17.2 第2课时 平行四边形的判定定理3-课件--2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 17.2 第2课时 平行四边形的判定定理3 第17章 平行四边形 17.2 第2课时 平行四边形的判定定理3 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，OA=OC=5cm，OB=OD=4cm，利用平行四边形判定定理3，求证：四边形ABCD是平行四边形。 解析：平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC=5cm，OB=OD=4cm，即点O平分AC和BD，满足“对角线互相平分”的判定条件，因此四边形ABCD是平行四边形。 2. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=16cm，BD=12cm，且O是AC、BD的中点，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。 解析：四边形ABCD是平行四边形。理由：平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。∵O是AC、BD的中点，∴OA=OC=AC÷2=8cm，OB=OD=BD÷2=6cm，即对角线AC与BD互相平分，因此四边形ABCD是平行四边形。 3. 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=4x-3，OC=2x+5，OB=3x，OD=x+4，若四边形ABCD是平行四边形，求x的值及OA、OB的长度。 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，根据判定定理3，对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。可列方程组：\(\begin{cases}4x-3=2x+5 \\ 3x=x+4\end{cases}\)，解得x=4。代入得：OA=OC=4×4-3=13cm，OB=OD=3×4=12cm。答：x=4，OA=13cm，OB=12cm。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，且OB=OD，求证：四边形BEDF是平行四边形。（提示：结合平行四边形判定定理3，利用中点性质解答） 解析：要证明四边形BEDF是平行四边形，可根据判定定理3，证明其对角线互相平分。∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE=½OA，OF=½OC。要使OE=OF，只需证明OA=OC（或结合已知隐含条件推导）。又∵OB=OD，若OE=OF，则四边形BEDF的对角线EF、BD互相平分，因此四边形BEDF是平行四边形。补充推导：若结合图形隐含条件（如AB∥CD），可证△AOB≌△COD，得OA=OC，进而OE=OF，满足判定条件。 注意：解答本课时题目时，需牢记核心判定定理——平行四边形的判定定理3（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；解题时要明确“对角线互相平分”的含义（交点平分两条对角线，即OA=OC、OB=OD），计算时结合方程思想，证明时可搭配中点性质、全等三角形等知识，确保逻辑严谨、步骤清晰。 如图，将两根细木条 AC、BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？ A B D C 动手试一试！ 条件 结论 平行四边形的两条对角线互相平分 逆命题 一个四边形是平行四边形 这个四边形的两条对角线互相平分 一个四边形的两条对角线互相平分 这个四边形是平行四边形 你认为它是一个真命题吗？ 1. 任意作两条相交直线 m、n，记交点为 O; 2. 以点 O 为中心，分别在直线 m、n 上截取 OB 与 OD、OA 与 OC，使 OB = OD， OA = OC，顺次连结所得的四个点. 四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. B D A C O n m 试一试 观察你所作的图形，它是平行四边形吗？ 作一个两条对角线互相平分的四边形. 归 纳 平行四边形的判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵ OA ＝ OC，OB ＝ OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. D A C B O 已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明 ∵OA = OC，OB = OD，∠AOB =∠COD， ∴△AOB ≌△COD， ∴AB = CD. 同理可得 AD = CB. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. D A C B O 例 2 如图，在 □ ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE = CF . 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. B C D A E F 证明 如图，连结 BD，交 AC 于点 O. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD， OA = OC (平行四边形的对角线互相平分). 又∵ AE = CF ， ∴OA – AE = OC – CF，即 OE = OF. ∴四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). O 1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， 且 OA ＝ OC，添加下列条件后，仍无法判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( ) A. AD∥BC B. AB ＝ CD C. OB ＝ OD D. AB∥CD 判定定理 2 判定定理 3 判定定理 2 B 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，BE ⊥ AC， DF ⊥ AC，垂足分别为点 E、F，且 AF ＝ CE，∠BAC ＝∠DCA. 求证: 四边形 ABCD 是平行四边形． 证明: ∵AF ＝ CE， ∴AF －EF ＝ CE －EF，即 AE ＝ CF． ∵BE ⊥ AC，DF ⊥ AC， ∴∠AEB ＝ ∠CFD ＝ 90°． 在△ABE 和△CDF 中， ∵∠BAE ＝ ∠DCF，AE ＝ CF，∠AEB ＝∠CFD， ∴△ABE ≌ △CDF (ASA)．∴AB ＝ CD． 又∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 我们知道平行四边形的对角相等，那么反过来，对角相等的四边形是平行四边形吗？请你试着证明. 思 考 D A C B 已知：如图，在四边形 ABCD 中∠A = ∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明 ∵∠A =∠C，∠B =∠D，∠A +∠C +∠B +∠D = 360°， ∴∠A +∠B = 180°. ∴AD∥CB， 同理可得：AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 （平行四边形的定义）. D A C B 归 纳 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. D A C B 几何语言： ∵ ∠A ＝ ∠C，∠B ＝ ∠D， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 1．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图①～③是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 C 返回 中考考法 13 2．如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成的平行四边形有_______个. 4 中考考法 14 【点拨】对图形进行标记如下：①顺次连结EF，FN，NM，ME，如图①，可得四边形EFNM为平行四边形； ②顺次连结AD，DB，BC，CA，如图②，可得四边形ADBC为平行四边形； 中考考法 15 返回 ③顺次连结ED，DN，NC，CE，如图③，可得四边形EDNC为平行四边形；④顺次连结AF，FB，BM，MA，如图④，可得四边形AFBM为平行四边形．综上，可得这些点可以构成4个平行四边形． 中考考法 16 3．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连结EO并延长交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC． 中考考法 17 (1)求证：O是线段AC的中点； 【证明】∵∠AEF＝∠CFE，∴AD∥BC. ∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AO＝CO.∴O是线段AC的中点． 中考考法 18 返回 (2)连结AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形． 中考考法 19 判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考？ 具体有哪些方法？ 平行四边形的判定方法 定义 边 对角线 角 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【解】∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形． $