重庆市渝北中学校2025-2026学年下学期高二期中质量检测数学试题

渝北中学2025-2026学年下期高2027届半期质量检测 数学试题 (全卷共5大题14小题，总分150分，考试时长120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚。 2.请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。 3.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂。 4.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签学笔书写。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可 能方式共有( A.34种 B.43种 C.C种 D.A种 2. 、x的展开式中的常数项为一 ) A.20 B.15 C.-20 D.-15 3.在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X, 则E2X-)的值为( a号 B.22 12 C. 17 5 5 D. 5 4. 函数f(x)=(x2-8)e*的极大值为( A.2 B.-4 C.8e4 D.-4e2 5.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同， 每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概 率为( ) A瓷 B.27 125 c D.4 125 6.有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共 有A款玩具1个，B款玩具2个，C款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开 一个，设事件A=“在第一次打开的是装有C款玩具的盒子”，事件B=“在第二次打开的 是装有C款玩具的盒子”.则P(AB)= A.号 B c D. 7.“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现， 它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律。如图，由“杨辉三角”下列叙述 正确的是（ 杨辉三角 A.第10行中第5个数最大 第0行 】 B.第2025行中从左往右第1012个数与第 第1行 11 第2行 121 1013个数相等 第3行 133 第4行 146 41 C.C3+C4+C3+Cg+…+Cg+C8=165 第5行 15101051 第6行 1615201561 D.第12行中相邻两个数比值的最大值为12 第7行 17213535217I 第8行18.28.56.705628.81 数学试卷第1页，共4页 8. 在渝北申学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校 史馆，李老师只能在排头或结尾；其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离： 乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有( )种排队方式. A.48 B.56 C.64 D.72 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知3x-=4+a+a,2++a,x,且满足cCg=C,则下列说法正确的是( A.展开式的二项式系数和为2 2B.a,=( C展开式的各项系数和为[) D.+++=2+1 332 30 10.用1,2,3,4,5五种颜色给图中的a,b,c,d四个区域涂色，要求每个区域只涂一 种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是( A.用1,2,3这三种不同颜色涂色的不同方法数为2 B.四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C.任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D.口，©两个区域涂同种颜色的概率是时 11.已知函数f(x)=2x3+6x2+ax,则下列说法正确的是( A.3aeR,f(x)是增函数 B.若f(x)有三个不同的零点名，2，名，则x+2+不为定值 C.过点(0，-)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条 D.对VmeR,都有f(m-4)+f(2-m)=8-2a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12。若(x2-a)(x+1)°的展开式中x的系数为30，则a= 13.某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中 每个实验室至少一人，则不同的安排方法有」 (用数字作答 14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进 一”的进制，由数字0,1,2,3,4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为 3×52+2×5+4=89.若由数字1,2,3,4组成的五位五进制数，要求1,2,3,4每个数 字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 个： 若从由数字1,2,3（可重复)组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进 制数能被3整除的概率为 数学试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f似=ahx-l. (1)当a=1时，求函数在点(1，f()处的切线方程； (2)试讨论函数f(x)的单调性， 16.(15分) 某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有 下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 A 0.02 0.2 B 0.02 0.5 C 0.03 0.3 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率： (2)在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率. 17.(15分) 已知二项式 a2 的展开式中各项的二项式系数之和为256. (1)求(1-2x)+(1-2x)2+(1-2x)3+…+(1-2x)+的展开式中的系数和； 展开式中含x2项的系数： @求2 展开式中系数最大和最小的项. 18.(17分) 某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动。玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25 个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 红色内饰 蓝色内饰 外观 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (①)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件M为小华取到黄色外观的玩具，事件N 为小华取到红色内饰的玩具，求P(NIM),P(MN)和P(MUN): (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种 抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖 800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具 仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得 奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的 分布列及求出X,Y的期望，并通过期望比较那种方案获奖金额更高： 19.（17分) 某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关 获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关 后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用 抵扣支付商品，已知消费者闯过第一关的概率为。，闯过第二关的概率为卫.某生产商将商 品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若P。=0.8,p=0.5,记消费者购买-一件该商品的实际支付金额为X(单位：元)， 求X的分布列和数学期望E(X)； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为k(p)=0.2+0.4p 记生产商销售一件该商品的期望利润为f(p)（单位：元) （期望利润=购买概率×（支付 金额的期望-商品成本)~优惠券成本的期望) (i)求f(p)关于p的函数表达式： (1)求当p为何值时，商家期望利润f(p)最大？最大期望利润是多少？ 渝北中学2025-2026学年下期高2027届半期质量检测 数学参考答案 B C A D B D B BD BCD ACD 12.-6 13.540 14.240,} 15.【详解】(1)(6分)由函数fy)=血x-1,所以函数的定义域为(0，)， f=1,所以r0=1,f0=-1, ∴函数在点(1，f()处的切线方程为：y-(-1)=x-1,即y=x-2. 所以函数在点(，f()》处的切线方程为y=x-2. (2)(7分)因为函数的定义域为0，+o),且f=a-a血x_a-iny, 2 令f'(x)=0,得1-lnx=0,即x=e. 若a=0,f(x)=-1,无单调性； 若a>0,f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减； 若a<0,f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+o)上单调递增. 16.【详解】(1)(8分)设A表示取到的是一只次品”，B,表示“所取到的元件是由A工厂 提供的”，B,表示“所取到的元件是由B工厂提供的”，B表示“所取到的元件是由C工厂提供 的”， 则P(B)=0.2,P(B2)=0.5,P(B)=0.3, P(A|B)=0.02,P(A1B2)=0.02,P(AB)=0.03, 由全概率公式得 P(A)=P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2)+P(B)P(AB)=0.2×0.02+0.5×0.02+0.3×0.03=0.023. (2)(7分)该元件出自C工厂的概率为 P10-.aa.g-是 P(A) 0.02323 17.【详解】(1)(4分)因为二项式左2 的展开式中各项的二项式系数之和为256. 所以2”=256，解得n=8. 令x=1,系数和(-1)+(-1)2++(-1)°=-1 2)6分)二项式2展开式的通项为=c(广(2=C(2学， r=024567,3,令”28=2，解得：r=4, 所以当r=4时，(-2)C%=1120,故展开式中含x2项的系数为1120. (3)(6分)通项=C(-2列x罗，系数的绝对值为C2. 令C2,二Cg得：55r≤6，所以绝对值最大的项的系数为C2C2=1792 所以系数最大的项为，=C(-2)°x=1792x，系数最小的项为7，=C(-2x2=-1792x是 18【详解】(D4分)P-号P0=器号P心-吕-名 1261 P-号PUM=+P0-Pa)-号号手器 (2)(13分)方案一中，X可取800,500,300. 则P(x=80o)=CC+CC-1， Cs 61 P(X=50)=C%+C3+C3+C=47 C 150’ P(X=300)-ClCi+cic+cicio+cc_13 25’ X的分布列： X 800 500 300 1 47 13 150 25 E(X)=800x2+500x4 +300×13=46. 6 150 2 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为5， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以5服从二项分布. 设一次描笑的求奖照率为p,则2+CG-岛·所以5~)】 可得中奖次数的期望为E(5)=3×47=47 15050 根据题设，I=505,则E(W)）=E505)=500E(传)=50x47-470. 50 E(X)<E(),故方案二获奖金额更高. 19、【详解】（1)(6分)由题可知，X的可能取值为100,90,80,70,60， P(X=100)=1-0.8=0.2,P(X=90)=0.8×0.6×1-0.5)=0.24, P(X=80)=0.8×0.4×1-0.5)=0.16,P(X=70)=0.8×0.6×0.5=0.24, P(X=60)=0.8×0.4×0.5=0.16. 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：E(X)=100×0.2+90×0.24+80×0.16+70×0.24+60×0.16=80.8. (2)(i)(7分)，期望利润=购买概率×（支付金额的期望一商品成本）一优惠券成本的 期望， 设支付金额为Y,Y可取90,80,70,60，则支付金额的期望为： E()=90×0.61-p)+80x0.41-p)+70×0.6p+60×0.4p=86-20p: 设优惠券成本为Z,Z可取3,6,13,16，优惠券成本的期望为 E(Z)=10×0.3×0.6(1-p）+20×0.3×0.4(1-p）+(10×0.3+10)0.6p+(20×0.3+10)0.4p =4.2+10p、 ∴.f(p)=r(p(E(Y)-41)-E(Z) =(0.2+0.4p)(86-20p-41)-(4.2+10p) =-8p2+4p+4.8(0≤p≤1). (D(4分)八-8p+4+4805s到是开口响下的二次函数。对称轴为p=名 得-8日+4+48=58 ∴当p=时，商家期望利润最大，最大期望利润为5.3元