精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

西南大学附中2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将各题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某扇形的圆心角为2弧度，半径为5，则该扇形的周长为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 35 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 5. 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，，则（） A. B. C. 或 D. 7. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内所对应的点位于第二象限 D. 10. 已知正六边形的边长为2，中心为，动点在正六边形的边上运动，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 的最大值为6 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的值域是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则向量与向量的夹角为______． 13. 中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 14. 已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对边分别为，，，，． （1）若，求的值，以及的面积； （2）若，求． 16. 复数满足：且是实数． （1）求； （2）若不是纯虚数．且在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 17. 如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． （1）若，的角平分线交于点，求线段的长； （2）求的取值范围． 18. 已知向量，．函数． （1）若的最小正周期为，求的单调递增区间： （2）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象对应函数记为．若且为偶函数，求函数在区间上的最值： （3）若函数在区间上没有最值，求的取值范围． 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将各题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某扇形的圆心角为2弧度，半径为5，则该扇形的周长为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】先求出弧长，再求周长， 【详解】设扇形的弧长为， 则， 所以该扇形的周长为. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， 所以. 3. 已知向量，．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出向量和的坐标，再利用两向量平行的坐标关系列方程求解. 【详解】因为，. 所以 ， 因为，所以. 所以. 4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意是方程的另一根， 由，可得， 又， 所以. 5. 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 6. 已知为锐角，，则（） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式和二倍角公式，将转化为与相关的形式，再结合为锐角确定符号. 【详解】因为，可得： . 已知，所以. 所以. 解得：. 因为为锐角，即，所以 所以. 7. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，平行于轴方向长度不变，平行于轴方向长度变成原来的一半， 轴与轴所成角为，把直观图转变为原图就是相反过程，如图所示， 在直角梯形中，由于，， 所以，为等腰直角三角形，故 由，，得 ，， 四边形的周长是. 8. 钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内所对应的点位于第二象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】化简复数 选项A：的虚部为，不是，A错误； 选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确； 选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确； 选项D：先求， ， ， ，D正确. 10. 已知正六边形的边长为2，中心为，动点在正六边形的边上运动，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项ACD根据正六边形的性质结合数量积运算律进行求解；选项B根据正六边形的性质结合平面向量线性运算法则进行求解. 【详解】如图所示， 对于A选项，由正六边形的性质可知,所以，A选项正确； 对于B选项，由于四边形为平行四边形，所以，所以，B选项正确； 对于C选项，作于点,如图所示，在上的投影向量为,根据正六边形的性质可知, 所以，，所以，C选项错误； 对于D选项，取中点，由C选项可知, 所以，，那么 由于动点在正六边形的边上运动，故动点到点距离最大值为， , 所以，的最大值为. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性判断A；举反例判断B；将函数写成分段函数，求出其单调区间判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A：， 所以为偶函数，故A正确； 对于B：取， ， 所以不是的周期，故B错误； 对于C：当时，， 此时有， 所以对于时， 所以函数在，，上单调递增； 在，上单调递减． 根据偶函数的性质，函数在上单调递增，故C正确； 对于D，，，，，， 由函数的单调性，奇偶性得，函数值域为，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则向量与向量的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律对进行转化，求出向量与向量的数量积，再计算出夹角. 【详解】由可得，， 即， 所以， 故，又 所以. 13. 中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 【答案】70 【解析】 【详解】图中正四棱台如下图，的中点为,的中点为，连接，过作于， 则,， 故图中正四棱台的体积为：立方米， 图中正三棱柱的体积为： 立方米， 所以该结构的体积为：立方米 14. 已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【详解】令，， 因为，所以， ， 令，所以当时，有最小值3，即，， 因为向量，的夹角为锐角，故，即； 所以， 因为，所以，故的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对边分别为，，，，． （1）若，求的值，以及的面积； （2）若，求． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，再由面积公式计算面积； （2）由正弦定理化边为角求得，再计算出后，由正弦定理求得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以； 所以． 【小问2详解】 因为； 所以，即，所以， 因为，所以，即，所以； 所以由得． 16. 复数满足：且是实数． （1）求； （2）若不是纯虚数．且在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）或． 【解析】 【分析】（1）设复数，由及是实数得到方程，求解得到； （2）根据不是纯虚数确定，计算其共轭复数并整理的实部与虚部，结合第四象限点的坐标特征列不等式组求解的范围. 【小问1详解】 设，则， 又因为 所以，即． 代入，得，即，解得或2． 当时，，； 当时，，． 【小问2详解】 因为不是纯虚数，由（1）可知，所以． 因为在第四象限，所以，解得或． 17. 如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． （1）若，的角平分线交于点，求线段的长； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图： 因为，又，则， 所以． 解得． 【小问2详解】 因为在的延长线上，故， 所以 ， 因为，所以，得， 所以的取值范围为． 18. 已知向量，．函数． （1）若的最小正周期为，求的单调递增区间： （2）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象对应函数记为．若且为偶函数，求函数在区间上的最值： （3）若函数在区间上没有最值，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）最大值2，最小值； （3）. 【解析】 【分析】（1）先通过向量数量积运算，将向量形式转化为三角表达式，再利用二倍角公式、辅助角公式把向量函数转化为标准的余弦型函数，接着结合函数的最小正周期求出参数的值，确定函数的具体形式，最后把看作一个整体，结合余弦函数的单调性列出不等式并求解，得到函数的单调递增区间； （2）先通过平移变换得到的表达式，再利用偶函数的性质求出参数，最后结合余弦函数的单调性确定区间内的最值； （3）先通过换元 ，将原问题转化为余弦函数 在区间 上无最值的问题；再结合余弦函数的单调区间，列出不等式组，求解出参数的取值范围，最终得到答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为的最小正周期为，所以，解得． 所以． 令，解得． 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由题意知： ， 因为是偶函数， 所以，解得， 又因为，所以，，所以 ， 当时，，，即： 所以时，有最大值2， 当时，有最小值-1； 【小问3详解】 因为，可得， 令，则函数在区间上没有最值， 即函数在区间上无最值， 因为函数的单调区间为， 则满足，解得， 因为，所以应满足 ，解得， 所以或． 当时，；当时，， 综上，实数的取值范围是． 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用仿射坐标系等价于直角坐标系的性质，直接对向量进行坐标线性运算求出对应坐标，再由向量模长公式直接算出模的值. （2）先在直角坐标系下写出基底的坐标表示，再依据仿射坐标系向量分解规则把向量转化为直角坐标形式，接着利用向量夹角余弦公式列出等式，化简方程后求解cos并结合题意舍去不合理解，最终求出夹角的值. （3）先在给定基底夹角的直角坐标系中写出两个基底的坐标，用参数表示的坐标，借助余弦定理由得到的约束等式，再利用中点向量公式表示出，展开数量积并化简为含的表达式，接着在三角形中用正弦定理把转化为角的三角函数，通过降幂公式化简，再用辅助角公式整理成正弦型函数，结合的范围求出最大值，最后代回数量积式子算出最大值. 【小问1详解】 仿射坐标系即为直角坐标系，所以， 所以 ； 【小问2详解】 在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 整理得. 解得（舍去）或，所以； 【小问3详解】 在直角坐标系中，，， 设，，，，，即， ， 则，所以， ，分别为，的中点， 则， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， . 其中为锐角，且， 因为，则 ， 故当时，取得最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $