第11讲专题强化二 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题 导学案-2027届高三物理一轮复习

第11讲　专题强化二　动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题 考点1　动态平衡问题的分析方法 1．动态平衡 动态平衡就是通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。 2．做题流程 ►考向1　解析法 1．对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3．根据自变量的变化确定因变量的变化。 类型一　合成法和正交分解法的应用 如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．先减小后增大 类型二　相似三角形法的应用 物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法。 如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ►考向2　图解法的应用 类型一　“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是(　　) A．货物A对玻璃棚的压力不变 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力越来越小 类型二　“一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡问题 1．圆周角法：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (2025·河北沧州联考)如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端分别与轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同(均处于拉伸状态)，且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120°夹角。现使OP、OQ的夹角不变，在保持O点不动的情况下，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中(　　) A．OP上的作用力一直减小 B．OQ上的作用力一直减小 C．OP上的作用力先增大后减小 D．OQ旋转至水平位置时，OQ上作用力最大 考点2　平衡中的临界和极值问题 (能力考点·深度研析) 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解答临界和极值问题的三种方法：函数法、图解法和极限法。 ►考向1　函数法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) ►考向2　图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为(　　) A．mg　　　　　　　 B．mg C．mg D．mg ►考向3　极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 (2024·山东卷)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　) A． B． C． D． 提能训练　练案[11] 基础巩固练 题组一　动态平衡问题 1．(2025·湖南衡阳模拟)如图，OABC为常见的“汽车千斤顶”。当汽车需要换轮胎时，司机将它放在车身底盘和地面之间，只需摇动手柄使螺旋杆OA转动，O、A之间的距离就会逐渐减小，O、C之间的距离增大，就能将汽车车身缓缓地顶起来。在千斤顶将汽车顶起来的过程中，下列关于OA、OB的弹力的说法正确的是(　　) A．OA、OB的弹力不断变大 B．OA、OB的弹力不断变小 C．OA的弹力变大、OB的弹力变小 D．OA的弹力变小、OB的弹力变大 2. (多选)(2025·福建漳州质检)如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，最高点B处固定一小滑轮，质量为m的小球A穿在环上。现用细绳一端拴在小球A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使小球A缓慢向上移动。在移动过程中关于铁丝对小球A的支持力N，下列说法正确的是(　　) A．N的方向始终背离圆心O B．N的方向始终指向圆心O C．N逐渐变小 D．N大小不变 3．(2025·河北邢台市联考)“安吉游戏”源起浙江省安吉县，是安吉幼儿园“游戏”式的教学方法的简称。“安吉游戏”提倡把游戏还给孩子，让他们在自主、自由的游戏中学习。如图所示，是一个小朋友将一个篮球放在斜坡上，并用竖直挡板挡住，篮球处于静止状态。已知斜坡的倾角为θ(θ为锐角)，挡板对篮球的弹力为F1，斜面对篮球的弹力为F2，不考虑篮球受到的摩擦力，下列说法正确的是(　　) A．斜面对篮球的弹力F2小于挡板对篮球的弹力F1 B．斜面对篮球的弹力F2小于篮球重力G C．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，F1减小 D．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，F2增大 4．如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球(可以看成质点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R<L<2R。A、B是墙上两点，且OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为(　　) A．F1和F2均增大 B．F1保持不变，F2先增大后减小 C．F1和F2均减小 D．F1先减小后增大，F2保持不变 5．某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图所示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是(　　) A．右手对铅球的弹力增大 B．右手对铅球的弹力先增大后减小 C．左手对铅球的弹力增大 D．左手对铅球的弹力先增大后减小 题组二　临界和极值问题 6. (2025·唐山模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象。为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为(　　) A．1.5 m B． m C．2 m D．2 m 7. (2025·辽宁沈阳模拟)如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　) A．0 B．90° C．60° D．45° 8. (2025·广西桂林调研)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长为0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O′P刚拉直时，绳OP拉力为T1，绳OP刚松弛时，绳O′P拉力为T2，则T1∶T2为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5 能力提升练 9．如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A． B． C． D． 10．如图，在水平桌面上叠放着两个物块M和m，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与m相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′夹角为α＝120°且保持不变，使OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是(　　) A．轻绳OO′的拉力先减小后增大 B．m对M的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先增大后减小 D．桌面对M的摩擦力可能一直在减小 11．(2025·河南许昌市联考)如图所示，光滑水平面上有一劈形小车，小车的斜面上有一物块A，物块A通过跨过光滑滑轮的轻绳与小物块B相连，并且小物块B还通过轻绳连接在固定点O处，一开始两段轻绳的夹角为直角。现用水平力F向左缓慢推动小车直到物块A刚要滑动时，下列说法正确的是(　　) A．悬挂在O点的轻绳的拉力在减小 B．连接物块A的轻绳的拉力在减小 C．物块A受到的摩擦力在减小 D．水平力F在增大 12．(2024·海南海口月考)如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　专题强化二　动态平衡问题　平衡中的临界和极值问题 考点1　动态平衡问题的分析方法 1．动态平衡 动态平衡就是通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。 2．做题流程 ►考向1　解析法 1．对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3．根据自变量的变化确定因变量的变化。 类型一　合成法和正交分解法的应用 如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．先减小后增大 [答案]　B [解析]　设昆虫的质量为m，每条股节部分受到的拉力均为T，则由力的平衡条件可得6Tsin θ＝mg，解得T＝，向当昆虫稍微伸直足时，角θ变大，因此可知足的股节部分受到的拉力T将减小，故选B。 类型二　相似三角形法的应用 物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法。 如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 [答案]　A [解析]　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。根据三角形相似得＝＝，又F合＝G，得FN＝G，∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。 ►考向2　图解法的应用 类型一　“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是(　　) A．货物A对玻璃棚的压力不变 B．货物A对玻璃棚的压力越来越大 C．绳子的拉力越来越大 D．绳子的拉力越来越小 [答案]　C [解析]　对货物A受力分析，其动态图如图所示。货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大。同时，玻璃棚对货物的支持力变小，由牛顿第三定律知，货物A对玻璃棚的压力越来越小。故C项正确。 类型二　“一力恒定，另外两力方向变化但夹角一定”的动态平衡问题 1．圆周角法：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2．正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (2025·河北沧州联考)如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端分别与轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同(均处于拉伸状态)，且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120°夹角。现使OP、OQ的夹角不变，在保持O点不动的情况下，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中(　　) A．OP上的作用力一直减小 B．OQ上的作用力一直减小 C．OP上的作用力先增大后减小 D．OQ旋转至水平位置时，OQ上作用力最大 [答案]　A [解析]　初状态系统平衡时，两弹簧弹力相等，合力与两弹簧夹45°斜向左上方，则由O点受力平衡知：OP、OQ两绳拉力合力斜向下与OP夹45°角。保持O点不动，则两弹簧伸长状态不变，合力不变，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转70°，此过程OP、OQ合力不变，而两力夹角不变，根据力三角形法可作图如示： 由图可以看出，在旋转70°的过程中，表示OP的拉力TOP长度一直在减小，说明OP上的作用力一直减小；表示OQ的拉力TOQ长度先增大后减小，说明OQ上的作用力先增大后减小；当OQ旋转至水平位置时，OQ对应的圆周角为180°－60°－45°＝75°<90°，说明此时OQ拉力不是最大值。故A正确，B、C、D错误。 考点2　平衡中的临界和极值问题 (能力考点·深度研析) 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解答临界和极值问题的三种方法：函数法、图解法和极限法。 ►考向1　函数法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) [答案]　D [解析]　设车辕与水平方向的夹角为θ，则当车匀速前进时，有Fcos θ＝k(mg－Fsin θ)，解得F＝，其中k＝，由三角函数知识可得cos θ＋ksin θ＝sin(60°＋θ)，则当θ＝30°时F最小，即此时车辕的长度约为l＝＝2H≈2 m，故选D。 ►考向2　图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为(　　) A．mg　　　　　　　 B．mg C．mg D．mg [答案]　C [解析]　由对称性可知，AC绳和BD绳与竖直方向的夹角相等，设均为θ，由几何关系可知sin θ＝＝，则θ＝30°。对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan 30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，BD绳对D点的拉力F1方向一定，又F1与在D点施加的力F3的合力和F2等值反向，如图所示，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3min＝F2sin 60°＝mg，C正确。 ►考向3　极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 (2024·山东卷)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　对机器人受力分析如图所示，由平衡条件得，mgsin 30°≤μmgcos 30°，解得μ≥，故机器人的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于，B正确，A、C、D错误。 提能训练　练案[11] 基础巩固练 题组一　动态平衡问题 1．(2025·湖南衡阳模拟)如图，OABC为常见的“汽车千斤顶”。当汽车需要换轮胎时，司机将它放在车身底盘和地面之间，只需摇动手柄使螺旋杆OA转动，O、A之间的距离就会逐渐减小，O、C之间的距离增大，就能将汽车车身缓缓地顶起来。在千斤顶将汽车顶起来的过程中，下列关于OA、OB的弹力的说法正确的是(　　) A．OA、OB的弹力不断变大 B．OA、OB的弹力不断变小 C．OA的弹力变大、OB的弹力变小 D．OA的弹力变小、OB的弹力变大 [答案]　B [解析]　对O点进行受力分析，它受到竖直方向的汽车对它的压力，大小等于汽车的重力G，OA方向杆的拉力FOA，BO方向的弹力FBO，OB与水平方向夹角为θ，可知G＝FBOsin θ，FOA＝，当θ变大时，FBO和FOA均变小，故B正确。 2. (多选)(2025·福建漳州质检)如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，最高点B处固定一小滑轮，质量为m的小球A穿在环上。现用细绳一端拴在小球A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使小球A缓慢向上移动。在移动过程中关于铁丝对小球A的支持力N，下列说法正确的是(　　) A．N的方向始终背离圆心O B．N的方向始终指向圆心O C．N逐渐变小 D．N大小不变 [答案]　AD [解析]　在小球A缓慢向上移动的过程中，小球A处于三力平衡状态，根据平衡条件知小球A的重力mg与半圆环对小球的支持力N的合力与细绳的拉力T等大、反向、共线，作出mg与N的合力，如图所示，由三角形相似有＝＝，AO、BO、mg都不变，则N大小不变，方向始终背离圆心O。故A、D正确，B、C错误。 3．(2025·河北邢台市联考)“安吉游戏”源起浙江省安吉县，是安吉幼儿园“游戏”式的教学方法的简称。“安吉游戏”提倡把游戏还给孩子，让他们在自主、自由的游戏中学习。如图所示，是一个小朋友将一个篮球放在斜坡上，并用竖直挡板挡住，篮球处于静止状态。已知斜坡的倾角为θ(θ为锐角)，挡板对篮球的弹力为F1，斜面对篮球的弹力为F2，不考虑篮球受到的摩擦力，下列说法正确的是(　　) A．斜面对篮球的弹力F2小于挡板对篮球的弹力F1 B．斜面对篮球的弹力F2小于篮球重力G C．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，F1减小 D．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，F2增大 [答案]　C [解析]　对篮球受力分析如图所示， 设篮球质量m，由于篮球处于静止状态，所以F1和mg的合力大小等于F2，则有F2＝＝，F1＝mgtan θ＝Gtan θ，故F2>F1，F2>G，故A、B错误；对篮球进行受力分析如图所示 绕O缓慢把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，图中的B点缓慢下移，则F1减小，F2也减小，故C正确，D错误。故选C。 4．如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球(可以看成质点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R<L<2R。A、B是墙上两点，且OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为(　　) A．F1和F2均增大 B．F1保持不变，F2先增大后减小 C．F1和F2均减小 D．F1先减小后增大，F2保持不变 [答案]　A [解析]　小球受重力、轻绳的拉力和轻杆的支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示。根据平衡条件，该力的矢量三角形与几何三角形POC相似，则有＝＝，解得F1＝G，F2＝G，当P点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，F2增大，故选A。 5．某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图所示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是(　　) A．右手对铅球的弹力增大 B．右手对铅球的弹力先增大后减小 C．左手对铅球的弹力增大 D．左手对铅球的弹力先增大后减小 [答案]　B [解析]　解法一　矢量圆法 以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力为F1和左手对铅球的弹力为F2，受力分析如图所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，则两力之间的夹角保持120°不变，则在三角形中，F1与F2夹角保持60°不变，重力G的大小方向不变，作出力三角形的外接圆，根据弦所对的圆周角都相等，则右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中力的三角形变化如图所示，分析可得F1开始小于直径，当转过30°时F1等于直径，再转时又小于直径，所以F1先增大后减小，F2开始就小于直径，转动过程中一直减小，选项B正确。 解法二　正弦定理法 以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力为F1及左手对铅球的弹力为F2，受力分析如图所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ，转动过程始终处于平衡状态，根据正弦定理有＝＝，右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中θ由0°变为60°，sin(60°＋θ)先变大再变小，所以F1先增大后减小，sin(60°－θ)一直变小，所以F2一直减小，选项B正确。 题组二　临界和极值问题 6. (2025·唐山模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象。为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为(　　) A．1.5 m B． m C．2 m D．2 m [答案]　C [解析]　设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcos θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确。 7. (2025·辽宁沈阳模拟)如图所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是(　　) A．0 B．90° C．60° D．45° [答案]　C [解析]　根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知β＝α＝60°，故C正确。 8. (2025·广西桂林调研)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长为0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O′P刚拉直时，绳OP拉力为T1，绳OP刚松弛时，绳O′P拉力为T2，则T1∶T2为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5 [答案]　C [解析]　绳O′P刚拉直时，由几何关系可知此时绳OP与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲所示，则T1＝mg。绳OP刚松弛时，小球受力如图乙所示，则T2＝mg。则T1∶T2＝3∶5，选项C正确。 能力提升练 9．如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　对光滑球体受力分析如图1所示根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图2所示根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 10．如图，在水平桌面上叠放着两个物块M和m，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与m相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′夹角为α＝120°且保持不变，使OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是(　　) A．轻绳OO′的拉力先减小后增大 B．m对M的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先增大后减小 D．桌面对M的摩擦力可能一直在减小 [答案]　C [解析]　对节点O受力分析，绳子拉力和F的夹角不变，合力与悬挂物体的重力等大反向，作出受力分析如右图，分析发现，随着绳拉力T由竖直逐渐变为水平过程，绳拉力先增大，后减小，故A错误；对m分析，绳子的拉力与M对m的摩擦力为一对平衡力，等大反向，绳拉力先增大，后减小，则M对m的摩擦力先增大，后减小，根据牛顿第三定律，m对M的摩擦力先增大，后减小，故B错误；对M和m以及桌子、悬挂物及滑轮等物体整体，根据平衡条件，F的水平分力与地面对桌子的摩擦力等大反向，由图像可知，F的水平分力大小(图中F与T在圆上交点到G作用线的距离)先增大后减小，则地面对桌子的摩擦力先增大后减小，故C正确；对M和m整体，根据平衡条件，绳子的拉力与桌面对M的摩擦力为一对平衡力，等大反向，绳拉力先增大，后减小，则桌面对M的摩擦力先增大，后减小，故D错误。故选C。 11．(2025·河南许昌市联考)如图所示，光滑水平面上有一劈形小车，小车的斜面上有一物块A，物块A通过跨过光滑滑轮的轻绳与小物块B相连，并且小物块B还通过轻绳连接在固定点O处，一开始两段轻绳的夹角为直角。现用水平力F向左缓慢推动小车直到物块A刚要滑动时，下列说法正确的是(　　) A．悬挂在O点的轻绳的拉力在减小 B．连接物块A的轻绳的拉力在减小 C．物块A受到的摩擦力在减小 D．水平力F在增大 [答案]　D [解析]　对小物块B在A未推动时进行受力分析，如下图 根据受力平衡可知，T1＝GBcos α，T2＝GBcos β，由于两段轻绳的夹角为直角，当向左缓慢推动小车时，由于物块A未滑动，因此α、β都增大，而T1、T2的合力大小仍等于GB，根据平行四边形定则可知，T1、T2都增大，故A、B错误；对物块A进行受力分析，设斜面与水平面的夹角为θ，若小车未移动时GAsin θ>T2，则物块A受到的摩擦力沿斜面向上，且GAsin θ＝T2＋f，小车移动后，T2增大，因此f减小，若小车未移动时GAsin θ<T2，则物块A受到的摩擦力沿斜面向下，且GAsin θ＋f＝T2，小车移动后，T2增大，因此f增大，若小车未移动时GAsin θ＝T2，此时无摩擦力，小车移动后，T2增大，物块A受到沿斜面向下且增大的摩擦力，故C错误；以物块A和小车作为整体进行分析，在水平方向上根据受力平衡可得T2cos θ＝F，小车移动后，T2增大，因此F增大，故D正确。故选D。 12．(2024·海南海口月考)如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小。 [答案]　(1)　(2)60° [解析]　(1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30° 解得μ＝tan 30°＝。 (2)设斜面倾角为α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得Fcos α＝mgsin α＋Ff′， FN′＝mgcos α＋Fsin α Ff′＝μFN′ 解得F＝ 当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。 学科网（北京）股份有限公司 $