18.1.2 .2矩形的判定 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 18.1.2 矩形性质的运用 第18章 矩形、菱形与正方形 18.1.2 矩形的判定 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知▱ABCD中，∠A=90°，利用矩形的判定定理，求证：四边形ABCD是矩形。 解析：矩形的判定定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，满足“平行四边形+一个直角”的判定条件，因此四边形ABCD是矩形。 2. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，判断四边形ABCD是否为矩形，并说明理由（利用矩形判定定理解答）。 解析：四边形ABCD是矩形。理由：矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。已知∠A=∠B=∠C=90°，根据四边形内角和为360°，可得∠D=360°-90°×3=90°，四个角均为直角，满足判定定理2，因此四边形ABCD是矩形。 3. 已知▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD=12cm，求证：四边形ABCD是矩形（结合矩形判定定理和平行四边形性质解答）。 解析：矩形的判定定理3：对角线相等的平行四边形是矩形。∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC=BD=12cm，满足“平行四边形+对角线相等”的判定条件，因此四边形ABCD是矩形。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OB，求证：四边形ABCD是矩形（结合矩形判定定理、平行四边形性质和等腰三角形性质解答）。 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质，对角线互相平分，∴OA=OC，OB=OD。已知OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，因此AC=OA+OC=2OA，BD=OB+OD=2OB，故AC=BD。根据矩形的判定定理3（对角线相等的平行四边形是矩形），可得四边形ABCD是矩形。 注意：解答本课时题目时，需牢记矩形的三个核心判定定理，明确不同判定定理的适用场景：①已知平行四边形，可通过“一个直角”或“对角线相等”判定为矩形；②未知平行四边形，可通过“三个直角”直接判定为矩形；解题时需区分“平行四边形的对角线互相平分”与“矩形的对角线相等”的区别，避免混淆判定条件，确保逻辑严谨、步骤清晰。 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4， BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长. A B D C E 说一说你的解题思路. △ABC 为直角三角形 它的面积既可以用底和高来求. 也可以用两条直角边来求. 列出等式，从而求出 BE 的长. A B D C E 解 在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°， AC = = 5. 又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ， ∴BE = = = 2.4. 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长. 解 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）. ∴AO = AC = 7.5. ∵AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = 7.5 . 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm . A B C D O E 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 3 3 3 3 D 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， CD ＝ 1．若 AE 垂直且平分 OB，垂足为点 E，则 BD 的长是 ( ) A. 3 B. C. 2 D. 4 1 1 1 1 C 3. 如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB、CD 于点 E、F，连结 PB、PD . 若 AE＝2，PF＝5，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 A B C D E F P N M S△ADC = S△ABC S△AMP = S△AEP S△PBE = S△PBN S△PFD = S△PDM S△PFC = S△PCN S△DFP = S△PBE A 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数． 解: ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD． ∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2， ∴∠ADE ＝ ∠ADC＝54°． ∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90° ∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36° ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°． ∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°． 【选自教材第115页 练习 第1题】 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系. A B C D E 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ AD∥BC，AB ⊥ BC， ∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长， ∴ S△BCE ＝ BC·AB. ∵ S矩形ABCD ＝AB·BC，∴ S△BCE ＝ S矩形ABCD ， 即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半. 【选自教材第115页 练习 第2题】 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 3.6. 求 AC、AD 的长.（精确到 0.1） 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC，OB ＝OD ＝ BD，∠BAD = 90°. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形. ∴ OA ＝AB = 3.6. ∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2， 即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2. A B D C O 3. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条 边长 AB、BC 分别为 8 和 15. 求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和.（提示：记对角线 AC 与 BD 的交点为点 O， 连结 OP） 【选自教材第115页 练习 第3题】 A B C D O P 解: 如图，过点 P 作 PE ⊥ AC 于点 E，PF ⊥ BD 于点 F，连结 OP . ∵ 在矩形 ABCD 中，∠ABC ＝ 90°，AB ＝8，BC ＝15， ∴ BD ＝AC ＝ ＝ ＝17. E F ∴ OA ＝OD ＝ AC ＝ . 又∵ S△AOD ＝ S△AOP + S△POD ， S△AOD ＝ S△ABD ，∴ S△ABD ＝ S△AOP + S△POD . ∴ ××15×8 ＝ ×·PE + ×·PF， ∴ PE + PF ＝ ，即点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和为 . A B C D O P E F 返回 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线相互平分 C 中考考法 13 返回 2．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，下列结论正确的有(　　) ①AC＝13； 　 ②∠A＋∠C＝180°； ③AC⊥BD； 　 ④AC＝BD． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ B 中考考法 14 返回 D 中考考法 15 返回 4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE∶ ∠CDE＝1∶2，那么∠BDC的度数为________． 30° 中考考法 16 返回 5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若BC＝3，CD＝2，则图中阴影部分的面积为________． 3 中考考法 17 6．[烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图①，△BED即为所 求作的三角形． 中考考法 18 (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 【解】如图②，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝1， AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠ADB＝∠CBD. 中考考法 19 返回 中考考法 20 3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若 ∠AOB＝60°，则＝(　　) A． B． C． D． 由作图可知∠EBD＝∠CBD，∴∠FBD＝∠FDB. ∴FB＝FD. 设AF＝x，则DF＝BF＝2－x，在Rt△ABF中，AB2＋ AF2＝BF2即12＋x2＝(2－x)2，解得x＝. ∴AF＝. $