18.1.1 矩形的性质-课件--2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 18.1.1 矩形的性质 第18章 矩形、菱形与正方形 18.1.1 矩形的性质 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，求矩形的周长、∠A的度数及CD、AD的长度（结合矩形的性质解答）。 解析：矩形是特殊的平行四边形，兼具平行四边形的性质和自身特殊性质：对边平行且相等，四个角都是直角。∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8cm，BC=AD=6cm，∠A=90°。周长=2×(AB+BC)=2×(8+6)=28cm。答：周长为28cm，∠A=90°，CD=8cm，AD=6cm。 2. 在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10cm，求BD、OA、OB的长度（利用矩形对角线的性质解答）。 解析：矩形的特殊性质：对角线相等且互相平分。∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且对角线互相平分，即OA=OC=½AC，OB=OD=½BD。已知AC=10cm，∴BD=10cm，OA=½×10=5cm，OB=½×10=5cm。答：BD=10cm，OA=5cm，OB=5cm。 3. 已知矩形ABCD中，AB=3x，BC=2x，周长为50cm，求x的值及对角线AC的长度（结合矩形性质和勾股定理解答）。 解析：矩形对边相等，周长=2×(AB+BC)。列方程：2×(3x+2x)=50，解得x=5。则AB=3×5=15cm，BC=2×5=10cm。矩形四个角为直角，△ABC为直角三角形，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(15²+10²)=5√13 cm。答：x=5，AC=5√13 cm。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，若OA=5cm，OE=3cm，求BE的长度及矩形ABCD的面积（结合矩形性质和勾股定理解答）。 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线相等且互相平分，∴OA=OB=5cm（OA=½AC，OB=½BD，AC=BD）。已知OE=3cm，分两种情况：①点E在OB上，BE=OB-OE=5-3=2cm；②点E在OD上，BE=OB+OE=5+3=8cm。在Rt△AOE中，由勾股定理得AE=√(OA²-OE²)=√(5²-3²)=4cm。矩形面积=2×△ABD的面积=2×(½×BD×AE)=BD×AE=10×4=40cm²。答：BE的长度为2cm或8cm，矩形ABCD的面积为40cm²。 注意：解答本课时题目时，需牢记矩形的核心性质：①矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角线互相平分）；②矩形的特殊性质（四个角都是直角、对角线相等）；解题时灵活运用这些性质，结合勾股定理、方程思想等知识，注意对角线相交后的线段关系，确保计算准确、逻辑严谨。 【动手操作】如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，并轻轻推动，你会发现什么？ A B C D 角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状. 当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形. 平行四边形 矩形 一个角是直角 矩形的定义： 有一个角为直角的平行四边形是矩形（长方形）. 矩形在生活中无处不在. ★矩形是特殊的平行四边形. ★平行四边形不一定是矩形. 作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思 考 A B C D O 提示：可以从边、角、对角线等方面来考虑. 材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 活动 1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 观察猜想 A B C D O 你能证明吗？ 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. 验证猜想 A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B = ∠D，∠C = ∠A，AB // DC. ∴∠B + ∠C = 180°. 又∵∠B = 90°，∴∠C = 90°. ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°， 对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. A B C D O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 归 纳 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 几何语言： 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB. 例 1 如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是 86 cm，矩形的对角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少？ 解 ∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 这四个小三角形周长的和为 86 cm， ∴AB + BC + CD + DA + 2(OA + OB + OC + OD) = AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD) = 86. 又∵AC = BD = 13 (矩形的对角线相等)， ∴AB + BC + CD + DA = 86－2(AC + BD) = 86－4×13 = 34 (cm). 即该矩形的周长是 34 cm. A B C D O 1. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中 AD ＝ 5， AB ＝ 12，则 AC 的长为______. A B D C 5 5 12 13 2. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， ∠AOD ＝ 70°，则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° B 3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与 BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） C A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD 活动 2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ A B C D l1 l2 2 条对称轴 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线. 【选自教材第114页 练习 第1题】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，试找出图中相等的线段和相等的角. A B C D O 解: 相等的线段: AB＝CD，BC＝AD，BD＝AC， OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角: ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB ＝ 90°， ∠OBA ＝∠OAB ＝∠ODC ＝∠OCD， ∠OAD ＝∠ODA ＝∠OBC ＝∠OCB， ∠BOC ＝∠AOD，∠AOB ＝∠COD. 【选自教材第114页 练习 第2题】 2. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°. 求证：AC = 2AB. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC，＝OB ＝OD ＝ BD. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOD ＝120°，∴ ∠AOB ＝180°－∠AOD ＝60°. ∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB ＝OA. ∴ AC ＝2OA＝2AB. A B D C O 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ ∠BAD ＝90°. ∵ ∠BAF ＝60°， ∴ ∠DAF ＝∠BAD－∠BAF ＝90°－60°＝30°. 根据图形折叠的性质， 得∠DAE ＝∠FAE ＝ ∠DAF ＝ ×30°＝15°. 3. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上. 将该矩形沿 AE 折叠，恰好使点 D 落在边 BC 上的点 F 处. 如果∠BAF = 60°， 求∠DAE 的大小. 【选自教材第114页 练习 第3题】 A B C D F E 返回 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线相互平分 C 中考考法 18 返回 2．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，下列结论正确的有(　　) ①AC＝13； 　 ②∠A＋∠C＝180°； ③AC⊥BD； 　 ④AC＝BD． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ B 中考考法 19 返回 D 中考考法 20 返回 4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE∶ ∠CDE＝1∶2，那么∠BDC的度数为________． 30° 中考考法 21 返回 5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若BC＝3，CD＝2，则图中阴影部分的面积为________． 3 中考考法 22 6．[烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图①，△BED即为所 求作的三角形． 中考考法 23 (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 【解】如图②，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝1， AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠ADB＝∠CBD. 中考考法 24 返回 中考考法 25 矩形的相关概念及性质 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形 矩形具有平行四边形的一般性质 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若 ∠AOB＝60°，则＝(　　) A． B． C． D． 由作图可知∠EBD＝∠CBD，∴∠FBD＝∠FDB. ∴FB＝FD. 设AF＝x，则DF＝BF＝2－x，在Rt△ABF中，AB2＋ AF2＝BF2即12＋x2＝(2－x)2，解得x＝. ∴AF＝. $