河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期04月测试（二）数学试题

**基本信息** 高一下期数学月考卷聚焦复数、向量、解三角形及立体几何，以机械零件、铁塔测量等真实情境设计解答题，融合数学眼光的空间观念与数学思维的推理能力，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量投影、解三角形|第5题结合方位角测量，考查数学语言表达现实世界| |多选题|3/18|棱柱性质、圆锥体积与侧面积|第10题围绕旋转体展开多维度辨析，强化空间观念| |填空题|3/15|单位向量模长、正三棱台体积|第12题通过向量方程求模范围，渗透数学思维的运算能力| |解答题|5/77|圆台表面积、内接圆柱最值、球与正三角形|第15题机械零件最短路径问题，体现数学应用意识；第19题锐角三角形条件推理，发展逻辑思维|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 4．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 6．在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．如图1，三棱锥的高，底面在斜二测画法下的直观图如图2所示，其中为的中点，且，.则三棱锥的体积为（    ）    A． B．1 C． D．2 8．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 10．将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D．过圆锥顶点的截面面积的最大值为 11．在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.下列说法正确的是（    ） A．是直角三角形 B．若是的中点，则 C．若，为的中点，则的最大值为 D．若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 13．在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为______. 14．如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 16．（15分）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 17．（15分）在中，角的对边分别是，若． (1)证明：是正三角形． (2)若的三顶点都在球表面，且球的表面积为，求三棱锥的体积． 18．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 19．（17分）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期04月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D A B B B BC BCD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．/ 14． 15．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 16．(1) (2)；当时， 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再结合，即可得证； （2）设球的半径为，根据题意，求得，再设外接圆半径为，求得，由球的截面圆性质，求得，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 所以， 即， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 又因为，所以是正三角形． （2）解：设球的半径为，因为球的表面积为，所以，得到， 由（1）知是正三角形，且边长为， 设外接圆半径为，由正弦定理得，所以， 设球心到所在平面距离为，则由球的截面圆性质，可得， 则， 又因为， 所以三棱锥的体积为． 18．(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 19．(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. $