7.2.2复数的乘、除运算 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 7.2.2《复数的乘、除运算》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“复数”主题，学生应能够：掌握复数代数形式的乘、除运算法则，理解复数乘法的运算律，能在复数范围内求解实系数一元二次方程. 课标分析： 本节课是复数运算的核心内容之一.课标强调“掌握”和“理解”，教学中应类比多项式的乘法，引导学生通过多项式乘法规则归纳出复数乘法法则，并验证交换律、结合律、分配律的成立.复数除法通过“分子分母同乘分母的共轭复数”转化为乘法，是复数运算的难点，需要强调共轭复数的性质（ 为实数）.此外，实系数一元二次方程在判别式小于0时的求根公式是复数应用的重要体现，可帮助学生体会复数集的完备性.本节课对培养数学运算、逻辑推理核心素养具有重要意义. 2、 教材分析 “复数的乘、除运算”是人教A版必修第二册第七章第2.2节内容.教材在加减运算的基础上，类比多项式乘法给出复数乘法的法则：，并指出乘法满足交换律、结合律和分配律.然后引入共轭复数，利用 将复数除法转化为乘法：.教材通过例题和练习，让学生熟练掌握乘除运算，并扩展到在复数范围内解实系数一元二次方程.本节内容是复数运算的完备，为后续复数的三角形式、复数在几何和代数中的应用打下基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了复数的概念、几何意义以及加减运算，对复数的代数形式 及其实部虚部有了清晰认识.同时，学生对多项式的乘法非常熟练，这为复数乘法的学习提供了良好的类比基础.但是，复数乘法中 的代入容易出错，特别是符号处理（如 中的负号）.复数除法中分母含虚数时的“共轭化”是全新的操作，学生可能不理解为什么要这样做.此外，在解实系数一元二次方程时，对虚数单位 的接受度以及求根公式中根号内负数的处理需要重点训练.教师应通过具体计算、对比和反复练习，帮助学生形成规范的计算步骤. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从多项式乘法抽象出复数乘法法则，体会代数运算的形式化推广. 1. 逻辑推理素养：能验证复数乘法满足交换律、结合律和分配律，能利用共轭复数性质推导除法法则. 1. 数学运算素养：能熟练进行复数的乘法和除法运算，能利用共轭复数简化计算，能在复数范围内解实系数一元二次方程. 1. 直观想象素养：理解共轭复数的几何意义（关于实轴对称），并能利用模长公式帮助计算. 1. 数学建模素养：能将被除数与除数的关系转化为复数除法模型，解决实际问题中的复数比例计算. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：复数乘法的法则及运算律；复数除法的法则（利用共轭复数）；在复数范围内解实系数一元二次方程. 1. 难点：复数乘法中 的代入与符号处理；复数除法中分母有理化（共轭化）步骤；判别式小于0时方程的虚数根. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）复数乘法的运算法则：______. 答案：. （2）复数乘法的运算律：交换律 ______；结合律 ______；分配律 ______. 答案：；；. （3）若 ，则其共轭复数 ______，且 ______. 答案：；（实数）. （4）复数除法的法则：______（用公式填空）. 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并强调乘法公式的记忆和除法中分母实数化的原理. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 两个多项式如何相乘？例如 等于什么？ 学生回答：. 追问：如果把 看作实部， 看作虚部，但虚数单位 满足 ，那么两个复数相乘应该怎样计算？ 2. 引入课题. 环节三：合作探究 1. 复数乘法的法则与运算律（5分钟） 类比多项式乘法：. 因为 ，所以原式 . 教师总结：复数乘法与多项式乘法步骤相同，只需最后把 换成 并合并实部虚部. 验证运算律（简要说明）： 交换律：由乘法定义可验证 . 结合律、分配律均成立. 例：计算 . 2. 共轭复数的性质（3分钟） 定义：若 ，则 . 性质：（实数）. 几何意义：点关于实轴对称. 利用共轭可以将除法转化为乘法：. 3. 复数的除法（5分钟） 推导：. 步骤：① 写成分数形式；② 分子分母同乘分母的共轭复数；③ 计算分子乘法，分母化为实数；④ 分离实部虚部. 例：计算 . 解：. 4. 在复数范围内解实系数一元二次方程（2分钟） 对于实系数方程 ，当判别式 时，方程在实数范围内无解，但在复数范围内有解，解为 . 例：解 ，得 . 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：计算下列复数的乘积： （1）； （2）； （3）； （4）. 解： （1）. （2）. （3）. （4）（实数）. 例2：计算下列复数的除法： （1）； （2）. 解： （1）. （2）（或 ）. 例3：在复数范围内解方程 . 解：判别式 ，所以 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：关于复数乘除运算，下列说法正确的是（ ） A. 复数乘法满足交换律、结合律和分配律 B. 两个共轭复数的乘积是实数 C. 若 ，则 D. 对于任意复数 ，有 答案：A、B、C、D（全部正确）. 例5：已知 ，求 ，，并计算 . 解：. . ，而 ，验证成立. 例6：已知 ，，求 及 . 解：. （也可直接模公式验证）. 例7：若复数 满足 ，求 . 解：. 例8：已知 是实系数一元二次方程 的一个根，求实数 的值. 解：实系数方程虚根成对出现，所以另一个根为 . 由韦达定理：， . 所以 .. 小试牛刀： 一、单选题 1．在复平面内，复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．已知复数，求=_______ 四、解答题 5．设复数． (1)若，求、的值． (2)若与复数是互为共轭复数，求. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 复数乘法的法则及运算律. (2) 共轭复数的定义及其在除法中的作用（分母实数化）. (3) 复数除法的步骤. (4) 实系数一元二次方程在判别式小于0时的求根公式. 2. 教师强调： (1) 乘法中注意 的代入，合并实部虚部. (2) 除法时分子分母同乘分母的共轭复数，分母化为实数. (3) 实系数方程的虚根成对出现（互为共轭）. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第80页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《复数的乘、除运算》. 1. 拓展作业： (1) 在复数范围内解方程 ，并验证两根互为共轭. 1. 预习引导： 预习下一节“复数的三角形式”，思考如何用极坐标表示复数. 授课人个案修改记录： 本节课通过类比多项式乘法，学生容易掌握复数乘法的法则，但在计算中个别学生仍会漏掉 的符号，需要多练.除法的关键步骤是“分母实数化”，学生理解共轭的作用后，计算正确率明显提高.在解实系数二次方程时，学生能够接受虚数单位，并运用求根公式.练习中设计了基本运算、共轭验证、解方程和综合应用，覆盖面广.不足之处：部分学生对复数除法中分子的计算容易出错，可强化分配律练习.整体上，本节课达到了教学目标. 学科网（北京）股份有限公司 $