7.2.2 复数的乘、除运算 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦复数乘除法运算，通过复习复数加减法类比多项式运算引入，引导学生以多项式乘法为支架探究复数乘法法则，承接复数概念与加减运算，为后续学习几何意义等奠定基础。 本设计亮点在于以类比迁移和探究式学习为主线，通过多项式乘法类比推导复数乘法法则，结合i²=-1深化理解，除法运算突出共轭复数分母实数化，培养数学运算与逻辑推理素养。师生互动问答引导意义建构，助力学生提升代数推理能力，为教师提供结构化教学方案。

7.2.2 复数的乘、除运算教学设计 教材分析 本节课介绍了复数的乘法与除法运算规则，通过代数推导得出及复数除法的化简方法，强调运算中的应用和共轭复数在分母实数化中的作用。教学过程可从复习实数运算类比引入，引导学生自主探究复数运算法则。本节内容承接复数的概念与加减运算，是复数代数形式运算的延续，为后续学习复数的几何意义、三角形式及在方程求解中的应用打下基础。通过运算训练，提升学生的代数推理能力和符号操作能力，强化类比思想与结构意识，有助于理解更广泛的数系扩展与运算一致性。 学情分析 针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已掌握实数的四则运算、多项式的乘法运算以及共轭根式等相关知识，并在之前学习了复数的基本概念、代数形式及其加减运算，具备了一定的代数运算基础，同时对这一基本性质已有明确认识；高中生正处于逻辑思维迅速发展的阶段，具备一定的抽象概括能力和类比推理能力，能够通过已有知识迁移理解新的运算法则，但在处理虚数单位参与的混合运算时仍容易出现符号或概念混淆；本节课要求学生掌握复数乘除法的运算法则，理解其代数推导过程，特别是通过分母实数化实现复数除法的转化思想，有助于提升学生的代数运算能力与数学化归意识，进一步完善复数域内的运算体系。 教学目标 1. 理解复数乘法的运算法则，能够准确运用进行计算，达到数学运算核心素养水平一的要求。 2. 掌握复数乘法的交换律、结合律和分配律，能够运用这些运算律简化复数运算过程，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。 3. 理解复数除法的运算原理，能够通过有理化分母的方法完成复数除法运算，达到数学运算核心素养水平二的要求。 4. 能够将复数乘法与多项式乘法进行类比，理解复数运算与实数运算的联系与区别，达到数学抽象核心素养水平二的要求。 重点难点 教学重点：复数乘法的运算法则及其运算律，复数除法的定义与化简方法。 教学难点：复数除法中分母实数化的原理，共轭复数在运算中的应用。 课堂导入 同学们，之前我们学习了复数的加减法，其运算规则与多项式的加减法类似。今天，我们来探讨复数的乘除法运算。大家回想一下，多项式的乘法是如何展开的呢？比如，我们会用分配律展开。那么对于复数，，它们的乘法运算是否也能借鉴多项式乘法的思路呢？又会有哪些不同呢？同样，对于除法运算，我们知道实数除法有相应规则，那复数除法又该怎么进行呢？带着这些疑问，让我们一起走进今天的课堂——复数的乘除法运算。 复数的乘法运算 探究新知 （一）知识精讲 复数的乘法运算是复数代数运算中的基本内容之一。设两个复数分别为 和 ，其中 ，则它们的积按照如下法则进行计算： 由于 ，将上式中的 替换为 ，得 因此，两个复数相乘的结果是一个确定的复数，其实部为 ，虚部为 。这一过程与多项式乘法类似，只需在展开后合并同类项，并将 换成 即可完成运算。 从运算结构上看，复数的乘法满足三条基本运算律： 交换律：； 结合律：； 分配律：。 这些运算律对任意复数 都成立，说明复数集在乘法和加法下保持良好的代数结构。 特别地，当两个复数都是实数时，即 ，则 ，其乘积为 ，与实数乘法一致。这表明复数乘法是实数乘法的自然推广。 （二）师生互动 教师：我们已经知道复数乘法类似于多项式乘法，那请大家思考一下，为什么在计算过程中要把 替换成 ？这个操作背后的依据是什么？ 学生：因为 是虚数单位，定义就是 ，所以必须替换。 教师：很好。那么再想一想，如果我们不替换 ，而是保留它，结果还能算是一个标准形式的复数吗？ 学生：不能，因为标准形式要求写成 的形式，而含有 就不再是关于 的一次式了。 教师：非常正确。接下来，请大家尝试计算 ，并观察结果有什么特点？ 学生：，结果是一个纯虚数。 教师：不错。这说明两个非零复数相乘，结果可能落在实轴或虚轴上，这和实数乘法有什么不同？ 学生：实数相乘，正数乘正数还是正数，不会变成负数或者零（除非有零），但复数乘法可以“转”到不同的方向上去。 教师：正是如此，复数乘法不仅改变大小，还可能改变方向，这是它比实数乘法更丰富的几何意义所在。 （三）设计意图 通过引导学生回顾多项式乘法并结合虚数单位的定义展开复数乘法运算，帮助学生理解复数乘法的代数结构及其与实数运算的一致性，达成对复数乘法法则的知识建构目标。在推导过程中强调 的关键作用，培养学生严谨的代数推理能力，提升符号运算的规范意识。借助师生之间的递进式问答，促使学生从机械运算走向意义理解，发展其批判性思维和概念辨析能力。整个学习过程以已有知识为基础，通过类比迁移实现新知的自主建构，体现“做中学”的探究式学习方式。同时，在讨论运算结果的方向变化时，初步渗透复数的几何直观，引导学生体会数学运算背后的结构美与统一性，增强对数学本质的理解和兴趣，体现数学学科的科学价值与思维价值。 新知应用 例3题目： 计算。 解答： 我们按照复数乘法的运算法则，从左到右依次进行计算。 第一步：先计算前两个复数的积 注意到 ，所以： 第二步：将结果与第三个复数相乘 再次使用 ： 因此，原式的结果为： 例4题目： 计算： (1) (2) 解答： (1) 计算 这个形式是共轭复数相乘，可以看作平方差公式： 代入 ： (2) 计算 使用完全平方公式展开： 代入 ： 新知巩固 题目： 已知集合，且，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 解答： 我们已知： 集合 集合 说明：集合 和 的公共元素只有 。 观察集合 中的两个元素：一个是实数 ，另一个是复数 。 而集合 中的元素是 和 ，都是实数。 由于 ，说明 是 中的一个元素。 但 ，所以 ，因此 中能属于 的只能是另一个元素：。 所以必须有： 接下来解这个方程求 ： 对分母进行有理化（乘以共轭复数）： 所以 接下来计算 先求 ： 因为 ，所以 计算： 再求模： 所以答案为： 对应选项 C。 复数的除法运算 探究新知 （一）知识精讲 复数的除法运算是复数代数运算中的重要内容。对于两个复数 和 （其中 ，且 ），它们的商定义为： 为了计算这个商，通常采用“分母实数化”的方法。具体做法是将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 ，使得分母变为实数。这一过程如下所示： 接下来对分子进行乘法运算： 因此，原式可化为： 于是得到复数除法的运算法则： 该结果表明，两个复数相除（除数不为零），所得的商仍是一个复数，其实部和虚部分别由上述公式确定。这里的关键步骤是利用共轭复数 作为“实数化因式”，使分母转化为实数 ，从而实现除法运算的简化。 如图所示，在复平面上，复数 与其共轭复数 关于实轴对称，二者相乘的结果为非负实数 ，这为分母实数化提供了几何与代数上的依据。 （二）师生互动 教师提问：我们为什么要将分子和分母同时乘以分母的共轭复数？直接相除是否可行？ 学生思考后回答：因为复数不能直接作除法运算，尤其是当分母为虚数时无法确定商的形式；通过乘以共轭复数可以将分母变为实数，从而使整个分式变成一个标准的复数形式。 教师进一步引导：那么，如果分母已经是实数或纯虚数，还需要这样做吗？ 学生分析：若分母是实数，如 ，则 ，无需共轭；若分母是纯虚数，如 ，则 ，仍然可以通过乘以其共轭（即 ）完成实数化。因此，统一使用共轭复数的方法具有普适性。 （三）设计意图 通过引导学生理解复数除法中“分母实数化”的必要性和操作路径，帮助学生掌握复数代数运算的基本规则，达成对复数除法运算法则的认知目标；在推导过程中强化对共轭复数作用的理解，提升学生的代数变形能力和逻辑推理能力；采用从具体运算出发、结合师生问答的方式，促使学生主动参与知识建构，培养其基于已有知识进行类比迁移的学习方式；通过对运算原理的剖析，渗透“化未知为已知”“化复为实”的数学思想，引导学生体会数学运算设计的合理性与结构性，形成严谨的科学态度和对数学内在美的初步感知。 新知应用 【教材例题】中未提供具体的例题内容（如例1、例2等），仅给出了复数除法运算的法则说明与一般性推导过程，无具体数值运算题目或图示应用题。根据任务规则： 若无例题，则不生成任何内容。 因此，不生成任何内容。 新知巩固 题目： 已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，求复数 的值。 解答： 我们从题目给出的等式出发： 第一步：利用分式的基本性质进行变形 将左边的分式拆开： 所以原方程变为： 第二步：移项，解出 将 1 移到右边： 即： 第三步：解出 两边同时取倒数（注意：不能直接对复数倒数操作，应先整理）： 我们可以两边同时乘以 ，消去分母： 现在解这个方程求 ，只需两边同时除以 ： 第四步：进行复数除法运算——分子分母同乘以分母的共轭复数 分母是 ，它的共轭复数是 于是： 第五步：分别计算分子和分母 先算分母（平方差公式）： 再算分子： 即分子为： 所以： 第六步：写出答案 因此， 对应选项 A。 板书设计 复数的乘法与除法运算 乘法法则 定义： 运算类比：类似多项式相乘， 结果：积为复数，实部与虚部分别合并 运算律（对任意） 交换律： 结合律： 分配律： 除法法则 定义：（） 运算步骤 写成分数形式： 分子分母同乘共轭复数：，实现分母实数化 关键思想：利用共轭复数作为“实数化因式” 教学反思 本教学设计先规定复数乘法法则，类比多项式相乘得出运算方法，介绍乘法运算律；后给出复数除法法则，讲解通过乘分母共轭复数使分母“实数化”的运算方式。本课程基本完成教学任务，多数学生能掌握复数乘除法运算。成功之处在于借助类比，让学生易理解运算规则，同时强调运算步骤，利于学生实践操作。不足之处在于，对于复数乘除法运算律的推导过程，引导不足，部分学生理解不够深入；在讲解除法分母“实数化”时，未充分联系共轭复数概念，使学生对其原理认识不够清晰。 学科网（北京）股份有限公司 $