第9讲 动态平衡 临界极值问题 讲义 -2027届高考物理一轮复习（全讲）

该高中物理高考复习讲义聚焦动态平衡与临界极值核心考点，涵盖解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法及临界极值问题五大方法，按解题方法逻辑架构知识，通过考点梳理、重点突破、真题精讲、分层练习环节，帮助学生构建系统解题框架，突破动态平衡分析难点。 讲义以科学思维培养为核心，创新采用方法归类与模型建构策略，如图解法通过矢量三角形动态分析培养科学推理能力，临界问题结合极限法提升问题转化能力，配套2026年多地模拟题分层训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支撑。

第9讲 动态平衡 临界极值问题 考点一遍过 考点1 解析法 1 考点2 图解法 4 考点3 相似三角形法 8 考点4 辅助圆法 13 考点5 平衡中的临界、极值问题 17 考点1 解析法 考点一遍过 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 【重点突破】 1．对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3．根据自变量的变化确定因变量的变化。 【例1】（2026·山西·二模）如图所示，一个光滑的半圆形导轨竖直固定，其左右端点、处各安装一个定滑轮。一个轻质、不可伸长的闭合细绳圈跨过两个滑轮，绳圈的下方通过挂钩悬挂一质量为的重物。现用笔尖轻轻绕着绳圈上的某一点，使其沿导轨从点缓慢运动到点。忽略滑轮摩擦、绳圈与导轨间的摩擦，则在此过程中绳圈上的拉力大小（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【详解】设笔尖顶住的点为点P（沿导轨运动），AP+PB是上半部分绳长， 是下半部分两段绳的总长度。闭合细绳总长度恒定，满足： (C为绳总长度，是定值)，当P从A沿半圆导轨运动到B时，由几何关系可得： AP+PB的长度先增大，在半圆顶端达到最大，之后减小，因此下半部分总长度先减小，后增大 从点P处知两侧绳的拉力大小相等，对悬挂重物的挂钩受力分析：笔尖缓慢运动过程，挂钩始终受力平衡，重力mg向下，两段绳的拉力大小均为T。据对称性两段绳与竖直方向的夹角相等为α（为锐角），因此下半部分总长度先减小，后增大，故2α先增大后减小，即α先增大后减小，由竖直方向合力为零得 2Tcosα= mg 因此整个过程绳圈的拉力大小先增大后减小 故选C。 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图所示，甲、乙两人站在水平地面上，光滑圆环套在不可伸长的轻绳上，圆环下端吊一重物。两人缓慢放绳，在重物竖直向下移动一小段距离的过程中（    ） A．地面对甲的支持力保持不变 B．地面对甲的支持力逐渐变大 C．地面对乙的摩擦力保持不变 D．地面对乙的摩擦力逐渐变大 【答案】A 【详解】CD．分析可知，圆环套在绳子上可视为活结模型，环两端绳子上的拉力大小相等，根据平行四边形定则，做出力的平行四边形如图所示 设绳子与竖直方向的夹角为，绳子上的拉力为，根据力的平行四边形可知，当缓慢放绳时，绳子上拉力与竖直方向的夹角减小，而根据平衡条件有 可知，当减小时，绳上的拉力减小，对乙分析，在水平方向，乙受到地面对乙的静摩擦力与绳子上的拉力在水平方向的分力而平衡，则有 在缓慢放绳时，减小，则地面对乙的摩擦力逐渐变小，故CD错误； AB．根据平衡条件可知，每段绳子上的拉力在竖直方向的分力不变，即 对甲分析，设地面对甲的支持力为，根据平衡条件有 可知地面对甲的支持力不变，故A正确，B错误。 故选A。 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，两个完全相同的光滑圆球，用绕过固定光滑圆环的轻绳连接，两球处于静止状态，两球的球心在同一水平线上，若轻绳长度变长，下列说法正确的是（　　） A．轻绳对环的作用力不变 B．轻绳对环的作用力变小 C．两个球之间的弹力变大 D．轻绳对球的拉力变大 【答案】A 【详解】AB．将轻绳和两球看成一个整体，根据受力平衡可知，环对轻绳的作用力等于两球的总重力，方向竖直向上；则轻绳对环的作用力大小等于两球的总重力，方向竖直向下，保持不变，故A正确，B错误； CD．设轻绳与竖直方向的夹角为，以其中一个小球为对象，设球的质量为，根据平衡条件可得， 解得， 若轻绳长度变长，则变小，可知两个球之间的弹力变小，轻绳对球的拉力变小，故CD错误。 故选A。 3．（2026·湖北孝感·二模）如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有、两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现对施加一水平向右的外力，使缓慢向右移动，该过程中环始终保持静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．A环对杆的摩擦力变小 B．杆对B环的摩擦力变大 C．杆对B环的作用力不变 D．细绳对A环的拉力变小 【答案】C 【详解】D．对施加外力前，两细绳与竖直方向的夹角设为，由对称性可知两细绳上的拉力相等，设为，设书的重力为。由竖直方向的平衡得 得 缓慢向右移动后，变大，变小，故细绳对A环的拉力变大，故D错误； A．A环受到的摩擦力， 缓慢向右移动后，变大，变大，A环受到的摩擦力变大，由牛顿第三定律得 A环对杆的摩擦力也变大，故A错误； B．受到杆的支持力，不变，缓慢向右移动过程中，受到杆的滑动摩擦力，不变，故B错误； C．杆对B环的作用力为和合力，因和大小和方向都不变，故它们的合力大小和方向也不变，故C正确。 故选C。 考点2 图解法 考点一遍过 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 【重点突破】 【例2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为θ，下列说法正确的是（     ） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为Gcosθ B．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 C．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为Gcosθ D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 【答案】B 【详解】对篮球受力分析，如图所示 设挡板对篮球的弹力大小为，斜坡对篮球的弹力大小为，根据平衡条件可得， 缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴沿逆时针方向转一个较小角度，挡板和斜坡对篮球的弹力的合力始终与重力G等大反向，如图所示 由图解法可知、均减小，故选B。 1．（2026·江西萍乡·二模）（多选）一根不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m的圆环穿过细线，如图所示。现施加一作用力F使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．F的最小值为 B．F的大小不可能为mg C．若，则F的方向一定是偏离水平方向向上 D．若，则F的方向一定是偏离水平方向向下 【答案】AC 【详解】A．同一根细线上拉力大小相等，设AC细线、BC细线的合力为T，方向与竖直方向成45°角，如图所示 由图可知，当与垂直时取最小值，最小，可知F的最小值为，A正确； B．当力在水平方向时，大小为，B错误； C．由图可知，力沿着水平方向时，大小为，若，则F的方向一定是偏离水平方向向上，C正确； D．由图可知，若，则F的方向可能是偏离水平方向向下，也可能是偏离水平方向向上，D错误。 故选AC。 2．（2026·北京东城·一模）如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，下列说法正确的是（    ） A．斜面对铅球的支持力增大 B．挡板对铅球的支持力增大 C．挡板对铅球的支持力先减小后增大 D．斜面和挡板对铅球的合力大小不变 【答案】D 【详解】ABC．设挡板对铅球的支持力为，斜面对铅球的支持力为，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，对铅球受力分析，如图所示 由矢量三角形可知，挡板对铅球的支持力一直减小；斜面对铅球的支持力也一直减小，故ABC错误； D．铅球受到重力、挡板对铅球的支持力、斜面对铅球的支持力，根据平衡条件可得，斜面和挡板对铅球的合力始终与重力等大反向，即斜面和挡板对铅球的合力大小不变，故D正确。 故选D。 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）水平地面放有倾角为、质量为的斜面体，一可视为质点的光滑小球与长为的轻绳连接，开始轻绳的另一端位于b点正下方的a点。现将绳端缓慢从a点上移至b点后右移到与b在同一高度的c点，b、c间距离为， 绳端在b时绳与竖直方向的夹角为，。斜面体始终静止，小球始终在斜面体上。下列说法正确的是（ ） A．从a点到b点，球对斜面体的压力不变 B．从a点到b点，绳对小球的拉力逐渐减小 C．绳端在c点时绳的拉力为在b点的 D．绳端在c点时地面对斜面体的摩擦力是在b点的1.5倍 【答案】D 【详解】AB．题意可知绳端从a到b的过程中，轻绳与竖直方向的夹角减小，轻绳与斜面间的夹角逐渐增大，小球受到重力、支持力及绳子拉力而平衡，小球所受重力不变，斜面体对小球的支持力方向不发生变化，力的矢量三角形如图所示 由于支持力与拉力间的夹角从小于逐渐减小，则斜面体对小球的支持力逐渐减小（根据牛顿第三定律可知球对斜面体的压力减小），轻绳对小球的拉力逐渐增大，故AB错误； C．对小球，绳端在b点时竖直方向有 水平方向有 绳端在c点时，设绳子与竖直方向夹角为，几何关系可知，可知绳子与斜面平行，则有 联立可得，故C错误； D．对球与斜面体整体，绳端在b点时，水平方向有 绳端在c点时，水平方向有 联立可得，故D正确。 故选D。 考点3 相似三角形法 考点一遍过 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 【例3】（2026·湖南长沙·一模）如图所示，一轻绳绕过光滑定滑轮（半径可忽略）一端连接小球A（可视为质点），另一端连接物体B。物体B放在粗糙水平地面上，受到水平向右的作用力F，使得小球A沿光滑固定的半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮在半球面球心O的正上方C点处，已知OC的长度为2R，半球面的半径为R。小球A向上缓慢移动到最高点D的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的张力T增大 B．光滑半球面对小球的支持力变小 C．地面对物体的滑动摩擦力减小 D．地面对半球面的作用力增大 【答案】D 【详解】AB．小球A沿光滑半球面缓慢运动过程中，小球A受到重力、轻绳的张力、半球面对A的支持力的作用，处于三力平衡，如图所示 根据平衡条件，可得N与T的合力 根据相似三角形法则知 可得 小球A向上移动到D的过程中，R不变，AC变短，故轻绳的张力T逐渐减小，支持力N不变，故AB错误； C．物体B向右移动，受到轻绳的张力T、自身重力、地面的支持力、滑动摩擦力f、水平拉力F的作用，受力分析如上图所示，在B向右移动过程中轻绳与竖直方向的夹角增大，而轻绳的张力T减小，可知张力的竖直分力减小，在竖直方向上有 可知地面对物体B的支持力增大；根据可知摩擦力增大，故C错误； D．小球A对半球面的压力大小不变，其方向与竖直方向夹角变小，则压力与半球面的重力的合力增大，此合力与地面对半球面的作用力为一对平衡力，故地面对半球面的作用力增大，故D正确。 故选D。 1．（2026·湖南邵阳·三模）A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】轻杆对两小球弹力大小相等，令该弹力为T，对小球A进行分析，利用相似三角形规律有 解得 对小球B进行分析，利用相似三角形规律有 解得 由于 则有 故选C。 2．（2026·陕西安康·三模）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，电荷量保持不变，不带电的小球a、带正电的小球b用跨过定滑轮O的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知。室内空气潮湿，b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），下列说法正确的是（　　） A．a球的质量小于b球的质量 B．点电荷对b球先做负功后做正功 C．定滑轮O受到轻绳的作用力先增大后减小 D．点电荷对b球的库仑力先减小后增大 【答案】A 【详解】A．对小球进行受力分析，如图所示 由平衡条件可知，这三个力构成的矢量三角形与几何三角形相似（其中对应 ，对应 ，对应）。 根据相似三角形对应边成比例可得 对小球，有。 联立解得 因为已知，所以，即，故A正确； B．由 可知。又由库仑定律 联立可得 因为缓慢减少，所以缓慢减小，即球缓慢靠近点。 库仑力为斥力，方向沿连线向外，位移方向大致向下（靠近），库仑力与位移夹角为钝角，库仑力一直做负功，故B错误； C．由 可知，由于、、、均不变，所以长度保持不变，即球在以为圆心的圆弧上运动。 在中，、不变，减小，由余弦定理 可知，增大，减小。 定滑轮受到轻绳的作用力为两段绳子拉力的合力，两绳拉力大小均为不变，夹角减小，故合力增大，故C错误； D．由 可知 因为减小，所以库仑力一直减小，故D错误。 故选A。 3．（2026·安徽·三模）带电小球固定在竖直的绝缘杆上，有一根不可伸长的绝缘轻质细线一端连接带电小球，另一端系在绝缘杆上，平衡时两小球的位置如图所示。设小球受到细线的拉力为、库仑力为，使小球缓慢向上移动小段距离，小球再次平衡时（　　） A．、都变大 B．、都变小 C．变大，变小 D．变小，变大 【答案】A 【详解】小球受重力，细绳拉力和库仑力处于静止状态，设点到、的距离分别为、，、的距离为，如图所示 由相似三角形可得 根据库仑定律 代入可得 向上移动，变小，减小，变大，变大 因此、都变大。 故选A。 考点4 辅助圆法 考点一遍过 “一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡问题 1．圆周角法：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 【例4】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量分布均匀的光滑球A和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。一水平力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，从图示位置开始推动A球使B球缓慢上升，A、B两球和容器内壁始终有接触，在B球上升至球心与O点等高的过程中，下列判断正确的是（     ） A．A球受到B球的弹力先增大后减小 B．A球受到B球的弹力逐渐增大 C．容器对B球的支持力先减小后增大 D．容器对B球的支持力逐渐增大 【答案】B 【详解】对B球受力分析如图1所示 缓慢推动A球直到B的球心与容器的圆心O等高的过程中，三角形OAB边长恒定，和的夹角不变，根据三力平衡作出矢量三角形如图2所示 从图2可以看出B球受到A球的弹力逐渐增大，容器对B球的支持力先增大后减小。 故选B。 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，AO、BO为两根轻杆，一端A、B通过光滑铰链连接在水平地面，另一端在O点也通过光滑铰链连接在一起，，两根杆在同一竖直平面内，现在对O点施加一力F，初始时F沿水平方向，保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，AO杆、BO杆力的大小分别记为、，下列说法正确的是（　　） A．不断增大，不断减小 B．不断减小，不断增大 C．先增大后减小，先增大后减小 D．先减小后增大，先增大后减小 【答案】C 【详解】杆通过铰链连接，则杆的力沿杆的方向，且由于AB两点距离固定，在F转动的过程中，O点不动，处于动态平衡；因F大小不变方向在变，可知F1，F2方向不变夹角也不变，等效为F大小方向不变，F1，F2方向在变，但夹角不变；且F顺时针转动，则等效为F1，F2逆时针转动，故可以用辅助圆法进行分析，如图所示 可知保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，先增大后减小，先增大后减小。 故选C。 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，O为其圆心，，质量为m的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，A、O、C三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为g。在材料绕轴线逆时针缓慢转过90°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面OA对木棒的弹力一直增大 B．槽面OB对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面OA对木棒的弹力的最大值为 D．槽面OA与槽面OB对木棒弹力的合力先减小后增大 【答案】C 【详解】ABC．在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，对均匀圆柱形木棒受力分析，由力的平衡条件可知，重力、槽面对木棒的弹力和槽面对木棒的弹力构成封闭的三角形，即三力的合力是零，如图所示 在转动中两弹力、的夹角不变，可知当由题图示位置逆时针缓慢转过时，槽面对木棒的弹力有最大值，最大值为 由解析图可知，槽面对木棒的弹力一直增大；槽面对木棒的弹力先增大后减小，故AB错误，C正确； D．由力平衡条件可知，槽面与槽面对木棒弹力的合力大小始终等于木棒的重力，合力大小不变，故D错误。 故选C。 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）（多选）如图所示，三根等长的光滑杆构成三角架，杆OA竖直放置。质量均为m的两小球用细线相连后，分别套在两杆上，在图示位置能保持静止。现将三角架绕A端在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动，直到OB杆竖直。下列说法正确的是（　　） A．OA杆对小球的弹力一直增大 B．OB杆对小球的弹力一直增大 C．转至AB杆水平时OB杆上的弹力大小为2mg D．转至AB杆水平时绳上拉力为 【答案】AC 【详解】AB．将两小球看成一个整体，构建整体受力的矢量三角形，如图所示 两弹力间的夹角大小不变，整体重力大小方向均不变，可构造该矢量三角形的外接圆，在OA杆对小球的弹力方向由水平变化的过程中，OA杆对小球的弹力一直增大，OB杆对小球的弹力一直减小，A正确，B错误； C．转至AB杆水平时，两弹力的夹角为120°，与竖直方向的夹角均为60°，根据合成规律可知末态时两杆对球的弹力大小相等，设两杆对球的弹力大小为，则 解得，C正确； D．以OB杆上的小球为研究对象，根据平衡可知 解得，D错误。 故选AC。 考点5 平衡中的临界、极值问题 考点一遍过 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【重点突破】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 【例5】（2026·湖北十堰·二模）如图所示，用水平推力F作用在物块B上，使物块A、B一起沿光滑水平面向右做匀加速运动，A、B间的动摩擦因数为0.5，A的质量为2m，B的质量为m，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B保持相对静止，则推力F的最小值等于（　　） A．1.5mg B．2mg C．2.5mg D．3mg 【答案】D 【详解】对整体由牛顿第二定律有 设B对A的压力为，则对A由牛顿第二定律有 对物块B研究 解得 故选D。 1．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设半圆柱体 A、B 的质量为 ，因材料、长度、半径、密度均相同，圆柱体 C 的体积是半圆柱体的 2 倍，故C的质量为 。设C的圆心与 B 的圆心连线与竖直方向夹角为 。对 C 受力分析，由对称性知 A、B对C的支持力大小相等，设为 。竖直方向平衡有 解得 对 B 受力分析，竖直方向地面对 B 的支持力 水平方向 B 受到的静摩擦力 为使 B 保持静止，需满足 即 得 当 C 恰好降到地面时，C 的圆心离地高度为 ，B 的圆心在地面上，两圆心距离为 ，此时， 在此过程中从增大到， 单调递增，当 时 最大，为 。故 的最小值为 。 故选 C。 2．（24-25高一上·重庆渝中·期末）如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放在水平面上的质量为的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲、乙均处于静止状态。已知，，g取，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？ (2)若物体乙恰好未发生滑动，则物体乙与水平面之间的动摩擦因数。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对结点О受力分析，如图所示，根据平衡条件可得轻绳OA的拉力大小 根据平衡条件可得轻绳OB的拉力大小为 解得， （2）若物体乙恰好未发生滑动，物体乙受到摩擦力刚好为最大静摩擦力，则 由二力平衡可得 解得物体乙与水平面之间的动摩擦因数 3．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、4m的小球a、b用一根轻直杆连接，小球b静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a由水平位置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a的作用力F始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b与桌面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设杆与水平桌面夹角为，对小球a、b分别受力分析，如图所示 转动过程中，小球a、b均处于平衡状态，对小球a有 对小球b，水平方向平衡得 竖直方向平衡得 又因为 可得 小球b不滑动条件为 即 代入化简可得 令 由基本不等式可得 可得 即的最大值为，故动摩擦因数至少为。 故选B。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 动态平衡 临界极值问题 考点一遍过 考点1 解析法 1 考点2 图解法 4 考点3 相似三角形法 8 考点4 辅助圆法 13 考点5 平衡中的临界、极值问题 17 考点1 解析法 考点一遍过 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 【重点突破】 1．对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3．根据自变量的变化确定因变量的变化。 【例1】（2026·山西·二模）如图所示，一个光滑的半圆形导轨竖直固定，其左右端点、处各安装一个定滑轮。一个轻质、不可伸长的闭合细绳圈跨过两个滑轮，绳圈的下方通过挂钩悬挂一质量为的重物。现用笔尖轻轻绕着绳圈上的某一点，使其沿导轨从点缓慢运动到点。忽略滑轮摩擦、绳圈与导轨间的摩擦，则在此过程中绳圈上的拉力大小（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图所示，甲、乙两人站在水平地面上，光滑圆环套在不可伸长的轻绳上，圆环下端吊一重物。两人缓慢放绳，在重物竖直向下移动一小段距离的过程中（    ） A．地面对甲的支持力保持不变 B．地面对甲的支持力逐渐变大 C．地面对乙的摩擦力保持不变 D．地面对乙的摩擦力逐渐变大 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，两个完全相同的光滑圆球，用绕过固定光滑圆环的轻绳连接，两球处于静止状态，两球的球心在同一水平线上，若轻绳长度变长，下列说法正确的是（　　） A．轻绳对环的作用力不变 B．轻绳对环的作用力变小 C．两个球之间的弹力变大 D．轻绳对球的拉力变大 3．（2026·湖北孝感·二模）如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有、两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现对施加一水平向右的外力，使缓慢向右移动，该过程中环始终保持静止状态，则下列说法正确的是（　　） A．A环对杆的摩擦力变小 B．杆对B环的摩擦力变大 C．杆对B环的作用力不变 D．细绳对A环的拉力变小 考点2 图解法 考点一遍过 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 【重点突破】 【例2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）如图所示，某同学将一篮球放在光滑的斜坡上用光滑的竖直挡板挡住来探究三力静态平衡和动态平衡。她先挡住篮球让它处于静止状态，然后缓慢地把挡板绕斜坡顶点沿逆时针方向转一个较小角度（小于斜坡的倾角）。已知篮球的重力为G，斜坡的倾角为θ，下列说法正确的是（     ） A．篮球处于静止状态时，挡板对篮球的弹力大小为Gcosθ B．在缓慢转动挡板的过程中，斜坡对篮球的弹力逐渐减小 C．篮球处于静止状态时，斜坡对篮球的弹力大小为Gcosθ D．在缓慢转动挡板的过程中，挡板对篮球的弹力逐渐增大 1．（2026·江西萍乡·二模）（多选）一根不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m的圆环穿过细线，如图所示。现施加一作用力F使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．F的最小值为 B．F的大小不可能为mg C．若，则F的方向一定是偏离水平方向向上 D．若，则F的方向一定是偏离水平方向向下 2．（2026·北京东城·一模）如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，下列说法正确的是（    ） A．斜面对铅球的支持力增大 B．挡板对铅球的支持力增大 C．挡板对铅球的支持力先减小后增大 D．斜面和挡板对铅球的合力大小不变 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）水平地面放有倾角为、质量为的斜面体，一可视为质点的光滑小球与长为的轻绳连接，开始轻绳的另一端位于b点正下方的a点。现将绳端缓慢从a点上移至b点后右移到与b在同一高度的c点，b、c间距离为， 绳端在b时绳与竖直方向的夹角为，。斜面体始终静止，小球始终在斜面体上。下列说法正确的是（ ） A．从a点到b点，球对斜面体的压力不变 B．从a点到b点，绳对小球的拉力逐渐减小 C．绳端在c点时绳的拉力为在b点的 D．绳端在c点时地面对斜面体的摩擦力是在b点的1.5倍 考点3 相似三角形法 考点一遍过 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 【例3】（2026·湖南长沙·一模）如图所示，一轻绳绕过光滑定滑轮（半径可忽略）一端连接小球A（可视为质点），另一端连接物体B。物体B放在粗糙水平地面上，受到水平向右的作用力F，使得小球A沿光滑固定的半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮在半球面球心O的正上方C点处，已知OC的长度为2R，半球面的半径为R。小球A向上缓慢移动到最高点D的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳的张力T增大 B．光滑半球面对小球的支持力变小 C．地面对物体的滑动摩擦力减小 D．地面对半球面的作用力增大 1．（2026·湖南邵阳·三模）A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（2026·陕西安康·三模）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，电荷量保持不变，不带电的小球a、带正电的小球b用跨过定滑轮O的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知。室内空气潮湿，b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），下列说法正确的是（　　） A．a球的质量小于b球的质量 B．点电荷对b球先做负功后做正功 C．定滑轮O受到轻绳的作用力先增大后减小 D．点电荷对b球的库仑力先减小后增大 3．（2026·安徽·三模）带电小球固定在竖直的绝缘杆上，有一根不可伸长的绝缘轻质细线一端连接带电小球，另一端系在绝缘杆上，平衡时两小球的位置如图所示。设小球受到细线的拉力为、库仑力为，使小球缓慢向上移动小段距离，小球再次平衡时（　　） A．、都变大 B．、都变小 C．变大，变小 D．变小，变大 考点4 辅助圆法 考点一遍过 “一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡问题 1．圆周角法：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 【例4】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量分布均匀的光滑球A和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。一水平力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，从图示位置开始推动A球使B球缓慢上升，A、B两球和容器内壁始终有接触，在B球上升至球心与O点等高的过程中，下列判断正确的是（     ） A．A球受到B球的弹力先增大后减小 B．A球受到B球的弹力逐渐增大 C．容器对B球的支持力先减小后增大 D．容器对B球的支持力逐渐增大 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，AO、BO为两根轻杆，一端A、B通过光滑铰链连接在水平地面，另一端在O点也通过光滑铰链连接在一起，，两根杆在同一竖直平面内，现在对O点施加一力F，初始时F沿水平方向，保证力F大小不变，顺时针缓慢旋转F直到竖直方向，AO杆、BO杆力的大小分别记为、，下列说法正确的是（　　） A．不断增大，不断减小 B．不断减小，不断增大 C．先增大后减小，先增大后减小 D．先减小后增大，先增大后减小 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，O为其圆心，，质量为m的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，A、O、C三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为g。在材料绕轴线逆时针缓慢转过90°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面OA对木棒的弹力一直增大 B．槽面OB对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面OA对木棒的弹力的最大值为 D．槽面OA与槽面OB对木棒弹力的合力先减小后增大 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）（多选）如图所示，三根等长的光滑杆构成三角架，杆OA竖直放置。质量均为m的两小球用细线相连后，分别套在两杆上，在图示位置能保持静止。现将三角架绕A端在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动，直到OB杆竖直。下列说法正确的是（　　） A．OA杆对小球的弹力一直增大 B．OB杆对小球的弹力一直增大 C．转至AB杆水平时OB杆上的弹力大小为2mg D．转至AB杆水平时绳上拉力为 考点5 平衡中的临界、极值问题 考点一遍过 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【重点突破】 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 【例5】（2026·湖北十堰·二模）如图所示，用水平推力F作用在物块B上，使物块A、B一起沿光滑水平面向右做匀加速运动，A、B间的动摩擦因数为0.5，A的质量为2m，B的质量为m，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B保持相对静止，则推力F的最小值等于（　　） A．1.5mg B．2mg C．2.5mg D．3mg 1．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆渝中·期末）如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放在水平面上的质量为的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲、乙均处于静止状态。已知，，g取，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？ (2)若物体乙恰好未发生滑动，则物体乙与水平面之间的动摩擦因数。 3．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、4m的小球a、b用一根轻直杆连接，小球b静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a由水平位置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a的作用力F始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b与桌面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $