精品解析：重庆市渝北中学校2025-2026学年下学期高二期中质量检测数学试题

渝北中学2025-2026学年下期高2027届半期质量检测 数学试题 （全卷共5大题14小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚. 2.请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答. 3.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂. 4.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种. 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得展开式的通项为， 令，即，所以展开式中的常数项为. 3. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 4. 函数的极大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是极大值点，是极小值点，极大值为. 5. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 6. 有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对第一次是不是打开装有款玩具的盒子分两种情况计算，再计算，最后利用条件概率公式即可求得. 【详解】由题意知，总共有6个盒子，3个装有款玩具， 则，，，， 所以， 而，所以. 7. “杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（ ） A. 第10行中第5个数最大 B. 第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C. D. 第12行中相邻两个数比值的最大值为12 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由杨辉三角性质得在第10行里，有11个数，所以第10行中正中间即第6个数最大，故A错误； 第2025行中，第1012个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误； ，故C错误； 根据对称性，只考虑后一项与前一项之比即可， 当且时，， 可得当时，相邻两个数的比值最大，最大值为12，故D正确； 8. 在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（ ）种排队方式. A. 48 B. 56 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】先按李老师在排头或排尾分两种情况，再按甲的位置细分，用总排列数减去乙丙相邻的排列数得出符合条件的排法，最后利用对称性得到总数. 【详解】分两种情况： （1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3， 当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种； 当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种； 所以共有种； （2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种； 综上，共有种排法. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和为 B. C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由得，， 展开式的二项式系数和为，故A错误； 令得，故B正确； 令得展开式的各项系数和为，故C错误； 令得， 所以，故D正确. 10. 用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（ ） A. 用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B. 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C. 任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D. ，两个区域涂同种颜色的概率是 【答案】BCD 【解析】 【详解】先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，故共有种方法，故A错误； 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故B正确； 当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法， 当，不同色时，由选项B可知有种方法， 即任选若干种颜色涂色的不同方法数为180，故C正确； 由选项C可知，，两个区域涂同种颜色的概率是，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ，是增函数 B. 若有三个不同的零点，，，则不为定值 C. 过点且与曲线相切的直线恰有3条 D. 对，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据判断A选项；令，通过因式分解判断B选项；根据切线的几何意义，计算得到C选项；将和代入，计算得到D选项. 【详解】已知，所以， A选项，要使得是增函数，只需要恒成立，则，解得， 所以，是增函数，A正确； B选项，若有三个不同的零点，则有个根， 所以且其中一个零点为， 另外两个零点是的两个根，则且， 所以是定值，B错误； C选项，因为，所以点不在曲线上， 设切点为，， 所以切线方程为， 又因为切线过，所以，即， 由，得或， 解得或，有3个解，所以相切的直线恰有3条，C正确； D选项，， ， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为30，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】因为的展开式的通项公式为，其中， 令，得，即， 所以的展开式中的系数为，解得. 13. 某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答） 【答案】540 【解析】 【分析】将6人分为3组，再把3组安排到三个实验室，分步乘法计算分配方法即可. 【详解】将6人分为3组，按照每组人数可分为三类 第一类：每组人数分别为1人，2人，3人，有种； 第二类：每组人数分别为1人，1人，4人，有种； 第三类：每组人数分别为2人，2人，2人，有种； 再将3组安排到三个实验室，不同的安排方法有种. 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有__________个；若从由数字1，2，3（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为__________. 【答案】 ①. 240 ②. 【解析】 【分析】先确定重复数字，再排位置，得到不同的五位五进制数的个数；根据五进制算法，得到对应的十进制数，令分别为，列举得到能被3整除的数字的个数，从而得到概率. 【详解】组成一个五位数，四个数字都要出现，则一定有一个数字重复出现，从四个数字中选择一个数字重复出现， 再将不重复的三个数字从五个位置中选三个位置进行排列，最后剩余两个位置排重复数字， 故所求的不同的五位五进制数共有个； 由数字2,3,4组成的三位五进制数共有个， 设这个三位五进制数从左到右的数字分别为， 则转化成十进制后此数为， 所以此数能被整除等价于能被整除， 因为，所以，且，所以能被3整除的只有三种情况， 若，则有，种情况； 若，则有，种情况； 若，则有，种情况； 所以能被3整除的情况共有种情况， 所求概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）先求时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可； （2）通过求导后对参数分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间. 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 16. 某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 A 0.02 0.2 B 0.02 0.5 C 0.03 0.3 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率. 【答案】（1）0.023 （2） 【解析】 【分析】（1）通过全概率公式即可得结果； （2）根据即可得结果. 【小问1详解】 设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由A工厂提供的”，表示“所取到的元件是由B工厂提供的”，表示“所取到的元件是由C工厂提供的”， 则，，， ，，. 由全概率公式得 . 【小问2详解】 该元件出自C工厂的概率为 . 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256. （1）求的展开式中的系数和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中系数最大和最小的项. 【答案】（1）-1 （2）1120 （3）最大的项为，系数最小的项为 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和的性质得的值，再令即可得系数之和； （2）先写出二项式的通项公式，令的次数为2求出的值，再代入通项公式即可求得； （3）先通过通项公式得到系数的绝对值，再通过不等式组确定的取值，最后结合符号即可得到系数的最大项和最小项. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256， 所以，解得. 令，所求系数和为. 【小问2详解】 二项式展开式的通项为， ，令，解得：， 所以当时，，故展开式中含项的系数为1120. 【小问3详解】 通项，系数的绝对值为， 令，得：， 所以当或时，此时系数的绝对值最大，其值为. 所以系数最大的项为，系数最小的项为. 18. 某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 （1）若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； （2）该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】（1），，， （2） 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【解析】 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【小问1详解】 ，， ， 【小问2详解】 方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 19. 某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 【答案】（1） 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 （2）（i）；（ii）时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 【解析】 【分析】（1）分得到的优惠券总价值为0,10,20,30,40五种情况，对应的取值，得到的分布列和数学期望； （2）（i）分别求得支付金额和商品成本的数学期望，根据期望利润的计算公式得到； （ii）利用二次函数性质求得的最值. 【小问1详解】 由题可知，的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， . 分布列为： 100 90 80 70 60 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：. 【小问2详解】 （i）期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望， 设支付金额为，可取90，80，70，60， ，，，， 则支付金额的期望为： ； 设优惠券成本为，可取3，6，13，16， ，，， 优惠券成本的期望为 . 所以 . （ii）是开口向下的二次函数，对称轴为. 因为，所以当时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学2025-2026学年下期高2027届半期质量检测 数学试题 （全卷共5大题14小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚. 2.请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答. 3.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂. 4.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 3. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的极大值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（ ） A. 第10行中第5个数最大 B. 第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C. D. 第12行中相邻两个数比值的最大值为12 8. 在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（ ）种排队方式. A. 48 B. 56 C. 64 D. 72 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和为 B. C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（ ） A. 用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B. 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C. 任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D. ，两个区域涂同种颜色的概率是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ，是增函数 B. 若有三个不同的零点，，，则不为定值 C. 过点且与曲线相切的直线恰有3条 D. 对，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为30，则__________ 13. 某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答） 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有__________个；若从由数字1，2，3（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试讨论函数的单调性. 16. 某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 A 0.02 0.2 B 0.02 0.5 C 0.03 0.3 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率. 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256. （1）求的展开式中的系数和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中系数最大和最小的项. 18. 某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 （1）若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； （2）该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 19. 某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $