精品解析：重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期中考试数学复习试题

2028届高一下期期中复习卷 一、单选题 1. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，，解得. 2. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】将直观图还原为原图，如图，    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，而， 所以原四边形ABCD中最长边为6. 3. 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为是锐角三角形，所以，且， 所以，其中， 因为在上单调递增， 所以，所以充分性成立； 若，不妨设，满足， 但为直角三角形，故必要性不成立. 4. 若复数z使得为纯虚数，则（ ）. A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可. 【详解】设， 则， 所以，， 即，所以. 故选：B 5. 已知函数，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的周期性化简已知点的函数值，得到一个关于参数的关系式，再将所求点的函数值用同样的周期化简，代入已得关系式求出结果. 【详解】由， 得， 即， 则． 故选：C． 6. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 7. 某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出不同策略对应的学习率公式，当时，分别列出不等式，结合参考数据，计算后，再根据，求得，进而判断两者关系，即可选择. 【详解】根据题意，策略的学习率，策略的学习率； 当时，由题可知：，即，也即， 两边取对数可得：，故，又，故， 又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故； 当时，由题可知：，即，也即， 两边取对数可得：，故， 又，故， 又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故； 故，也即. 故选：A. 8. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 二、多选题 9. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 当为锐角三角形，且时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得. 【详解】对选项A，根据正弦定理，， 因此，即三角形中大边对大角，故，A正确； 对选项B，由，得， 因为，所以，故，结合A的结论得B正确； 对选项C，举反例：取，，，满足条件， 但此时，是钝角三角形，C错误； 对选项D，原不等式等价于： ， 整理得：  利用三角恒等变换得， 因为是锐角三角形，​， 所以原不等式等价于：​. 又因为，所以， 因为函数在单调递增， 因此，原不等式成立，D正确. 11. 如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可直接判断A；建立坐标系，根据数量积的坐标运算可判断B；根据O，C，D三点共线的向量表示可判断C；根据向量的夹角公式求出的表达式，再结合三角函数的范围可求出的范围，进而可求的范围. 【详解】由题意知，，，，，故A错误； 以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，根据对称性，不妨取C在x轴上方，设，则， 则，， ，故B正确； ，， O，C，D三点共线，，即，故C正确； ，， ，， ，，，，， 即，又，， 的最大值为，故D正确. 三、填空题 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径. 外径长为，所以外圆半径 上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分: 上下外圆柱体积+中部正方体体积 = 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为， 所以玉琮的体积为. 14. 已知a为实数，函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，构造函数，可得存在唯一，使得,且即可求解. 【详解】， 令，由于当时，，当时，，且在上单调递增， 则存在唯一，使得，且, 若，则，得，可得． 四、解答题 15. 若函数的最大值为3. （1）求的值及函数的单调递减区间； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先对函数中的三角部分进行化简，根据题意可建立关于的方程，求解得到值 （2）将拆分为或两个不等式，再结合化简后的函数表达式，利用正弦函数的图象与性质分别求解这两个不等式，最后取并集得到解集 【小问1详解】 因为的最大值为3，所以， ，解得， 的单调递减区间为 【小问2详解】 ， 可得或即或， 所以或， 解得或， 所以解集为或. 16. 为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. （1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； （2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案. 【小问1详解】 因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. 【小问2详解】 设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，在外一点满足，如图，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理、三角恒等变换，再结合三角形内角和，将边的关系转化为角的关系化简得，求得； （2）将四边形分解成两个三角形的面积之和，将面积表示为三角函数形式，通过三角恒等变换求四边形面积的最大值即可. 【小问1详解】 （1）由， 由余弦定理得：， 即， 由正弦定理得：， 即， 又， 所以， 故， 又，所以， 又，所以，所以， 即． 【小问2详解】 因为，且， 所以为等边三角形． 设， 在中，由余弦定理得，， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 18. 在梯形ABCD中，，，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系，根据已知表示出，再结合共线列方程求出的坐标，由向量的模的公式直接计算可得；（ⅰⅰ）利用坐标表示出目标式，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点， 又，，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以， 所以， （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ， 由二次函数性质可知，当时取得最小值. 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可； （2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解. 【小问1详解】 该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积. 【小问2详解】 ①由图可知：，， 在梯形中，由，，易知，故， 则， 所以； ②由①可知：， 即， 令，则，上式即为， 又令，，则， 当时，，当时，， 当时， ， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一下期期中复习卷 一、单选题 1. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 3. 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若复数z使得为纯虚数，则（ ）. A. B. 2 C. D. 4 5. 已知函数，，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 7. 某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 当为锐角三角形，且时， 11. 如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 的最大值为 三、填空题 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 14. 已知a为实数，函数，若，则______． 四、解答题 15. 若函数的最大值为3. （1）求的值及函数的单调递减区间； （2）求不等式的解集. 16. 为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. （1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； （2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，在外一点满足，如图，求四边形面积的最大值． 18. 在梯形ABCD中，，，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $