题（数学运算）. 　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角. 【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 符号语言 a2＝　b2＋c2－2bccos A　， b2＝　c2＋a2－2cacos B　， c2＝　a2＋b2－2abcos C　 推论 cos A＝　　， cos B＝　　， cos C＝　　 　　提醒：对余弦定理的理解：①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立；②结构特征：“平方”“夹角”“余弦”；③揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；④主要功能：实现三角形中边角关系的互化. 【想一想】 1.解三角形时利用余弦定理可解决哪几类问题？ 提示：①已知三边，求三角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和另两个角；③已知两边和其中一边对角求第三边和另两个角. 2.余弦定理公式c2＝a2＋b2－2abcos C与勾股定理c2＝a2＋b2很类似，它们之间有联系吗？ 提示：对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C中，若C＝90°，则有c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况. 3.有人说：公式cos A＝中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形.你认为这种说法对吗？ 提示：不完全对.若b2＋c2－a2＝0，则△ABC是直角三角形.若b2＋c2－a2＜0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2＞0，△ABC不一定是锐角三角形，还要考虑B，C的大小. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.（　√　） （2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的.（　√　） （3）在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形.（　×　） 2.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　） A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝ 解析：A　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. 3.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝（　　 ） A. B.8 C.10 D.7 解析：D　由余弦定理得c＝＝＝7.故选D. 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝150°. 解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又∵0°＜B＜180°，∴B＝150°. 题型一｜已知两边及一角解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，则a＝60； 解析：由余弦定理得， a＝ ＝ ＝60. （2）在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝4或5. 解析：由余弦定理得（）2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5. 通性通法 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 三角形中已知的元素 解三角形的方法 两边及其夹角 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角 两边和其中一边的对角 ①先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角（这里注意对解的判断），最后用正弦定理求出第三边； ②先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角 【跟踪训练】 1.在△ABC中，AB＝，AC＝2，C＝120°，则sin A＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵AB＝，AC＝2，C＝120°，由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C，得BC2＋2BC－3＝0，解得BC＝1，或BC＝－3（舍去），∴由正弦定理可得sin A＝＝. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积. 解：法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据得c2－24c＋128＝0，解得c＝8或c＝16. 当c＝8时，S△ABC＝16；当c＝16时，S△ABC＝32. 法二　由＝，得sin B＝sin A， ∴sin B＝sin 30°＝. ∴B＝60°或B＝120°，∴C＝90°或C＝30°. ∴S△ABC＝absin C＝×8×8×sin 90°＝32或S△ABC＝×8×8×sin 30°＝16. 题型二｜已知三边（或三边关系）解三角形 【例2】　（1）在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为（　B　） A. B. C. D. 解析：∵c＜a，c＜b，∴角C为最小角且为锐角.由余弦定理得cos C＝＝.∵0＜C＜π，∴C＝. （2）在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，则A＝. 解析：由于a∶b∶c＝1∶∶2，故可设a＝x，b＝x，c＝2x，x＞0，∴角A为锐角.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，故A＝. 通性通法 已知三角形的三边（或三边关系）解三角形的两种方法 （1）先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角； （2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角. 【跟踪训练】 1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝. 解析：由已知可得（a＋b）2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－.∵C∈（0，π），∴C＝. 2.已知AB＝2，AC＝3，BC＝4，则△ABC的面积是. 解析：由余弦定理得cos A＝＝＝－.因为0＜A＜π，所以sin A＝＝，可得S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×3×＝. 题型三｜判断三角形的形状 【例3】　在△ABC中，若acos B＝bcos A，试判断这个三角形的形状. 解：法一（边化角）　利用正弦定理知sin Acos B＝sin Bcos A，即sin Acos B－sin Bcos A＝0，故sin（A－B）＝0，因为A，B是三角形内角， 所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形. 法二（角化边）　利用余弦定理知a×＝b×，因此a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2， 即a＝b，故△ABC是等腰三角形. 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“若cos2＝”问题不变. 解：在△ABC中，∵cos2＝，∴＝＋，∴cos A＝.由余弦定理，知＝，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形. 通性通法 1.判断三角形形状的常用方法 （1）用余弦定理将条件转化为边之间的代数关系式，利用代数变形对边的关系进行判断； （2）用正弦定理将条件转化为角的三角函数关系式，利用三角函数变形对角的关系进行判断. 2.判断三角形形状的常用结论 （1）cos A＝cos B⇒A＝B； （2）cos （A－B）＝1⇒A＝B； （3）cos A＞0⇔b2＋c2－a2＞0⇔A是锐角 △ABC是锐角三角形； cos A＝0⇔b2＋c2－a2＝0⇔A是直角⇒ △ABC是直角三角形； cos A＜0⇔b2＋c2－a2＜0⇔A是钝角⇒△ABC是钝角三角形. 【跟踪训练】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝acos B＋bcos A，则△ABC的形状为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 解析：D　∵a＝acos B＋bcos A，∴由余弦定理可得a＝a×＋b×，整理可得2ac＝2c2，∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形. 题型四｜余弦定理的综合应用 【例4】　已知向量m＝（0，－1），向量n＝（ cos A，2cos2），A，B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，a2＋c2－b2＝ac，a＝1，求｜m＋n｜的取值范围及｜m＋n｜最小时△ABC的周长l. 解：∵a2＋c2－b2＝ac， ∴由余弦定理知cos B＝＝. 又∵0＜B＜π，∴B＝，∴A＋C＝，即C＝－A. ∵m＝（0，－1），n＝， ∴m＋n＝（cos A，cos C）. ∴｜m＋n｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝. ∵0＜A＜，∴＜2A＋＜. ∴－1≤cos＜.∴｜m＋n｜∈. 当｜m＋n｜最小时，A＝.∴A＝B＝C＝，l＝3a＝3. 通性通法 　　本例是一道余弦定理与向量、三角恒等变换相结合的综合题，解此类问题时要注意条件的变化与已有知识的联系.如本例中首先要发现a2＋c2－b2＝ac具备余弦定理的结构特征，进而用余弦定理求角B，然后结合向量与三角函数有关知识正确解题. 【跟踪训练】 在△ABC中，AB＝4，E是BC边中点，线段AE长为，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则AD的长为（　　） A. B. C.2 D. 解析：B　E是BC边中点，则＝（＋），所以＝（＋）2＝（＋2·＋），即3＝（16＋2×4·ACcos 120°＋AC2），解得AC＝2，BC＝＝2，AD是∠BAC的平分线，则＝＝，BD＝，CD＝，cos C＝＝＝，在△CAD中，AD＝＝＝. 1.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈（0°，180°），得A＝60°. 2.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是（　　） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：C　∵2cos Bsin A＝sin C，∴2··a＝c，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形. 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C＝，则c＝（　　） A.7 B.3 C. D. 解析：C　由S△ABC＝absin C＝a×1×sin＝a＝，解得a＝3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋12－2×3×1×cos＝7，所以c＝. 4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cos B＝，a＝7，且·＝－21，则角C的大小为45°，△ABC的面积为14. 解析：∵·＝－21，∴·＝21， ∴·＝｜｜×｜｜cos B＝accos B＝21. 又cos B＝，∴sin B＝，ac＝35. 又a＝7，∴c＝5，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝4. 由正弦定理＝， 得sin C＝sin B＝×＝. ∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝45°，S△ABC＝absin C＝×7×4×＝14. 1.在△ABC中，若a＝2，b＝，c＝＋1，则A＝（　　） A.45° B.30° C.135° D.150° 解析：A　在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，所以A＝45°. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝60°，则c＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.6 解析：C　由a2＝c2＋b2－2cbcos A，得13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去），故选C. 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　由b2＝ac，又∵c＝2a，∴b＝a，由余弦定理，得cos B＝＝＝. 4.在△ABC中，若B＝，AB＝，BC＝3，则sin A＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝.由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝. 5.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析：C　由＝及正弦定理，得＝，所以b＝c.因为（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝.所以△ABC是等边三角形.故选C. 6.〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则（　　） A.△ABC的周长为12 B.cos C＝ C.c＝ D.cos B＝ 解析：BC　对于B，由C为锐角，且sin C＝，得cos C＝＝，B正确；对于A、C，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝19，得c＝，则a＋b＋c＝7＋，A错误，C正确；对于D，由余弦定理得cos B＝＝＝，D错误. 7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝，a＝3，b＝4，则cos B＝. 解析：由余弦定理cos C＝可得＝，解得c＝3，所以cos B＝＝＝. 8.在△ABC中，ccos B＝bcos C且cos A＝，则sin B＝. 解析：∵ccos B＝bcos C，∴sin Ccos B＝sin Bcos C，∴sin（B－C）＝0，∴B＝C，又∵cos A＝，∴A＝60°，∴B＝60°，∴sin B＝. 9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝. 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝. 10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋ccos A＝b＋acos C. （1）求角C的大小； （2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 解：（1）由题设a＋c×＝b＋a×，整理可得ab＝b2＋a2－c2， 所以cos C＝＝，又0＜C＜π，故C＝. （2）由题意absin C＝⇒ab＝4，又c2＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab， 所以（a＋b）2＝16⇒a＋b＝4，故△ABC的周长为a＋b＋c＝6. 11.〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B.若a3＋b3＝c3，则△ABC是锐角三角形 C.若A＝60°，a＝6，则△ABC面积的最大值为9 D.若＋＜，则C＞ 解析：BC　对于A，由acos A＝bcos B及正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，△ABC是等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，由a3＋b3＝c3，得0＜a＜c，0＜b＜c，则C是△ABC的最大内角，又c2＝·a2＋·b2＜a2＋b2，则cos C＝＞0，C为锐角，△ABC是锐角三角形，B正确；对于C，由A＝60°，a＝6及余弦定理得36＝a2＝b2＋c2－2bc· cos 60°≥2bc－bc＝bc，因此S△ABC＝bcsin A＝bc≤9，当且仅当b＝c时取等号，C正确；对于D，取a＝b＝2，c＝1，满足＋＜，而C＜A＝B，则3C＜C＋A＋B＝π，即C＜，D错误.故选B、C. 12.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝2；cos ∠MAC＝. 解析：法一　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝. 法二　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4.所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2.在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝. 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C. （1）求角A的大小； （2）若2sin Bsin C＋cos 2A＝1，判断△ABC的形状. 解：（1）∵sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C， ∴由正弦定理，得b2＋c2＝a2＋bc. ∴由余弦定理，得cos A＝＝＝， 又∵0＜A＜π，∴A＝. （2）由2sin Bsin C＋cos 2A＝1及cos 2A＝1－2sin2 A， 得sin Bsin C＝sin2A，由正弦定理，得bc＝a2，　① 易知a2＝b2＋c2－2bccos ，　② 由①②，得（b－c）2＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形. 14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知向量m＝（a＋b，sin C），n＝（a＋c，sin B－sin A），若m∥n，则角B＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：D　因为m∥n，所以（a＋b）（sin B－sin A）＝sin C（a＋c）.由正弦定理，得（a＋b）（b－a）＝c（a＋c），即a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理，得cos B＝－，所以B＝.故选D. 15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＋S3－S2＝ac. （1）求角B； （2）已知a＝4，当取最小值时，求△ABC内切圆的半径. 解：（1）依题意S1＝a2sin 60°＝a2，S2＝b2sin 60°＝b2，S3＝c2sin 60°＝c2， 则S1＋S3－S2＝ac＝a2＋c2－b2，即ac＝a2＋c2－b2. 由余弦定理得cos B＝＝. 因为B∈（0，π），所以B＝. （2）因为a＝4，B＝，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝16＋c2－4c， 所以＝c＋－4≥2－4＝6，当且仅当c＝，即c＝5时等号成立， 此时b2＝16＋c2－4c＝21，所以b＝， 则S△ABC＝acsin B＝×4×5×＝5. 设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝（a＋b＋c）r，所以r＝＝， 所以△ABC内切圆的半径为. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $