山西太原市第五中学校2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题

**基本信息** 高一中期数学试卷以人脸识别余弦距离（科技前沿）、文明城市建筑（社会热点）为情境，通过基础（集合运算）到综合（长方体外接球）的分层设计，考查数学眼光、思维与语言，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、立体几何|第6题结合人脸识别情境，体现数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|复数、立体几何、解三角形|第10题圆柱圆锥与球的表面积比较，考查空间观念| |填空|3/15|函数奇偶性、向量夹角、圆上动点范围|第14题圆上动点与中点向量范围，渗透数学思维逻辑性| |解答题|5/77|三角函数性质、正四棱台、解三角形、长方体综合|第17题文明城市建筑问题，第19题长方体体积与外接球结合，体现数学语言表达现实世界与创新意识|

秘密★启用前 2025~2026学年（下）高一中期质量评估 数 学 注意事项: 1 . 本试卷满分 150 分 , 考试时间 120 分钟。 2. 答题前 , 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3. 全部答案在答题卡上完成 , 答在本试题卷上无效。 4. 回答选择题时 , 选出每小题答案后 , 用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 , 用橡皮擦干净后 , 再选涂其他答案标号。 5. 考试结束后 , 将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A．2 B． C． D． 3．下列命题正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 4．若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ） A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 6．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在菱形中，为边上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，，则（    ） A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 11．满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是奇函数，则实数a的值是________． 13．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14．如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动， (1)求点坐标； (2)判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 16．（15分）已知函数． (1)的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)求不等式在上的解集． 17．（15分）在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高． (1)求正四棱台的表面积和体积； (2)在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值． 18．（17分）在中，角，，的对边分别是，，， (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 19．（17分）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年（下)高一中期质量评估 数学参考答案 1.D 【分析】先求出集合B,再结合交集的定义求解即可 【详解】因为B={xx=2k-1,k∈N}={-1,1,3,5,7,.},A={x|-2<x<6}, 所以A∩B={-1,1,3,5} 故选：D 2.C 【详解】因为z=1-}=1+i,所以z=1-i,所以2-z=2i. 3.D 【详解】A选项：单位向量的模长都为1，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误： B选项：若=0，则a∥b且b∥c时，a与c不一定平行，B错误： C选项：零向量的方向是任意的，并非没有方向”，C错误； D选项：若a=b,则两向量模长相等且方向相同，因此ā∥b,D正确. 4.A 【分析】由圆柱表面积及体积公式即可求解 【详解】设圆柱母线长为1,1=2r,则表面积S=2r2+2rl=6r2, 体积严=(o1=(知2)2=2m,所以-3 Vr 故选：A 5.A 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将己知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有cos4+cosB_b2+c2-aa2+c2-b32c2c a b 2abc 2abc 2abe ab' 由正弦定理可得3sinC_3c sinB b 因为cos4+cosB_3sinC a G所以品告可日3，解行a b a 故选：A 6.C 【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得cos(a+=?,再应用倍角余弦公式 求结果 【详解】由题设OA=(4cos%,4sin),OB=（V3,-1 答案第1页，共9页 所以cos(4B)=cos(@AOB）F O4.OB 43 cos a-4sin a OAOB 4×2 sin a =cos co-sinsina=cos(a+乃， 6 6 6 由1-cs(4B)=1-cos(a+5=}→cosa+5-2 63 6 3 所以co2a+写=2cosa+7-1=g 61 7.D 【详解】因为x∈[0，]，所以or+ 因为f(在[0网上恰有3个要点，所以3江≤r+号≤红，解得 8.A 【分析】建系，由向量模长的坐标表示即可求解 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系。 B(-2o.c0-1).Ex1-0≤t≤2) EB+EC=V(-2-2y2+(-3+92=V5+2x+13≥√13 当且仅当x=0时取等号. 故选：A 9.AC 【分析】根据复数的概念可判定A,利用复数的除法运算及几何意义可判定B,根据共轭复 数的定义可判定C,利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为2是纯虚数，所以A正确： 因为3=-8i=-8-51 9i9一，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确 因为1=5-8i的共轭复数为5+8i,所以C正确： 因为=9，所以D不正确。 故选：AC 答案第2页，共9页 10.CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为2元R.2R=4πR2,A错误； 圆锥的母线长1=√R2+(2R)2=√⑤R,则侧面积为πRl=√5πR2,B错误： 球的表面积为4πR2,所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为2元R2+4πR2=6πR2,圆锥的表面积为R2+√5R2=(1+V5)R2, 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为6πR2:1+V5)R2:4R2=6:1+V5):4,D正确. 故选：CD 11.ABD 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形 的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出BD的长度，最后 借助数量积的几何意义即可求出最大值 【详解】因为sinm4:sinB:sinC=2:√7：3，由正弦定理得a:b:c=2:√万：3， 因为=6店m房 21 2,所以ac=24, 所以a=4,c=6,b=2W7, 对于A:由余弦定理知，c0sBC+c-少-9好因为Be(Q,,所以B=霄7 2ac 所以A+C=元-B=2弧，即4+C=2B,放A正确， 3 对于B:因为a=4,c=6,b=2√7， 所以△ABC的周长为a+b+c=10+27,故B正确： 对于C:若∠B的角平分线与AC交于D,则∠ABD=∠CBD=1∠ABC= 2 6 因为S4Bc=S4BD十S.CaD, 所以6N5=c~BDsin∠ABD+ a.BDsin∠CBD, 2 即6N5=6BD 2,解得BD=12 ,故C错误： 5 对于D:因为A正.Ac=B.ACcOs∠RAC=b:匝kos∠BAC=27钷os∠BAC, 设△ABC外接圆的圆心为O,半径为R, b_2W万4V万 由正弦定理知， 2R= 血∠ABC3B,所以R=2 3 2 过点E作AC的垂线，垂足为F,则AE Cos EAC=AF, 答案第3页，共9页 当OE/IAC,且点F在AC的延长线上时，AF取得最大值，如图所示， B E 此时4-4C+08=b+R-2w厅2万2到 3 所以花，AC的最大值为2W.7+2Y)=14+28W√5，故D正确 3 3 12.2 【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程 并检验得到符合条件的a的值 【详解】因为f(y为奇函数，所以f(x)+f(-)=0,即na-tl+ha+x-1-0, x+1 -x+1 化简得a-lt-1,解得a=0或a=2.检验知a=2满足题意，故a=2. 1-x2 故答案为：2 132八且2=2 1+22 详解】由思设cosa而)-aV5x十力 ,又a与的夹角为锐角， 所以0< 1+2元 1+22>0 √5x1+2 <1,则 151+22)>(1+2)2 所以 As-1 2 ,可得2>-1且元≠2. 2-4+4>0 4 【分析】结合图形和题设条件，推出AD=BD=BE=1,以及D=(AB+AC)和 正。示+正，利用向量数量积的运算律化简得出4D.征}D服，根据图形，即可确 定ADBE的最大最小值，从而得到ADAE的取值范围 【详解】因AB L AC,∠ABC=30°，AC=1,则有AB=V3,BC=2, 又因D是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆上任意一点， 则得AD=BD=BE=1, 答案第4页，共9页 因AD=1(AB+AC),E=+B范， 则AD正而+A0而+丽 丽+丽丽+c孤+死丽 8+匝+0刚子而亚。 由图知，当AD与运同方向时，ADB亚取得最大值1， 当AD与BE反方向时，AD.BE取得最小值-1， 故好而亚 故器案为公， (311 15.042】 (2)存在， 【分析】(1)由oC=OA+OB可得C点坐标： (2)由OD-01+2C,D-0D-0死，以及元BD-0得到2=子从而得到D点坐标 【详解11)山影意，得0O1-(》o=(14。 因为四边形OACB是平行四边形， 所以c-a-0丽=背》改c得 (2)由题意，AC-0C-0A=(-1,4), 而-丽+c-(仔}面=而-841 若OD1BD,则OD.BD=0, 化简得：162-82+1=0，解得元=4： 1 故存在点D,使得OD⊥BD,且D 35 22 16.(1)T=元 (2)单调递增区间为 -亚+机亚+，ke乙；单调递减区间为 +k, 6 3 3 π+km,keZ 6 a 【分析】(1)根据二倍角的正余弦公式以及辅助角公式化简得出f(x)的表达式.然后即可得 出周期 (2)根据正弦函数的性质列出不等式，求解即可得出单调区间： 答案第5页，共9页 (3》由不等式可得出血2-看2根韬已知的范用得出-名<2x-石1进而结合正 π.1 6 66 弦函数的图象得出≤2x亚≤弧，求解即可得出答案 6 66 【详解】(1) )-2sin.(sin+3co)+1-2sinsixc+12xcsin2x+1 2 =√5sin2.x-cos2x+2 =2sm2x-6)+2 兀 所以，f()的最小正周期T=2 2元. （2》由空血≤2x名号流eZ可得， gs sL+km,k∈Z, 所以，f(x)的单调递增区间为 于ake2 6 由g+2m≤2x-s3亚+2mkeZ可得， 2 6-2 亚+≤xs5π+kikeZ, 6 所以，(x)的单调递减区间为 +k 5π+km,keZ 6 (3)由f(x)≥3可得2sim2x- +2≥3， 6 整理可得sim 2x-四1 因为0<x<π，所以-亚<2x-亚<11m 6 66 根据正弦函数的图象可知， 6≥行应满足s2xs元 要使sim2x-乃≥1 6 66 解得汇sxS 6 所以，不等式f(x)≥3在(0，)上的解集为 17.(1)表面积(80+4810)m2,体积224m (②)32v110 m 11 【分析】(1)根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面 积； 答案第6页，共9页 (2)把该四棱台沿侧棱DD,展开在同一平面，可得彩带的路径必须沿DB路径，计算DB的 长度，可得最短彩带的长度 【详解】(1)由题可知正四棱台ABCD-ABCD的体积 V正四校台ABCD-ASA 1×4+82+V4x82)×6=224m, 3 记OO分别为棱台上、下底面的中心，分别取BC,BC中点M,N,连接OM,ON, MN,在梯形O,NO中，过M作MH⊥ON于H, D B 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且OO=MH=6m,OM=2m,ON=4m,所以N=2m, 所以MN=VMH2+HW2=√40=2N10m, 所以正四棱台ACD-AAC2的表面积S=4+8+44+8)x2i而=(s0+48可)m. (2)把该四棱台沿侧棱DD展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带 的路径必须沿如图所示的DB路径.在等腰梯形ABBA中，设∠AAB=a,易知sina= √110 11 在△DAB中，AD=AB=8m,∠DAB=2a, 义cos2a=12sim2a号 由余弦定理得DB=√AD+AB2-2AD.ABcos∠DAB=,82+82-2x82 9 16W110 11 11 所以彩带最少需要2DB=32110 m. 11 D D 答案第7页，共9页 18.1)C= (2)4(2-1) 【分析】(1)根据正余弦定理求解即可. (2)根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式 求解即可 【详解】(1)因为sin2A+sin2B=(2 sin Asin B+sinC)sinC, 所以a2+b2=2 ab sin C+c2,即a+B-c2 -sin C. 2ab 由余弦定理可得cosC={+,bC,则cosC=sinC,所以tanC=l 因为0<C≤，所以c-异 (2)因为D是边AB的中点，所以2CD=CA+CB, 所以4CD=A+2CA.cB+FB，即b2+d2+V2ab-l6. B 因为b+a2≥2b,所以(2+√2)ab≤16，即ab≤8(2-√2)，当且仅当a=b时，等号成立， 则1c份面积sbmc-ohs4） 即当a=b时，e4BC的面积取得最大值4√2-1). 19.(1)表面积为10，体积为2 o号 (3)[6元，+0) 【分析】(1)由已知，利用长方体的表面积和体积计算方法计算即可： (2)由图和已知可知三棱锥A一BCD的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积， 由xy表示出后，利用基本不等式即可求出最大值： (3)由题可知，三棱锥A-BC,D的外接球即长方体ABCD-AB,CD的外接球，则由Ky 表示出.鸟后代入是并化简，利用基本不等式即可求得是的取值范用 S. 【详解】(1)因为底面ABCD为正方形，所以x=y=1, 则长方体ABCD-ABCD的表面积为2×1x1+4×1×2=10, 答案第8页，共9页 体积为1x1x2=2. (2)由图和己知， V-CD=VABCD-ACVA-ARD-VG-BCD-V-GV-G =2w号392x4后≤引空号 11 当且仅当x=y=1时，等号成立，故三棱锥4-BCD体积的最大值为： (3)由题可知，三棱锥A-BC,D的外接球即长方体ABCD-ABGD的外接球， 设该外接球的半径为R则2R=√x2+y2+4, 所以S=4πR2=π(x2+y2+4),S2=y, 则+44+++22 S2 xy 也 t 限为之2，所以是=2-26 当且仅当t=1,即x=y=1时，等号成立， 所以受的取位范用为[o+e） 答案第9页，共9页