第58讲 用“动态圆”思想处理临界、极值问题——2027届高三物理一轮复习

第58讲　用“动态圆”思想处理临界、极值问题 考点1　用“动态圆”思想处理临界、极值问题 1．解题思路 (1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。 (2)结合磁场边界找出临界条件。 (3)根据几何关系、运动规律求解。 根据粒子射入磁场时的特点，分析临界条件的常用技巧有三种：动态圆放缩法、定圆旋转法、平移圆法。 2．分析临界、极值问题常用的四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。 ►考向1　动态圆放缩法 适用 条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关 特点 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 2023年8月25日下午，新一代人造太阳“中国环流三号”取得重大科研进展，首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着中国核聚变研究向“聚变点火”又迈出重要一步。环流器局部区域的磁场简化示意图，如图所示，在内边界半径为R、外边界半径为2R的环形磁场区域内，存在磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向内的匀强磁场。在内圆上有一粒子源S，可在平面内沿各个方向发射比荷相同的带正电的粒子。粒子a、b分别沿径向、内圆切线向左、向下进入磁场，二者均恰好不离开磁场外边界。不计重力及二者之间的相互作用，则粒子a、b的速度大小之比为(　　) A．1∶2　　　　　　　　 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 ►考向2　定圆旋转法 适用 条件 速度大小一定、方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示 特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 界定 方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 如图实线所示区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁场宽度大小为d，磁场下边界一点O为粒子源，能向各个方向发射速度大小相等的同种粒子，已知从上边界穿出的粒子其出射点分布在长为d的线段上，这些粒子在磁场中做圆周运动的半径是(　　) A.d B． C.d D．d ►考向3　平移圆法 适用 条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示 特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 界定 方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为 B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 考点2　“磁聚焦”和“磁发散”模型 (能力考点·深度研析) 1．“磁聚焦”模型 (1)现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) (2)条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。 (3)证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 2．“磁发散”模型 (1)现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) (2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径 (3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。 (多选)利用磁聚集和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为r 提能训练　练案[58] 基础巩固练 题组一　带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 1．(多选)如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是(　　) A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长 B．电子在磁场里运动的最长时间为 C．MP上有电子射出部分的长度为d D．MP上有电子射出部分的长度为(2－)d 2.如图所示，在xOy平面的Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) A. B． C. D． 3.如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)(　　) A. B． C. D． 4.(多选)(2024·洛阳高三模拟)如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子重力)，在竖直平面内，沿着与MN夹角为θ＝30°的方向射入磁场中。则下列说法正确的是(　　) A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出 B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是 C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为 D．MN边界上，从入射点上方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为 题组二　“磁聚焦”和“磁发散”模型 5.如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是(　　) A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心 B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率v＝从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 6.(多选)如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10－18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10－10 C、速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角为θ，且0<θ<180°，则下列说法正确的是(　　) A．粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等 B．这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等 C．部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限 D．粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆 能力提升练 7.(多选)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则(　　) A．粒子的速度大小为 B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为3πm C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2 D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 8．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A. B． C. D． 9.(2024·浙江温州模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求： (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。 10．(2025·河南信阳质检)如图，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界PQ射出的离子，离子速度为v0时射出点与P点距离最大为xm，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。求： (1)射出点与P点最大距离xm； (2)从边界MP射出的离子，速度的最大值。 11.如图所示，在直角坐标系xOy内，OP射线(O为顶点)与y轴夹角为45°，OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在y轴上的N点有一个粒子源，向y轴右侧与y轴正方向夹角90°范围内发射速度不同、带负电的同种粒子，粒子的质量为m、电荷量为q，ON间距离为d。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。 (1)一个粒子在磁场中运动周期后穿过OP射线，并垂直通过x轴，求粒子穿过x轴的位置坐标； (2)经磁场偏转后，穿过OP射线的粒子中，在磁场中运动时间最长的粒子的速度为多少？运动时间为多少？ (3)若所有粒子的速度为第(2)问所求，欲使所有粒子经磁场偏转后，都平行于y轴负方向离开磁场，求磁场区域的最小面积，并画出磁场区域，计算结果用R表示，R为粒子在磁场中运动的轨道半径。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第58讲　用“动态圆”思想处理临界、极值问题 考点1　用“动态圆”思想处理临界、极值问题 (能力考点·深度研析) 1．解题思路 (1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。 (2)结合磁场边界找出临界条件。 (3)根据几何关系、运动规律求解。 根据粒子射入磁场时的特点，分析临界条件的常用技巧有三种：动态圆放缩法、定圆旋转法、平移圆法。 2．分析临界、极值问题常用的四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。 ►考向1　动态圆放缩法 适用 条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关 特点 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 2023年8月25日下午，新一代人造太阳“中国环流三号”取得重大科研进展，首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着中国核聚变研究向“聚变点火”又迈出重要一步。环流器局部区域的磁场简化示意图，如图所示，在内边界半径为R、外边界半径为2R的环形磁场区域内，存在磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向内的匀强磁场。在内圆上有一粒子源S，可在平面内沿各个方向发射比荷相同的带正电的粒子。粒子a、b分别沿径向、内圆切线向左、向下进入磁场，二者均恰好不离开磁场外边界。不计重力及二者之间的相互作用，则粒子a、b的速度大小之比为(　　) A．1∶2　　　　　　　　 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 [答案]　A [解析]　根据问题描述，粒子a沿径向向左进入磁场，而粒子b沿内圆切线向下进入磁场。在不计重力和相互作用的情况下，粒子在磁场中会做圆周运动，由几何关系可知(2R－ra)2＝r＋R2,2rb＝3R，解得ra＝R，rb＝R。对于粒子a，其向心力为maaa＝ma，洛伦兹力为Fa＝qavaB。由洛伦兹力提供向心力，可以得到va＝　①，对于粒子b，其洛伦兹力为Fb＝qbvbB，向心力为mbab＝mb，由洛伦兹力提供向心力，可以得到qbvbB＝mb，化简后可得vb＝　②，将式①和式②相除，消去B，并由题目知粒子a、b的比荷相同，即＝，则＝，故选A。 ►考向2　定圆旋转法 适用 条件 速度大小一定、方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示 特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 界定 方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 如图实线所示区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁场宽度大小为d，磁场下边界一点O为粒子源，能向各个方向发射速度大小相等的同种粒子，已知从上边界穿出的粒子其出射点分布在长为d的线段上，这些粒子在磁场中做圆周运动的半径是(　　) A.d B． C.d D．d [答案]　D [解析]　以粒子在磁场中顺时针旋转圆周运动为例来说明(逆时针旋转结果相同)。粒子从上边界射出两种临界情况如图所示。一种临界情况为从O点水平射出，打在上边界最左边；一种临界情况为轨迹恰好与上边界相切。因为粒子速度大小不变，则轨迹半径不变，则粒子的轨迹中心必然在以射出点为圆心，轨迹半径为半径的虚线圆上，根据几何关系可知，O点到两临界点的距离相等，则两临界点与O的水平距离均为x＝d，根据几何关系R＋＝d，解得R＝d，故选D。 ►考向3　平移圆法 适用 条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示 特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 界定 方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为 B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 [答案]　CD [解析]　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确。 考点2　“磁聚焦”和“磁发散”模型 (能力考点·深度研析) 1．“磁聚焦”模型 (1)现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) (2)条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。 (3)证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 2．“磁发散”模型 (1)现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) (2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径 (3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。 (多选)利用磁聚集和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为r [答案]　BC [解析]　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；如图所示，磁场区域的最小面积为Smin＝2(π－2)r，C正确，D错误。 提能训练　练案[58] 基础巩固练 题组一　带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 1．(多选)如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是(　　) A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长 B．电子在磁场里运动的最长时间为 C．MP上有电子射出部分的长度为d D．MP上有电子射出部分的长度为(2－)d [答案]　BC [解析]　电子在磁场中做匀速圆周运动，则evB＝m，则运动周期T＝＝，运动时间t＝T＝，由此可知电子运动时间与运动的圆心角有关，当电子速度较小时从OM边射出时，圆心角均为π，且此时对应的圆心角最大，故运动时间最长为t＝，A项错误，B项正确；随着速度增大，电子运动半径逐渐增大，轨迹如图所示，由图可知MP边有电子射出的范围为BM，当电子轨迹与上边界相切时半径为2d，由几何关系可知BM＝＝d，C项正确，D项错误。故选BC。 2.如图所示，在xOy平面的Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故C正确。 3.如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　由左手定则和题意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径r＝Ltan 30°＝L，由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝m，从而求得最大速度vm＝，选项A、B、C错误，D正确。 4.(多选)(2024·洛阳高三模拟)如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子重力)，在竖直平面内，沿着与MN夹角为θ＝30°的方向射入磁场中。则下列说法正确的是(　　) A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出 B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是 C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为 D．MN边界上，从入射点上方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为 [答案]　BC [解析]　若带电粒子带负电，粒子恰好从PQ射出，轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，由几何关系得rcos θ＋l＝r，解得粒子入射速度v＝＝，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出，A错误；若带电粒子带正电，粒子在磁场中运动的时间最长，对应轨迹如图乙所示，由洛伦兹力提供向心力得qv′B＝m，由几何关系得r′cos θ＋r′＝l，运动时间t＝T＝·＝＝，粒子在磁场中运动的最长时间可能是，B正确；MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子(带负电)，在磁场中运动时间均为t＝·＝＝，C正确；MN边界上，从入射点上方射出的所有粒子(带正电)，在磁场中运动的时间均为，D错误。 　 题组二　“磁聚焦”和“磁发散”模型 5.如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是(　　) A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心 B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率v＝从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 [答案]　C [解析]　质子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，可得qvB＝m，又v＝，联立可得r＝R，由几何关系可知，对着圆心入射的质子最后从O点正下方C点射出磁场，出射方向的反向延长线一定过圆心。再假设从任意点E水平射入的质子，做圆周运动的圆心为D，连接两交点及圆心。由于DE∥OC，且DE＝OC，则四边形DEOC是平行四边形，所以DE＝OC＝R，从任意点水平射入的质子也从O点正下方C射出，故A错误，C正确；质子射入磁场中，受到向下的洛伦兹力而向下偏转，因质子的运动半径相同，故从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动经过的弧长更长，则时间更长，故B错误；若质子以相等的速率v＝从同一点沿各个方向射入磁场，质子运动的半径为r＝＝R，则粒子出射方向都是平行的，所以不存在离开磁场的出射方向垂直的情况，故D错误。 6.(多选)如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10－18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10－10 C、速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角为θ，且0<θ<180°，则下列说法正确的是(　　) A．粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等 B．这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等 C．部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限 D．粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆 [答案]　ABD [解析]　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据qvB＝m，解得R＝0.1 m，故A正确；由题意得，粒子的轨迹相当于把半径R＝0.1 m的圆以A点为轴转动，粒子轨迹圆心构成的圆的圆心在A点，半径与磁场的半径相等，且粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆，故B、D正确；由于粒子做圆周运动的半径与磁场的半径相等，符合磁发散的条件，根据磁发散的特点，粒子离开磁场后速度都竖直向下，不可能进入到第二象限，故C错误。 能力提升练 7.(多选)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则(　　) A．粒子的速度大小为 B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为3πm C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2 D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 [答案]　AC [解析]　粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其轨迹1，可知SP为直径，由几何关系得(2R)2＝d2＋(d)2，得到R＝d，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝则v＝，故A正确；运动周期T＝，由几何知识可得，从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝T＝，故B错误；从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与x轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，得t1＝T，运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2＝T，所以＝，故C正确；沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。 8．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当r≤0.5R(R为的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R<r<1.5R时，粒子从弧ab上射出，轨迹半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从π逐渐增大，当半径为R时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对圆心角减小，因此轨迹半径等于R时，所对圆心角最大，为θm＝π＋＝，粒子最长运动时间为，C正确。 9.(2024·浙江温州模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求： (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。 [答案]　(1)或　(2) [解析]　(1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点，由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T＝，即T＝，解得t1＝，t2＝。 (2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为＝。 10．(2025·河南信阳质检)如图，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界PQ射出的离子，离子速度为v0时射出点与P点距离最大为xm，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。求： (1)射出点与P点最大距离xm； (2)从边界MP射出的离子，速度的最大值。 [答案]　(1)　(2) [解析]　(1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ射出的速度为v0的离子，设其运动半径为R1，运动轨迹恰好与MN相切， 运动轨迹如图中2所示 根据牛顿第二定律得qv0B＝m 根据几何关系得xm＝2R1cos α 解得xm＝。 (2)从边界MP射出的离子，速度最大时离子运动轨迹恰好与MN相切，设其运动半径为R2，运动轨迹如图中1所示，根据牛顿第二定律得qvmB＝m 设MP的长度为L，根据几何关系得 Lsin α＝R1－R1sin α L＝＋R2 解得vm＝。 11.如图所示，在直角坐标系xOy内，OP射线(O为顶点)与y轴夹角为45°，OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在y轴上的N点有一个粒子源，向y轴右侧与y轴正方向夹角90°范围内发射速度不同、带负电的同种粒子，粒子的质量为m、电荷量为q，ON间距离为d。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。 (1)一个粒子在磁场中运动周期后穿过OP射线，并垂直通过x轴，求粒子穿过x轴的位置坐标； (2)经磁场偏转后，穿过OP射线的粒子中，在磁场中运动时间最长的粒子的速度为多少？运动时间为多少？ (3)若所有粒子的速度为第(2)问所求，欲使所有粒子经磁场偏转后，都平行于y轴负方向离开磁场，求磁场区域的最小面积，并画出磁场区域，计算结果用R表示，R为粒子在磁场中运动的轨道半径。 [答案]　(1)　(2)　　(3)R2 [解析]　(1)由于粒子在磁场中运动周期，即偏转120°角后垂直通过x轴，则粒子的入射方向与＋y方向成60°角，轨迹如图所示。 根据几何关系有x＝R1＋R1cos 60°，d＝R1sin 60°＋xtan 45°， 得x＝。 (2)由qvB＝，得R2＝， 沿y轴正方向射入并且与OP射线相切的粒子在磁场中运动的时间最长，根据几何关系有R2＝dtan ，得R2＝(－1)d 所以v＝， 根据T＝和t＝T， 得t＝。 (3)根据磁发散原理要使所有粒子经磁场偏转后均平行于y轴负方向射出，则要求磁场圆的半径与粒子做匀速圆周运动的半径R相等。所以过N点以R为半径作一个圆，且与OP相切，磁场区域如图所示，根据几何知识可得S＝πR2＋＝R2。 学科网（北京）股份有限公司 $