7.2离散型随机变量分布列（知识清单+10题型突破）题型全归纳讲义-2025～2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

离散型随机变量分布列题型全归纳 讲义 核心知识清单 满分答题模板 题型探究： 【题型 1：基础普通型】 【题型 2：摸球与抽样型】 【题型 3：游戏与闯关型】 【题型 4：单人测试 / 比赛型】 【题型 5：赛制对决型】 【题型 6：商品利润与保险型】 【题型 7：药物检测与混检型】 【题型 8：统计图表综合型】 【题型9：概率与导数综合型】 【题型 10：概率递推（马尔可夫）型】 高频易错归纳 离散型随机变量分布列题型归纳 ( 核心知识清单 ) 一、基本概念 1、随机变量 随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 表示。 2、离散型随机变量 所有可能取值能一一列举出来的随机变量。 例如：取球个数、答题对题数、比赛局数、得分等。 二、分布列 1、定义 设离散型随机变量 的所有可能取值为 ， 取每一个值 的概率为 ，则表格 称为离散型随机变量 的概率分布列，简称分布列。 2、两条基本性质 ① （概率非负） ② 3、分布列的作用 完整刻画随机变量的统计规律，是求期望、方差的基础。 三、数学期望（均值） 1、定义 2、意义 反映随机变量取值的平均水平。 3、期望的线性性质 （ 为常数） 四、方差与标准差 1、方差定义 2、标准差 ，与原变量单位一致。 3、意义 反映随机变量取值相对于均值的稳定与波动程度。 方差越小，取值越集中、越稳定；方差越大，越分散、波动越大。 4、方差的线性性质 五、三大常见分布（高考必考） 1、 两点分布（0-1 分布） 试验只有两种结果：成功 / 失败 ① 取值： ② ③ ④ 2.、二项分布 次独立重复试验，每次成功概率 记法： 概率公式： 期望： 方差： 判定：有放回、独立、同一概率、次数固定。 3. 超几何分布 总体 个，其中次品 个，不放回抽取 个，抽到次品数 概率公式： 期望： 判定：不放回抽样、总体数量有限、两类对象。 ( 满分答题模板 ) 所有分布列题目，严格按这 4 步写，满分不丢步骤分 步骤 1：定取值 写出随机变量 的所有可能取值，不重不漏。 格式：由题意，随机变量 的所有可能取值为 步骤 2：算概率 分别计算 取每一个值时的概率 。 依据：古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率、组合数等。 步骤 3：写分布列 列表写出分布列，并验证概率和为 1。 步骤 4：求期望 / 方差 代入公式计算 ，若求方差再算 。 ( 题型探究 ) 【题型 1：基础普通型】 【题型特征】无特殊规则、无复杂背景，直接求概率、分布列、期望 【典型例题】 【典例】（2026•宝鸡校级模拟）通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46、5.77、8.79、11.62、8.13 物理 9.02、9.43、8.68、15.15、10.49、7.93 化学 6.31、14.50、5.98、7.08 生物 7.96、8.78、15.25、10.94、10.03、8.37、9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 【通关狂练】 1．（2026春•铜山区期中）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史．湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某绣坊准备制作A，B，C三幅不同的湘绣作品，已知A，B，C三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为． （1）若已知A，B，C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为A的概率； （2）经过设计图案和刺绣两个环节后，A，B，C三幅作品成为成品作品的件数为X．求随机变量X的分布列及数学期望E（X）． 2．（2026春•丰台区期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40m以上（含9.40m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 3．（2026春•丰台区期中）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道．若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试． （1）记X为李华答对的题目数，求X的分布列及数学期望E（X）； （2）求李华能通过考试的概率． 4．（2026•南宁模拟）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书、两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． （1）已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望E（X）． 5．（2026•通州区模拟）随着人工智能技术的发展，AI智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，AI智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款AI智能体在逻辑推理类任务（A类任务）、交互协作类任务（B类任务）中的实际表现，对A类、B类各500项任务开展测试，测试结果如表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 A类任务 300 200 200 160 B类任务 200 180 300 240 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； （Ⅱ）现使用甲、乙两款智能体完成1项A类任务和2项B类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这3项任务中恰有2项被成功完成的概率； （Ⅲ）某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，A类任务占比，B类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 6．（2026•哈尔滨模拟）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策．政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需．政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴．通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向．调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． （1）求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； （2）求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； （3）若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）． 7．（2026春•温州月考）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有5个大小、形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个．顾客从中一次性抽取2个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． （1）求一位顾客获得纪念品的概率； （2）若某家庭3个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为Y，求Y的分布列与数学期望． 【题型 2：摸球与抽样型】 【题型特征】不放回取球、口袋抽卡、抽样调查、次品检验、编号抽取 【典型例题】 【典例】（2026春•大连校级期中）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个．小松一次性从袋子中随机摸出3个小球． （1）求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； （2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列． 【通关狂练】 1．（2026•淮北模拟）已知袋子中共有N个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有n（n＞1）个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是红球的概率； （2）若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； （3）记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，E（X）是X的数学期望，证明：． 2．（2026•郑州模拟）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到n的n张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券r次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为X． （1）当n＝3，r＝2时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若n＝4，r＝m． ①求最终拿到标号不大于k（1≤k≤4）的奖券的概率； ②求随机变量X的期望E（X）（用m表示）． （3）当r＝n时，证明：． 3．（2026春•长春校级月考）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排． （1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列； （3）求X的期望和方差． 4．（2026•双塔区校级模拟）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有i号的小球有i个（i＝1，2，…，n且n∈N+），标有0号的小球有n+1个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取2个球． （1）当n＝4时，求取出的两个小球标号之和为4的概率； （2）当n＝3时，记X为取出的两个小球标号之差的绝对值，求X的分布列和数学期望． 5．（2026•唐县校级二模）已知正六边形的边长为2，中心为O，现从该正六边形的所有顶点中任取两个不同的顶点M，N，记随机变量X为的值． （1）求P（X＞0）； （2）求X的分布列与数学期望． 6．（2026•湖南模拟）设整数m，n满足n≥m≥2，从集合{1，2，⋯，n}中随机选取m个不同的元素，记这m个元素中最大的为X，最小的为Y． （1）当n＝4，m＝2时，求E（Y）； （2）证明：； （3）设Z＝X﹣Y，用m，n表示E（Z）． 7．（2026春•南京期中）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的1个红球和1个白球． （1）取出五个盒子，分别编号为1，2，3，4，5， 第一步，把3号盒子里的两个球放入1号盒子，把4号盒子里的两个球放入2号盒子，把5号盒子中的红球放入1号盒子，白球放入2号盒子； 第二步，从1号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入2号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回1号盒子中； 第三步，从2号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从1号盒子里摸出的两个球是放入2号盒子中，还是放回1号盒子中，哪种可能性更大呢？ （2）取出n（n≥2，n∈N）个盒子，重新编号，依次为1，2，3，…，n， 从1号盒子里随机摸出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中随机摸出一个球放入3号盒子，重复上述操作，直至从n﹣1号盒子中随机摸出一个球放入n号盒子，最后从n号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时n号盒子中红球个数的期望为μ，试比较μ与的大小． 8．（2026•沧州二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同．现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作．重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止． （1）经过2次操作后，记盒子中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． （2）记n次操作后游戏终止的概率为Pn． （i）求Pn关于n的表达式； （ii）求Pn的最大值． 9．（2026春•庐阳区校级月考）如表是一个6×6的数表，其一条对角线上均为1，其余位置均为0． 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 （1）设事件“从数表中任选两格，至少选中一个1”为A，求P（A）； （2）用一个3×3的正方形任意框选数表中的9个格子，记这9个格子中的数字之和为X，求X的分布列与数学期望． 10．（2026•甘肃校级模拟）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色．从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为X0，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过n次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为Xn． （1）求P（X0＝2）； （2）当X1＝2时，求随机变量X2的分布列和数学期望； （3）求随机变量X1的数学期望． 【题型 3：游戏与闯关型】 【题型特征】闯关、答题顺序、失败清零、奖金累加、满足条件停止 【典型例题】 【典例】（2026•承德一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n次（n≥2且n∈N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得﹣1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到﹣3分，游戏立即结束，无法获奖． 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）． （1）当n＝4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望； （2）当n＝k（k≥2且k∈N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0；若乙同学获奖概率不小于p0，求p的最小值． 【通关狂练】 1．（2026•曹妃甸区校级模拟）一个限时闯关游戏共有A和B两关，挑战者可以任意选择其中一关作为第一关，只有闯过第一关才能挑战第二关．已知挑战者甲能闯过A的概率为，能闯过B的概率为，在闯过A的条件下能闯过B的概率为． （1）求甲在闯过B的条件下能闯过A的概率； （2）第一关挑战失败者记0分，挑战A成功记1分，挑战B成功记2分．若甲等可能地从A和B中选择一关作为第一关，求甲挑战得分X的数学期望E（X）． 2．（2026•厦门模拟）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将n（n＜N*，n≥2）个学生依次编号为1，2，…，n，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至n号从n﹣1号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从n号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，n号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止，求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 3．（2026•丽水模拟）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为n1，n2，n3，…，n150，共计2026枚，即． （1）甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为P（n）．例如：当n＝2时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算P（3），P（4），P（5），P（6）的值； （ⅱ）记，求Sn； （2）丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望E（X）取到最大值，并说明理由． 4．（2026•海南模拟）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动．2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲、乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一、二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞．已知甲、乙闯过第一关的概率分别为0.8，0.7，闯过第二关的概率分别为0.5，0.6，这支队伍闯过第三关的概率为0.5．活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关． （1）请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲、乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； （2）以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为X，求X的分布列与期望． 5．（2026•邗江区校级模拟）人工智能快速发展，给我们的生活带来极大的便利.2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下： ①每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值； ②第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出．若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半； ③答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品．同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为p（0.4＜p＜0.7）． （1）若p＝0.5． ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为X，求X的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 6．（2026•嘉峪关校级模拟）在新高考的数学试卷中，有4道题为多项选择题，在每个试题所给的4个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分． （1）若某两个多项选择题中分别有2个和3个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否符合题目要求．他每个题均随机选取了2项，记他这两题的总得分为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （2）若某个多项选择题所给的四个选项中有3个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从得分均值的角度分析，你是否再随机选取1个或2个选项作为答题结果？请说明理由． 7．（2025春•武汉月考）AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，． （1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率； （2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束． ①求获得“优惠券”的概率； ②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值． 【题型 4：单人测试 / 比赛型】 【题型特征】一人独立完成多次测试、投篮、射击、答题、打分 【典型例题】 【典例】（2026•滁州模拟）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为p（0＜p＜1），向左移动的概率为1﹣p．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量ξ． （1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下P（ξ＝1）的值； （2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置ξ的频数分布如下： ξ ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求ξ的平均数； 【通关狂练】 1．（2026•岳阳模拟）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y（单位：人），得到如下样本数据： 天数（序号）x 1 2 3 4 5 每日取件人数y 120 100 80 70 55 （1）计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱（结果保留两位小数）； （2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望． 注：参考数据：． 2．（2026•文县模拟）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，80～90分为良好，70～80分为一般，60～70分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数X的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝65．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．） 3．（2026•应县校级一模）科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率y与注射剂量x之间的关系，测得一组实验数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）如表： 剂量x/mg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 残留率y 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45 （1）根据以上数据计算得样本相关系数r≈0.99，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立y关于x的经验回归方程； （2）当数据（xi，yi）对应的残差的绝对值|yi|＜0.01时，称该数据为“正常数据”．现从这8个实验数据中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求X的分布列及均值． 参考公式：经验回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，；参考数据：，． 【题型 5：赛制对决型】 【题型特征】两人 / 两队比赛、三局两胜、五局三胜、先胜 局结束 【典型例题】 【典例】（2026•模拟）甲、乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为p，且每局比赛的结果相互独立． （1）设，记比赛结束时的场数为X，求X的分布、期望和方差； （2）已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求p的值． 【通关狂练】 1．（2026春•沙坪坝区校级期中）在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”．某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为． （1）求比赛4局决出胜负的概率； （2）求甲获得的奖金X的分布列与数学期望． （3）比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？ 2．（2026•山东模拟）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得﹣1分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得﹣1分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立． （1）在前两个球发完后，求甲共得1分的概率； （2）设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望． 3．（2026•乐山模拟）2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1局者获胜）． （1）当k＝1时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为P（k）． ①求P（1）和P（2）的值，并比较它们的大小，据此说明k＝1和k＝2哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 4．（2026•浦东新区校级模拟）某体育俱乐部每月举行会员挑战赛，挑战赛由上届比赛前8名和2名从资格赛中获胜的选手参加，具体规则如下： ①每场比赛由2人对决，只有胜负，没有平局； ②挑战赛分预赛和淘汰赛两个阶段，上届冠亚军不参加预赛，直接进入淘汰赛； ③预赛分两轮，第一轮由8人随机配对比赛，第二轮由第一轮胜者之间随机配对，负者之间随机配对比赛，两轮均负的选手不参加淘汰赛，两轮均胜的选手和上届冠亚军为种子选手； ④淘汰赛的种子选手抽签选择ABCD，其他选手抽签选择abcd，具体赛制由如图确定． 假设所有选手水平接近，每个选手在每场比赛中取胜的概率均为，各场比赛结果相互独立． 回答下列问题： （1）挑战赛共举行多少场比赛？ （2）上届冠亚军再次同时进入决赛的概率是多少？ （3）设从资格赛中获胜的选手甲参加挑战赛的比赛场次为变量X，写出X的分布列并求期望E[X]． 5．（2025秋•晋中期末）甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成14：14后，先多得2分的一方获胜）．甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至14：14． （1）若已知比赛结果为16：14，求这局比赛是乙获胜的概率； （2）求这局比赛甲获胜的概率； （3）记X为这局比赛结束时甲的总发球个数，求X的数学期望E（X）． 【题型 6： 商品利润与保险型】 【题型特征】利润、成本、赔偿、保险、收入、损失、最优决策 【典型例题】 【典例】（2026•大庆模拟）随着deepseek等人工智能大模型的快速发展，某市文创体验馆推出了“AI创意手作”的线下体验项目．为优化运营策略，运营团队统计了过去100天的运营数据，以各客流量等级的日平均收入作为日收入，整理成如下表格： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 30 50 20 日收入（元） 4000 10000 22000 设备发生故障的概率 0.1 0.2 0.4 ①设备发生的故障又分为“轻微故障”和“严重故障”，其中设备发生轻微故障的概率为，发生严重故障的概率为；②若设备无故障，当日收入不变，无维修费用支出；若设备发生轻微故障，当日收入不变，但需支付维修费200元；若设备发生严重故障，当日收入减半，还需支付维修费1000元．已知每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，用频率估计每日的客流量等级的概率． （1）求该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率； （2）设该项目在将来某一日的运营总损失为X元（运营总损失＝维修费+收入损失），求Ⅹ的分布列和均值． 【通关狂练】 1．（2026•长沙模拟）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量、该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n（n≥2，n∈N*）个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望E（X）取最大值时正整数n的值． 2．（2026•校级模拟）某公司为了了解A商品销售收入y（单位：万元）与广告支出x（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为． x 2 5 6 8 9 y 16 20 21 m 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求m的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当R2＞0.9时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好． 3．（2026春•余姚市校级月考）某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修． （1）若发生故障的车床数为X，求X的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润．现该厂准备为该车间招聘k（k＝0，1，2，3）名维修工人，设该车间每月获利的均值为Yk（k＝0，1，2，3）． （i）当k＝1，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值Y1； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数k的值，并说明理由． 【题型 7 ：药物检测与混检型】 【题型特征】血液筛查、核酸混检、分组化验、阳性 / 阴性 【典型例题】 【典例】（2026•贵阳模拟）有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为p（0＜p＜1），若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组k（k∈N*，2≤k≤N）人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若k＝4，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若p＝0.01，每组人数k＝10，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：0.9910≈0.90） 【通关狂练】 1．（2026•晋中模拟）有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A，B，C三类药物．服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2ㅤ5.5ㅤ6.2ㅤ6.5ㅤ6.3ㅤ5.8ㅤ5.4ㅤ6.0ㅤ5.3ㅤ5.8 B 5.5ㅤ6.0ㅤ5.6ㅤ5.0ㅤ5.7ㅤ6.2ㅤ6.4ㅤ5.9ㅤ5.7ㅤ5.1 C 5.1ㅤ4.9ㅤ5.3ㅤ5.2ㅤ5.5ㅤ6.2ㅤ5.7ㅤ5.5ㅤ5.8ㅤ5.6 已知该生理指标正常范围是（3.9，6.1）． （1）从服用A，B，C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； （2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望． 2．（2025秋•8月份月考）某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药．现有n（n∈N*）瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案： 方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测； 方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（n＝mk，m∈Z），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测． 已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X为方案二某小组的检测次数，E（X）为方案二的检测次数的数学期望． （1）记E（X）的最大值为E，求证：； （2）能否认为E（X）＜n恒成立？说明理由，并以此说明方案二的合理性； （3）给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由． 3．（2025秋•永胜县校级月考）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按k人一组平均分成n组，然后将各组k个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为p． （1）当k＝5时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用X表示所需化验次数，求X的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用Y表示所需化验次数，求Y的期望； （2）已知某次“混采检测”的血样总数为20000，p＝2.5%，k≥10，记检验总次数为Z，当E（Z）≤10000时，求k的最大值． （参考公式及数据：，[1﹣tk]ti（n﹣i）k＝1，ln0.975≈﹣0.0253，ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，ln11≈2.3979） 4．（2026•大同一模）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*）且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）． （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2． ①记E（ξ）为随机变量ξ的数学期望．若E（ξ1）＝E（ξ2），运用概率统计的知识，求出p关于k的函数关系式p＝f（k），并写出定义域； ②若p＝1﹣e，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094． 【题型 8：统计图表综合型】 【题型特征】直方图 、折线图、频数表、列联表、数据统计类 【典型例题】 【典例1】（2026春•余姚市校级月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]分组，得到如下的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层抽样的方法在[0，1），[5，6]两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在[0，1）人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）． 【典例2】（2026•河池模拟）《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校120名大学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 15 55 女生 30 35 65 合计 70 50 120 （1）判断在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由； （2）已知在参与问卷调查的大学生中有6名是大一学生，其中4名喜欢《我爱古诗词》．现从这6名大一学生中随机抽取2人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，n＝a+b+c+d（χ2结果精确到0.01）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 χ2 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【通关狂练】 1．（2026•辽宁模拟）第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加．为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分（满分100分），经统计打分全部位于[40，100]内，整理后打分情况如下表所示． 打分区间 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 5 10 35 100 200 150 （1）估计样本数据的第60百分位数； （2）用分层随机抽样的方法从打分位于[80，100]内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记X为打分位于[90，100]的市民人数，求X的分布列和数学期望． 2．（2026•茂名二模）为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表． 成绩区间 [160，170） [170，180） [180，190） [190，200） [200，210） [210，220] 频率 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 （1）计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与E（X）． 3．（2026•重庆校级模拟）某电商对旗下100名客服人员“双十一”当天的订单处理量（单位：千件）进行统计，将所得数据按[155，165），[165，175），[175，185），[185，195]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值及订单处理量的第75百分位数； （2）假设订单处理量在[185，195]的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记X为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望E（X）． 4．（2026•庐阳区校级模拟）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的2×2列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 （1）根据已知条件补全2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； （2）从每周课外阅读时长在[0，2）和[8，10]的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设X表示抽取的2人中每周课外阅读时长在[8，10]的人数，求X的分布列和数学期望． 附：． P（χ2≥k） 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 5．（2026•昌平区一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查．将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （Ⅰ）从该校的男生中任选两人，估计这两人均为“运动不达标”的概率； （Ⅱ）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设X为“运动达标”的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为Y．求使概率P（Y＝k）取得最大值时的k的值．（直接写出结论） 6．（2026•酒泉模拟）某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区100名居民进行调查，得到如下2×2列联表： 支持 不支持 合计 18﹣40岁（青年） 35 15 50 41岁及以上（中老年） 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关； （2）按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈，记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为X，求X的分布列． 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 参考数据： α 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 7．（2026•海东市二模）为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表： 单位：人 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 140 女 20 合计 200 （1）将列联表中数据补充完整，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？ （2）从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望． 附：，n＝a+b+c+d． α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 8．（2026•成都二模）国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质制定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 80 b 150 不爱好运动 c 10 合计 200 （1）求b，c的值，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； （2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2，其中n＝a+b+c+d． α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 9．（2026•镇江校级一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率．现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率小于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻觉率小于1.3%的模型个数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【题型9：概率与导数综合型】 【题型特征】期望含参数、求最值、范围、单调性、最优解 【典型例题】 【典例】（2026•叙州区校级模拟）诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值．某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛． （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰．已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立． （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望． （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出．已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为x（0＜x＜1），3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为f（x），求f（x）的最小值． 【通关狂练】 1．（2026春•忻府区校级月考）甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． （1）求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； （2）若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； （3）若p+q＝1，记比赛结束时答题数为X，求E（X）的最大值． 2．（2026•甘肃模拟）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期T内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为p，分裂成两个新细胞的概率为1﹣p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期T内开始分裂，记n（n∈N*）个周期结束后，细胞的数量为Xn，其中． （1）若，求X2的分布列和数学期望； （2）求P（Xn＝2）； （3）求证：． 3．（2026•南京一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p0，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元．成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． （1）若p0＝0.8，p＝0.5，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r（p）＝0.2+0.4p+0.2p2，记生产商销售一件该商品的期望利润为f（p）（单位：元）．（期望利润＝购买概率×（支付金额的期望﹣商品成本）﹣优惠券成本的期望） （i）求f（p）关于p的函数表达式； （ii）证明：f（p）在[0，1]内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润f（p）最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 4．（2026春•永川区校级同步）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为ζ，求E（ζ）； （2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求X＝5的概率P，并求P的最大值． 【题型 10：概率递推（马尔可夫）型】 【题型特征】状态只跟上一步有关、无记忆性、传球、换球、走楼梯 【典型例题】 【典例】（2026春•仓山区校级期中）某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和.已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为． （1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线A散步的人数为X，求X的分布列和数学期望； （2）若某居民每天都去湿地散步，记他第n天选择路线A的概率为Pn． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 【通关狂练】 1．（2026•蚌埠模拟）某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为0.5，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为0.4、0.6，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为0.4、0.6．经商定，高一篮球队获得首次挑战权． （1）经过3次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）若经过n（n∈N*）次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件An、Bn、∁n． （ⅰ）证明：P（Bn）＝P（∁n）； （ⅱ）证明：当n为偶数时，． 2．（2026•潍坊模拟）在某智能辅助驾驶车道保持系统中，用数轴描述车辆的横向位置：x＝0表示车辆位于车道中心线上，x＞0表示车辆右偏（如x＝2表示车辆位于中心线右侧2个单位），x＜0表示车辆左偏．一辆装有该系统的车辆从初始位置 x＝k（k为整数）出发，每次受扰动后（扰动来自路面、侧风与传感器噪声等），车辆随机向右移动1个单位的概率为p（0＜p＜1），向左移动1个单位的概率为1﹣p． （1）若k＝0，． （i）求车辆经过10次扰动到达x＝6的概率； （ii）已知车辆经过10次扰动恰好首次到达x＝6，求其没有重返过x＝0的概率． （2）若车辆从初始横向位置x＝k（0≤k≤N，N为给定正整数）出发，当车辆的横向位置到达x＝0或x＝N时，一次监测流程结束．记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期望为Ek，求Ek的表达式（用p，N，k表示）． 3．（2026•眉山模拟）为培养学生的晨读习惯，某高校推行“每日晨读打卡”学分制度，学生每日需完成线上打卡，打卡结果分为有效打卡和无效打卡，打卡结果如下： ①学生首日进行晨读打卡时，有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ②若前一日为有效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ③若前一日为无效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为． 记事件An：第n天该学生晨读打卡为有效打卡，P（An）表示事件An发生的概率． （1）求P（A2）的值，并推导P（An）与P（An﹣1）的关系式（n≥2，n∈N*）． （2）记该学生前n天晨读打卡中有效打卡的总次数为Xn，E（Xn）为Xn的数学期望． （i）当n＝2时，求X2的分布列与E（X2）； （ii）对任意n≥2，证明：数列是常数数列，并说明其实际意义． 4．（2026•定安县模拟）小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：从第1天开始晨跑，若第i天晨跑，则他第（i+1）天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第n天晨跑的概率为Pn（1≤n≤30，n∈N）． （1）求P1，P2，P3的值； （2）求数列{Pn}的通项公式； （3）若X，Y都是离散型随机变量，则E（X+Y）＝E（X）+E（Y），记小明前n天晨跑的天数为X，求E（X）． ( 高频易错归纳 ) 【易错点 1：二项分布 vs 超几何分布分不清】 1、二项分布：有放回抽取，或总体极大近似看作放回 每次概率不变，独立重复试验 2、超几何分布：不放回抽取，总体有限 概率会随抽取发生变化 一句话区分： 题目说 “不放回”→超几何； “有放回、独立、大量”→二项。 【易错点 2：赛制题忘记 “最后一局必胜” 】 错误做法：直接算前 局胜 局 正确做法： 比如 “3 局 2 胜，2-1 结束”： 前 2 局 1 胜 1 负，第 3 局必须胜 结论：赛制终止局 = 获胜方必胜局 【易错点 3：分布列概率和忘记验证】 分布列必须满足 算完一定要检查，不等 1 说明概率算错 【易错点 4：条件概率顺序写反】 ：在 发生的条件下 发生 公式： 常见错误：把分子分母搞反 【易错点 5：递推题把 “多步历史” 代入】 马尔可夫型：只看当前状态，不看以前怎么走过来的 错误：把前好几步都列出来 正确：只列第 步与第 步的关系 【易错点 6：频率分布直方图把 “纵坐标当频率”】 频率 = 纵坐标 × 组距 求参数 ：所有矩形面积相加 = 1 常见错误：直接用纵坐标相加 【易错点 7：期望线性性质乱用】 正确： 错误：（只有独立才成立） 方差：，系数要平方 【易错点 8：游戏闯关题 “未满足条件继续” 漏情况】 闯关：必须前一关成功才能闯下一关 漏解典型：没闯过第一关却算了第二关得分 做法：逐级判断，逐级写概率 学科网（北京）股份有限公司 $ 离散型随机变量分布列题型全归纳 讲义 核心知识清单 满分答题模板 题型探究： 【题型 1：基础普通型】 【题型 2：摸球与抽样型】 【题型 3：游戏与闯关型】 【题型 4：单人测试 / 比赛型】 【题型 5：赛制对决型】 【题型 6：商品利润与保险型】 【题型 7：药物检测与混检型】 【题型 8：统计图表综合型】 【题型9：概率与导数综合型】 【题型 10：概率递推（马尔可夫）型】 高频易错归纳 离散型随机变量分布列题型归纳 ( 核心知识清单 ) 一、基本概念 1、随机变量 随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 表示。 2、离散型随机变量 所有可能取值能一一列举出来的随机变量。 例如：取球个数、答题对题数、比赛局数、得分等。 二、分布列 1、定义 设离散型随机变量 的所有可能取值为 ， 取每一个值 的概率为 ，则表格 称为离散型随机变量 的概率分布列，简称分布列。 2、两条基本性质 ① （概率非负） ② 3、分布列的作用 完整刻画随机变量的统计规律，是求期望、方差的基础。 三、数学期望（均值） 1、定义 2、意义 反映随机变量取值的平均水平。 3、期望的线性性质 （ 为常数） 四、方差与标准差 1、方差定义 2、标准差 ，与原变量单位一致。 3、意义 反映随机变量取值相对于均值的稳定与波动程度。 方差越小，取值越集中、越稳定；方差越大，越分散、波动越大。 4、方差的线性性质 五、三大常见分布（高考必考） 1、 两点分布（0-1 分布） 试验只有两种结果：成功 / 失败 ① 取值： ② ③ ④ 2.、二项分布 次独立重复试验，每次成功概率 记法： 概率公式： 期望： 方差： 判定：有放回、独立、同一概率、次数固定。 3. 超几何分布 总体 个，其中次品 个，不放回抽取 个，抽到次品数 概率公式： 期望： 判定：不放回抽样、总体数量有限、两类对象。 ( 满分答题模板 ) 所有分布列题目，严格按这 4 步写，满分不丢步骤分 步骤 1：定取值 写出随机变量 的所有可能取值，不重不漏。 格式：由题意，随机变量 的所有可能取值为 步骤 2：算概率 分别计算 取每一个值时的概率 。 依据：古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率、组合数等。 步骤 3：写分布列 列表写出分布列，并验证概率和为 1。 步骤 4：求期望 / 方差 代入公式计算 ，若求方差再算 。 ( 题型探究 ) 【题型 1：基础普通型】 【题型特征】无特殊规则、无复杂背景，直接求概率、分布列、期望 【典型例题】 【典例】（2026•宝鸡校级模拟）通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46、5.77、8.79、11.62、8.13 物理 9.02、9.43、8.68、15.15、10.49、7.93 化学 6.31、14.50、5.98、7.08 生物 7.96、8.78、15.25、10.94、10.03、8.37、9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 【答案】（1）； （2）X的分布列为： X＝k 0 1 2 3 P（X＝k） 数学期望； （3）应选择化学、生物． 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，求出对应的概率可得分布列，进一步结合期望公式求解期望即可； （3）设选取的两科考试“有效”的概率依次为q1，q2，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量Y，Y的所有可能取值为0，1，2，计算出对应的概率，进一步得E（Y）＝q1+q2，故只需所选的两科目在该次考试中模型运行“有效”的概率分别是最大和第二大即可． 【解答】解：（1）因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”， 所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为； （2）根据题意可得X＝0，1，2，3， 在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交， 物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为， 所以， ， ， 所以P（X＝1）＝1， 所以X的分布列为： X＝k 0 1 2 3 P（X＝k） 所以； （3）物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为， 从小到大排列为：， 设选取的两科考试“有效”的概率依次为q1，q2，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量Y， 则Y的所有可能取值为0，1，2， 则P（Y＝0）＝（1﹣q1）（1﹣q2），P（Y＝1）＝q1（1﹣q2）+q2（1﹣q1），P（Y＝2）＝q1q2， 所以E（Y）＝0•（1﹣q1）（1﹣q2）+1•[q1（1﹣q2）+q2（1﹣q1）]+2q1q2＝q1+q2， 所以q1+q2最大即可使Y的期望最大， 而， 故只需令q1+q2＝P2+P3即可， 即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科． 【通关狂练】 1．（2026春•铜山区期中）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史．湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某绣坊准备制作A，B，C三幅不同的湘绣作品，已知A，B，C三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为． （1）若已知A，B，C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为A的概率； （2）经过设计图案和刺绣两个环节后，A，B，C三幅作品成为成品作品的件数为X．求随机变量X的分布列及数学期望E（X）． 【答案】（1）； （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X）． 【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式，以及条件概率公式求解； （2）由题意可知，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，进而得到X 的分布列，再结合期望公式求解即可． 【解答】解：（1）记A，B，C三幅作品通过设计图案环节分别为事件A，B，C，记A，B，C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件D， 则P（D）＝P（A）+P（）+P（）， 所以P（A|D）； （2）记A，B，C三幅作品成为成品的事件分别为E，F，G， 则P（F），， 由题意可知，X可取0，1，2，3， 则P（X＝0）， ， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． 2．（2026春•丰台区期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40m以上（含9.40m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）甲． 【分析】（1）用频率估计概率结合古典概率计算可得； （2）依题意列出X的可能取值，求出对应的分布列，再代入期望公式计算可得； （3）由概率比较可得． 【解答】解：（1）甲以往的10次成绩中有6次获得优秀奖， 则概率； （2）乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为， 丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为； X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P ； （3）由于铅球比赛成绩最远者胜，且甲、丙取得优秀奖的概率相同，均大于乙，但甲的最好成绩高于丙，故甲获得冠军的概率最大． 3．（2026春•丰台区期中）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道．若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试． （1）记X为李华答对的题目数，求X的分布列及数学期望E（X）； （2）求李华能通过考试的概率． 【答案】（1）X的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X）； （2）． 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的求法及期望公式求解即可； （2）利用互斥事件和的概率公式求解． 【解答】解：（1）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道， 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试， 记X为李华答对的题目数，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为； （2）因为至少答对其中2道才能通过考试， 所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况， 这两种情况是互斥的， 由（1）知，，， 所以， 所以李华能通过考试的概率为． 4．（2026•南宁模拟）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书、两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． （1）已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望E（X）． 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可． 【解答】解：（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件A，第二次抽取到有效馆藏图书为事件B， 则，， 所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）随机变量X的值为0，1，2， 则，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 5．（2026•通州区模拟）随着人工智能技术的发展，AI智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，AI智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款AI智能体在逻辑推理类任务（A类任务）、交互协作类任务（B类任务）中的实际表现，对A类、B类各500项任务开展测试，测试结果如表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 A类任务 300 200 200 160 B类任务 200 180 300 240 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； （Ⅱ）现使用甲、乙两款智能体完成1项A类任务和2项B类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这3项任务中恰有2项被成功完成的概率； （Ⅲ）某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，A类任务占比，B类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）智能体甲成功完成任务的概率为0.76，智能体乙成功完成任务的概率为0.8； （Ⅱ）0.306； （Ⅲ）选购智能体甲． 【分析】（Ⅰ）先分别计算甲、乙成功完成任务的频率，再用频率估计概率可得； （Ⅱ）先分别计算甲、乙成功完成A，B类任务的概率，进而可确定A类任务由乙完成，B类任务由甲完成，再结合相互独立事件的概率计算可得； （Ⅲ）分别计算得甲、乙成功任务的期望值的大小，通过期望大小判断可得． 【解答】解：（Ⅰ）智能体乙成功完成总数为 160+240＝400，总测试任务数为 200+300＝500， 因此乙成功完成任务的频率为：， 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为0.8， 智能体甲成功完成总数为 200+180＝380，总测试任务数为 300+200＝500， 因此甲成功完成任务的频率为：， 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为0.76， 所以智能体甲成功完成任务的概率为0.76、智能体乙成功完成任务的概率0.8； （Ⅱ）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成A类：，甲完成B类：； 乙完成A类：，乙完成B类：， 比较概率大小得：P2A＞P1A，P1B＞P2B，由比较可知A类任务乙更擅长，B类任务甲更擅长， 因此分配为：A类由乙完成，2项B类由甲完成， 设“3项任务恰有2项成功”为事件M，分两种互斥情况： ①A类任务成功，仅1个B类任务成功：， ②A类任务失败，2B类任务成功：， 因此：， 所以估计这3项任务中恰有2项被成功完成的概率为0.306； （Ⅲ）因为A类任务占比，B类任务占比， 甲完成A类的概率，甲完成B类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成A类任务的概率，乙完成B类的概率， 所以乙完成任务的期望为， 所以E1＞E2，故该企业应选购智能体甲． 6．（2026•哈尔滨模拟）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策．政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需．政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴．通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向．调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． （1）求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； （2）求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； （3）若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）． 【答案】（1）； （2）X的分布列为： X 0 500 1000 1500 2000 P （3）． 【分析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，根据题意求出P（A），P（AB），利用条件概率的公式求出P（B|A），从而得解； （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为X，写出X的可能取值，分别求出X的每一个可能取值的概率，根据其概率求出X的分布列； （3）分别求出带动家庭可以拿到100元，200元，300元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的奖励． 【解答】解：（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， 通过调查可知，该市有的家庭了解政策， 在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向， 在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向， 则，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为； （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为X， X的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 500 1000 1500 2000 P （3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为： （元）． 7．（2026春•温州月考）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有5个大小、形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个．顾客从中一次性抽取2个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． （1）求一位顾客获得纪念品的概率； （2）若某家庭3个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为Y，求Y的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P E（Y）． 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解； （2）由已知可得，再利用二项分布的概率公式求出相应的概率，得到Y的分布列，利用二项分布的期望公式求出E（Y）即可． 【解答】解：（1）设一位顾客抽到红球的个数为X， 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， ， ， 所以一位顾客获得纪念品的概率为； （2）由已知可得：， 则， 所以P（Y＝0）， P（Y＝1）， P（Y＝2）， P（Y＝3）， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P ． 【题型 2：摸球与抽样型】 【题型特征】不放回取球、口袋抽卡、抽样调查、次品检验、编号抽取 【典型例题】 【典例】（2026春•大连校级期中）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个．小松一次性从袋子中随机摸出3个小球． （1）求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； （2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列． 【分析】（1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率； （2）首先确定X的所有可能取值，然后分别计算X取每个值时的概率，最后根据计算结果列出分布列． 【解答】解：（1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球， 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为； （2）由（1）得， 若X＝1，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则， 则， X的分布列如下： X 1 2 3 P 【通关狂练】 1．（2026•淮北模拟）已知袋子中共有N个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有n（n＞1）个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是红球的概率； （2）若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； （3）记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，E（X）是X的数学期望，证明：． 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合知识，即可得答案． （2）根据全概率公式，分析求解，即可得答案． （3）先取得X的取值，求出每个取值的概率，根据期望公式，即可得证． 【解答】解：（1）袋子中共有N个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有n（n＞1）个， 随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出， 记第二次取出的球是红球为事件A，将n个红球的安排情况作为样本空间， 则样本点总数为， 事件A表示第二次取出红球，则其他n﹣1个红球在剩余的N﹣1个位置中随机安排， 则事件A包含的样本点数为， 则． （2）记最后一次取出的是黄球为事件B，最后一次取出是蓝球为事件C， 显然事件B、C互斥，记红球最先被取完为事件D，则P（D）＝P（BD）+P（CD）， 当事件B发生时，只需考虑取出所有蓝球之前红球被取完， 则， 当事件C发生时，只需考虑取出所有黄球之前红球被取完， 则， 所以． （3）证明：由题意得X的取值为n，（n+1），…，N， 则随机变量X的分布列为， 所以随机变量X的期望 ， 所以． 2．（2026•郑州模拟）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到n的n张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券r次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为X． （1）当n＝3，r＝2时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若n＝4，r＝m． ①求最终拿到标号不大于k（1≤k≤4）的奖券的概率； ②求随机变量X的期望E（X）（用m表示）． （3）当r＝n时，证明：． 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率：P（X＝k）＝P（X≤k）﹣P（X≤k﹣1），计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于k即每次抽取都不超过k，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式． 【解答】解：（1）顾客从中有放回地抽取奖券r次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品， 设最终获得的奖品对应的奖券标号为X．X＝k表示最大标号为k， 等价于所有抽取结果都不超过k，且至少有一次等于k， 则P（X＝3）＝1﹣P（两次都不超过2， P（X＝2）＝P（两次都不超过2）﹣P（两次都不超过1， ∴最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率为． （2）①最终标号不大于k等价于m次抽取的所有结果都不大于k，每次抽到不大于k的概率为， ∴． ②， 随机变量X的期望得： ． （3）证明：， 则随机变量X的期望为： ． 设f（x）＝xn+（1﹣x）n，x∈（0，1），f′（x）＝n[xn﹣1﹣（1﹣x）n﹣1]， 当n＝1时，P（X＝1）＝1，E（X）＝1×1＝1，等号成立； 当n≥2时，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ． 设， ∵， ∴，∴． 综上，． 3．（2026春•长春校级月考）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排． （1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列； （3）求X的期望和方差． 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球； （2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率即可； （3）由X的分布列，即可求出X的期望和方差． 【解答】解：（1）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排， 根据题意，先从3个标号不同的红球中选出2个排在两端，方法数为种， 剩下的3个球排在中间的3个位置，由于这3个球各不相同， ∴方法数为种， 根据分步乘法计数原理，2个白球均不排在两端的所有排法种数为种． （2）根据题意，这5个球的全排列为种， X的可能取值为0，1，2，3， 当X＝0时，即2个白球相邻，先对这2个白球全排列，再把这2个白球看成一个整体，和剩余的3个红球全排列， ∴排法数为种，则， 当X＝1时，即2个白球之间恰有1个红球，先对这2个白球全排列，再从3个红球中选1个红球放在白球中间， 再把这3个球看成一个整体，和剩余的2个红球全排列，因此排法数为种， 则， 当X＝2时，即2个白球之间恰有2个红球，先对这2个白球全排列，再从3个红球中选2个红球放在白球中间， 且这2个红球有顺序，再把这4个球看成一个整体，和剩余的1个红球全排列， 因此排法数为种， 则， 当X＝3时，即2个白球之间恰有3个红球，先对这2个白球全排列，再对中间3个红球全排列， ∴排法数为种， 则， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P （3）， ． 4．（2026•双塔区校级模拟）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有i号的小球有i个（i＝1，2，…，n且n∈N+），标有0号的小球有n+1个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取2个球． （1）当n＝4时，求取出的两个小球标号之和为4的概率； （2）当n＝3时，记X为取出的两个小球标号之差的绝对值，求X的分布列和数学期望． 【分析】（1）借助组合数公式及概率公式计算即可得； （2）得到X的可能取值后，再分别计算出对应概率即可得其分布列，利用分布列即可得其期望． 【解答】解：（1）当n＝4时，盒子中共有5+4+3+2+1＝15个小球， 取出的两个小球标号之和为4的可能有0+4或1+3或2+2三种可能， 设事件A表示取出的两个小球标号之和为4， 则； （2）当n＝3时，盒子中共有4+3+2+1＝10个小球， X的可能取值为0、1、2、3， 则， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则． 5．（2026•唐县校级二模）已知正六边形的边长为2，中心为O，现从该正六边形的所有顶点中任取两个不同的顶点M，N，记随机变量X为的值． （1）求P（X＞0）； （2）求X的分布列与数学期望． 【分析】（1）由向量的数量积大于零可得M，N的位置为相邻，再由古典概率模型计算可得； （2）向量与的夹角的可能值为，进而可得随机变量的取值及概率，从而可得分布列及期望． 【解答】解：（1）因为正六边形边长为2，故顶点到中心的距离|OM|＝|ON|＝2， 从6个顶点任取2个不同顶点，总共有种等可能情况， 因为X（θ为与的夹角）． 所以X＞0等价于cosθ＞0，即， 因为M，N为不同的两个点，所以，即M，N为相邻的两个点，共有6对，如图所示． 所以． （2）因为，所以X的所有可能取值为﹣4，﹣2，2： 当θ＝π（M，N为对顶点），X＝4cosπ＝﹣4，共3种情况， 所以； 当（M，N相隔一个顶点），，共6种情况， 所以； 当（M，N为相邻顶点），，共6种情况， 所以． 所以X的分布列为： X ﹣4 ﹣2 2 P 所以． 6．（2026•湖南模拟）设整数m，n满足n≥m≥2，从集合{1，2，⋯，n}中随机选取m个不同的元素，记这m个元素中最大的为X，最小的为Y． （1）当n＝4，m＝2时，求E（Y）； （2）证明：； （3）设Z＝X﹣Y，用m，n表示E（Z）． 【分析】（1）利用枚举法列出所有可能取法即可求解； （2）先利用古典概型求出X＝k的概率，然后利用期望定义求出E（X），再利用组合数的性质化简即可证明； （3）由对称性对任意X＝k的取法{k，k1，k2，⋯，km﹣1}（k＞k1＞k2＞⋯＞km﹣1）构造新的取法{n+1﹣k，n+1﹣k1，n+1﹣k2，⋯，n+1﹣km﹣1}，此时Y＝n+1﹣k，故P（X＝k）＝P（Y＝n+1﹣k），再结合期望的线性性质即可求解． 【解答】解：（1）整数m，n满足n≥m≥2，从集合{1，2，⋯，n}中随机选取m个不同的元素， 记这m个元素中最大的为X，最小的为Y， 从集合{1，2，3，4}中随机选取2个不同的元素，有种情况， 分别为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}， Y的所有可能取值为1，2，3， ，，， ． （2）证明：从集合{1，2，⋯，n}中随机选取m个不同的元素，有种方法， 要满足X＝k，则需取出元素k，其余（m﹣1）个元素是从小于k的（k﹣1）个元素中选出的， ∴， ， ∵， ∴ ． （3）从集合{1，2，⋯，n}中随机选取m个不同的元素，对每一种满足X＝k的取法， 如取到k，k1，k2，⋯，km﹣1，其中k＞k1＞k2＞⋯＞km﹣1， 构造另一种取法，取到n+1﹣k，n+1﹣k1，n+1﹣k2，⋯，n+1﹣km﹣1，在这种取法中，Y＝n+1﹣k， ∴P（X＝k）＝P（Y＝n+1﹣k）． ∵， ∴， ∴E（Z）＝E（X﹣Y）＝E（X）﹣E（Y）＝2E（X）﹣（n+1） ． 7．（2026春•南京期中）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的1个红球和1个白球． （1）取出五个盒子，分别编号为1，2，3，4，5， 第一步，把3号盒子里的两个球放入1号盒子，把4号盒子里的两个球放入2号盒子，把5号盒子中的红球放入1号盒子，白球放入2号盒子； 第二步，从1号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入2号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回1号盒子中； 第三步，从2号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从1号盒子里摸出的两个球是放入2号盒子中，还是放回1号盒子中，哪种可能性更大呢？ （2）取出n（n≥2，n∈N）个盒子，重新编号，依次为1，2，3，…，n， 从1号盒子里随机摸出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中随机摸出一个球放入3号盒子，重复上述操作，直至从n﹣1号盒子中随机摸出一个球放入n号盒子，最后从n号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时n号盒子中红球个数的期望为μ，试比较μ与的大小． 【分析】（1）先确定第一步结束后1号盒子和2号盒子中红球和白球的数量，然后分别计算3种情况下摸到红球的概率，然后利用全概率公式求解答案即可，利用贝叶斯公式分别计算出第三步摸到的是白球，第二步从1号盒子里摸出的两个球放入2号盒子和放回1号盒子的概率，然后根据概率的大小确定可能性． （2）先通过全概率公式和构造不动点等比数列去确定摸到红球的概率是不变的，然后列出X的分布列并计算期望，再化简和μ比较大小即可． 【解答】解：（1）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的1个红球和1个白球． 取出五个盒子，分别编号为1，2，3，4，5， 第一步：把3号盒子里的两个球放入1号盒子，把4号盒子里的两个球放入2号盒子，把5号盒子中的红球放入1号盒子，白球放入2号盒子， 结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球． ①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件B， 设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件A1，则． 此时2号盒子中有4红3白，． 设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件A2，则． 此时2号盒子中有2红5白，则． 设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件A3，则． 此时2号盒子中有2红3白，则， 则， 故第三步从2号盒子中摸出红球的概率是． ②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则． ． ． ∵最大，所以放回1号盒子的可能性更大． （2）取出n（n≥2，n∈N）个盒子，重新编号，依次为1，2，3，…，n， 从1号盒子里随机摸出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中随机摸出一个球放入3号盒子， 重复上述操作，直至从n﹣1号盒子中随机摸出一个球放入n号盒子，最后从n号盒子中随机摸出一个球丢掉， 记Di＝“从i号盒子中摸出的球为红球”，（1≤i≤n） 所以， 则由全概率公式可得：（2≤i≤n）． 又，∴， ∴， 又，∴，1≤i≤n． 设n号盒子中红球个数为X，可能取值为0，1，2， ，，． ∴． 而． ∴． 8．（2026•沧州二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同．现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作．重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止． （1）经过2次操作后，记盒子中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． （2）记n次操作后游戏终止的概率为Pn． （i）求Pn关于n的表达式； （ii）求Pn的最大值． 【分析】（1）求出X的所有可能取值及每个取值对应的概率，写出分布列，利用数学期望的计算公式求出数学期望； （2）（i）求出事件“第n次摸出红球，前n﹣1次摸球中第k（1≤k≤n﹣1）次摸出红球”的概率，利用等比数列的求和公式求Pn关于n的表达式； （ⅱ）作差，得到Pn﹣Pn﹣1的表达式，判断增减性，进而得到Pn的最大值 【解答】解：（1）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2， 且，P（X＝1），， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望； （2）（i）当 n≥2 时，事件“n次操作后游戏终止”表示第n次摸出红球，前 n﹣1次摸球中恰好有1次摸出红球， 记事件Ak为“第n次摸出红球，前 n﹣1 次摸球中第k（1≤k≤n﹣1）次摸出红球”， 则 所以 ． 当 n＝1时，P1＝0适合上式，所以； （ⅱ）当n≥2时， ， 令Pn﹣Pn﹣1＞0，得， 两边同时乘以30×5n﹣1得，8×3n﹣1﹣3×4n﹣1＞0，所以，即， 当 n＝2，3，4 时上述不等式成立，故P4＞P3＞P2＞P1， 当n＝5时，，因为是减函数，所以当n≥5 时，， 故P4＞P5＞P6＞⋯，所以P4最大，即Pn的最大值为． 9．（2026春•庐阳区校级月考）如表是一个6×6的数表，其一条对角线上均为1，其余位置均为0． 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 （1）设事件“从数表中任选两格，至少选中一个1”为A，求P（A）； （2）用一个3×3的正方形任意框选数表中的9个格子，记这9个格子中的数字之和为X，求X的分布列与数学期望． 【分析】（1）结合古典概率公式即可求解； （2）先判断X的取值情况，求出相应的概率，然后结合分布列及期望公式即可求解． 【解答】解：（1）． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3， 所有可能的取法共有4×4＝16种，， P（X＝1），P（X＝2）， ， 因此X的分布列为： 0 1 2 3 P E（X）＝023． 10．（2026•甘肃校级模拟）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色．从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为X0，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过n次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为Xn． （1）求P（X0＝2）； （2）当X1＝2时，求随机变量X2的分布列和数学期望； （3）求随机变量X1的数学期望． 【分析】（1）应用组合数及古典概型概率求法求概率即可； （2）确定对应X2的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）首先求出X0各可能值对应的概率，再求对应X1可能值的概率，即可求期望． 【解答】解：（1）依题意，； （2）当X1＝2时，若摸出红色卡片，则X2的值为1，若摸出蓝色卡片，则X2的值为3， 所以， 所以X2的分布列为： X2 1 3 P 数学期望为； （3）X0的取值为0，1，2，3， ， ， X1的取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以随机变量X1的数学期望为． 【题型 3：游戏与闯关型】 【题型特征】闯关、答题顺序、失败清零、奖金累加、满足条件停止 【典型例题】 【典例】（2026•承德一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n次（n≥2且n∈N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得﹣1分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到﹣3分，游戏立即结束，无法获奖． 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）． （1）当n＝4时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望； （2）当n＝k（k≥2且k∈N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0；若乙同学获奖概率不小于p0，求p的最小值． 【分析】（1）写出X的取值可能为2，3，4，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出P（Y＝i） 的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记Z表示乙同学的得分，Z＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，计算出对应的概率，根据P（B）≥p0得到不等式，解出即可得到最小值． 【解答】解：（1）由题可知：X的取值可能为2，3，4， ， ， ， 故X的分布列为： X 2 3 4 P 所以； （2）记事件A：甲同学获奖，显然，k≥2， 设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷i（2≤i≤k）次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减：， ， 即， 所以； （3）记Z表示乙同学的得分，Z＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3， 记事件B：乙同学获奖，P（Z＝k）表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率， 显然P（B）＝P（Z＝0），又P（Z＝3）＝1，P（Z＝﹣3）＝0， 由全概率公式知：P（Z＝k）＝p•P（Z＝k+1）+（1﹣p）•P（Z＝k﹣1），k＝﹣2，﹣1，0，1，2， 所以P（Z＝k+1）﹣P（Z＝k）＝（p﹣1）[P（Z＝k）﹣P（Z＝k﹣1）]， 那么P（Z＝3）﹣P（Z＝2）＝（b﹣1）[P（Z＝2）﹣P（Z＝1]＝（b﹣1）[P（Z＝1）﹣P（Z＝0）] ， 即P（Z， 同理：，， ， ， 累加得•P（Z＝﹣2）， 所以•P（Z＝﹣2）， 即•P（Z＝﹣2）＝1，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为p0得：， 由P（B）≥P0，即，解得， 故P的最小值为． 【通关狂练】 1．（2026•曹妃甸区校级模拟）一个限时闯关游戏共有A和B两关，挑战者可以任意选择其中一关作为第一关，只有闯过第一关才能挑战第二关．已知挑战者甲能闯过A的概率为，能闯过B的概率为，在闯过A的条件下能闯过B的概率为． （1）求甲在闯过B的条件下能闯过A的概率； （2）第一关挑战失败者记0分，挑战A成功记1分，挑战B成功记2分．若甲等可能地从A和B中选择一关作为第一关，求甲挑战得分X的数学期望E（X）． 【分析】（1）根据条件概率的公式求得P（AB），进而求得P（A|B）； （2）X的可能取值为0，1，2，3，结合全概率公式等知识来求得正确答案． 【解答】解：（1）已知挑战者甲能闯过A的概率为，能闯过B的概率为，在闯过A的条件下能闯过B的概率为， 则， 所以甲在闯过B的条件下能闯过A的概率为； （2）第一关挑战失败者记0分，挑战A成功记1分，挑战B成功记2分， 若甲等可能地从A和B中选择一关作为第一关， X的可能取值为0，1，2，3，记甲挑战得分为X， ， ， ， ， 所以． 2．（2026•厦门模拟）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将n（n＜N*，n≥2）个学生依次编号为1，2，…，n，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至n号从n﹣1号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从n号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，n号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止，求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 【分析】（1）根据题意，在1号手中放入红卡，取出黑卡满足题意，再求解对于概率即可； （2）先根据全概率公式，建立递推关系，求得对任意j号学生抽取卡片后手中有两张红卡和一张黑卡的概率为，1≤i≤n，再求n号手中红卡个数X的取值及对应概率，并求解期望即可； （3）由题可知，一轮游戏后至少还有k个学生未被淘汰”，其中k＝2，3，…，n，进而结合（2）得一轮后单个学生不淘汰的概率为，根据未被淘汰的人数k二项分布求得，二轮结束后k人中剩1人未被淘汰的概率为：，最后结合组合恒等式，全概率公式求得P（N）即可． 【解答】解：（1）解：记D＝“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡， 所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）记Ai＝“抽取卡片后i号学生手中有两张红卡和一张黑卡”，Bi＝“从i号手中取出的卡为红卡”， 所以，，，， 则由全概率公式可得：P（A）＝P（Ai﹣1）P（Bi﹣1|Ai﹣1）+P（）P（Bi﹣1|）P（Ai﹣1）P（）， 则，故， 又，所以，1≤i≤n， 假设一轮游戏结束后，n号手中红卡个数为X，X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以； （3）由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记Mk＝“一轮游戏后剩k个学生未被淘汰”，其中k＝2，3，…，n， 记N＝“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则N＝M2N+M3N+⋯+MnN， 由（2）知，每个学生i一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率， 两黑的概率， 所以单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为， 故一轮结束后，未被淘汰的人数k服从二项分布， 所以，k＝2，3，…，n， 第二轮结束后，k人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： ， 因为， 因为， 所以， 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 3．（2026•丽水模拟）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为n1，n2，n3，…，n150，共计2026枚，即． （1）甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为P（n）．例如：当n＝2时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算P（3），P（4），P（5），P（6）的值； （ⅱ）记，求Sn； （2）丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望E（X）取到最大值，并说明理由． 【分析】（1）（ⅰ） 根据古典概型计算求解；（ⅱ）分为两种情况应用得出通项公式结合错位相减法计算求解； （2）先应用数学期望公式计算，再构造函数，结合组合数的性质计算求解． 【解答】解：（1）（ⅰ）P（3）＝0，，，； （ⅱ）①甲得2分，乙得0分，“反面向上”是成对出现的，所以n必须为偶数，设n＝2k（k∈N*）， 第2k次是“正”，前2k﹣1次可以看成k﹣1组“反+反”与1次“正”的组合，则； ②甲得2分，乙得1分，此时最后一次是“正”， 乙得1分必须有“反+正+反”的组合，若干组“反+反”组合，还有1次“正”， 所以n必须是奇数，设n＝2k+1（k≥2，k∈N*）． 此时前2k次可看成1次“正”，1次“反+正+反”，k﹣2组“反+反”的组合，，且P（1）＝P（3）＝0； 则． ①， ②， ①﹣②可得， 进一步整理可以求得‘’ （2）记150种不同质地的铜币1，2，…，150数量为n1，n2，…，n150， 记，所以X＝X1+X2+⋯+X150， 所以 ， 记， 假设 铜币 1 2 3 … 150 备注 数量 n1 n2 n3 … n150 n2﹣n1≥2 调整 n1+1 n2﹣1 n3 … n150 Δ＝f（n1+1，n2﹣1，n3，⋯，n150）﹣f（n1，n2，n3，⋯，n150） 则， 令，易知{an}单调递减，n2﹣n1≥2，所以n2﹣（n1+1）≥1＞0， 所以， 综上所述：只要n1，n2，…，n150中有两个数之差大于等于2，一定能找到n1′，n2′，…，n150′， 使得f（n1′，n2′⋯，n150′）＜f（n1，n2⋯，n150），所以n1，n2，…n150任意两数之差不超过1， 故其中76种铜币各有14枚，74种铜币各有13枚时，E（X）取得最大值． 4．（2026•海南模拟）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动．2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲、乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一、二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞．已知甲、乙闯过第一关的概率分别为0.8，0.7，闯过第二关的概率分别为0.5，0.6，这支队伍闯过第三关的概率为0.5．活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关． （1）请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲、乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； （2）以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为X，求X的分布列与期望． 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解； （2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解． 【解答】解：（1）若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为0.7×0.5＝0.35， 若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为0.8×0.6＝0.48， 因为0.48＞0.35， 所以应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为0.48． （2）由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关， 所以X的可能取值为0，1，2，3， 则P（X＝1）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32，P（X＝3）＝0.8×0.6×0.5＝0.24， P（X＝2）＝0.8×0.6×（1﹣0.5）＝0.24，P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.32 0.24 0.24 则E（X）＝0×0.2+1×0.32+2×0.24+3×0.24＝1.52． 5．（2026•邗江区校级模拟）人工智能快速发展，给我们的生活带来极大的便利.2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下： ①每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值； ②第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出．若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半； ③答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品．同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为p（0.4＜p＜0.7）． （1）若p＝0.5． ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为X，求X的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率； ②根据前两题的结果推导最后一题得分的X的可能取值为0、1、4、16，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略． 【解答】解：（1）设甲同学答对第i题为事件Ai（i＝1，2，3）， ① ＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5； ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况，，此时X＝0， 所以P（X＝0）＝0.5×0.4×0.7+0.5×0.6×0.5+0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.3＝0.5； 若甲同学最后一题答对，则有4种情况A1A2A3（X＝16），， 所以P（X＝1）＝0.5×0.4×0.7＝0.14，P（X＝4）＝0.5×0.6×0.5+0.5×0.6×0.5＝0.3，P（X＝16）＝0.5×0.4×0.3＝0.06， 综上可知：X＝0，1，4，16，分布列如下： X 0 1 4 16 P 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为p1， 则； 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为p2， 则p2＝P（A1A2）＝p•1＝p； 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为p3， 则； 令， 该二次函数开口向下，对称轴为， 因为p∈（0.4，0.7），函数f（p）的最小值在端点p＝0.4处取到， 即f（p）＞f（0.4）＝﹣0.16+0.52﹣0.32＝0.04＞0，即p1＞p2， 所以p1＞p2＝p3， 故选择第1题求助获奖概率最大． 6．（2026•嘉峪关校级模拟）在新高考的数学试卷中，有4道题为多项选择题，在每个试题所给的4个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分． （1）若某两个多项选择题中分别有2个和3个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否符合题目要求．他每个题均随机选取了2项，记他这两题的总得分为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （2）若某个多项选择题所给的四个选项中有3个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从得分均值的角度分析，你是否再随机选取1个或2个选项作为答题结果？请说明理由． 【分析】（1）按分布列的求解步骤即可求解，利用数学期望公式可求解期望； （2）利用数学期望公式先计算小茗同学只选择能判断符合题目要求的那个选项为解答结果的均值，再分别计算随机选取1个或2个选项作为答题结果的均值，从而比较大小即可判断． 【解答】解：（1）由题意，随机变量X的所有可能取值为0，2，5，7， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 5 7 P 所以； （2）不再选取，理由如下： 如果小茗同学只选择能判断符合题目要求的那个选项为解答结果，则他本题得分为2分， 若他再随机选取2个，则他本题的得分Z可能为：0或5， ，， 则， 因为E（Z）＜2，所以不再随机选取2个选项作为答题结果； 若他再随机选取1个，则他本题的得分Y可能为：0或2， ，， 则， 因为E（Y）＜2，所以不再随机选取一个选项作为答题结果； 综上，从得分均值的角度看，除了能判断的正确选项外， 不再随机选取1个或2个选项作为答题结果得分均值更高． 7．（2025春•武汉月考）AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检．已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，． （1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率； （2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束． ①求获得“优惠券”的概率； ②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值． 【分析】（1）根据条件概率的概率公式计算可得； （2）①设乙箱中有n个球的概率为Pn（1≤n≤10），即可求出P1，P2，当3≤n≤9时，可得，从而得到，即当3≤n≤9时，数列{Pn﹣Pn﹣1}是公比为的等比数列，求出{Pn﹣Pn﹣1}再用累加法求出Pn，然后即可求出P9； ②设参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数为X，则，设优惠券的总金额为Y元，则Y＝400X，再根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得． 【解答】解：（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为p， 则， 设家用机器人智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 则，， 故所求概率为； （2）①设乙箱中有n个球的概率为Pn（1≤n≤10），第一次抽到奇数，家用机器人运1个乒乓球，概率为，即， 乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有n（3≤n≤9）个球的情况有： （ⅰ）家用机器人已运（n﹣2）个球，又抽出偶数，其概率为， （ⅱ）家用机器人已运（n﹣1）个球，又抽出奇数，其概率为， 所以，且， 所以，所以， 即当3≤n≤9时，数列{Pn﹣Pn﹣1}是公比为的等比数列， 所以，又，， 所以当n＝2时也成立， 所以，，…，， 上述各式相加得 ， 又，所以，（2≤n≤9）， 经检验，当n＝1时上式也成立， 所以（1≤n≤9，n∈N*）， 所以，即获得“优惠券”的概率为； ②设参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数为X，则， 所以X的期望， 设优惠券的总金额为Y元，则Y＝400X， 所以32个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值E（Y）＝E（400X）＝400E（X）＝8525（元）， 故该企业预备的优惠券总金额的期望值为8525元． 【题型 4：单人测试 / 比赛型】 【题型特征】一人独立完成多次测试、投篮、射击、答题、打分 【典型例题】 【典例】（2026•滁州模拟）某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为p（0＜p＜1），向左移动的概率为1﹣p．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量ξ． （1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下P（ξ＝1）的值； （2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置ξ的频数分布如下： ξ ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求ξ的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量ξ的均值，求p的值（保留两位小数）． 【分析】（1）利用公式计算条件概率； （2）由频数分布计算平均值，再结合二项分布的期望公式求p的值． 【解答】解：（1）设事件A＝“质点只在非负半轴上移动”，事件B＝“ξ＝1”， ，，所以； （2）①样本的均值． ②设向右移动次数为X，X∼B（5，p），E（X）＝5p， 所以ξ＝X﹣（5﹣X）＝2X﹣5，所以E（ξ）＝2E（X）﹣5＝10p﹣5． 又由①知，所以10p﹣5＝0.08，得p≈0.51． 【通关狂练】 1．（2026•岳阳模拟）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y（单位：人），得到如下样本数据： 天数（序号）x 1 2 3 4 5 每日取件人数y 120 100 80 70 55 （1）计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱（结果保留两位小数）； （2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望． 注：参考数据：． 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数r，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望． 【解答】解：（1）根据题干数据可得：，， ， ， ， ， 故变量x与y之间具有很强的线性相关关系； （2）由题易知，离散型随机变量X的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， X的分布列为： X 1 2 3 P ． 2．（2026•文县模拟）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，80～90分为良好，70～80分为一般，60～70分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数X的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝65．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．） 【分析】（1）由频率分布直方图可知，X可取0，1，2，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解即可； （2）由平均数的定义可知μ＝69，所以Z～N（69，65），再利用正态分布曲线的对称性求解． 【解答】解：（1）在[80，90）内样本中人数：0.015×10×100＝15， 在[90，100）内样本中人数：0.005×10×100＝5， 抽取2人中成绩优秀人数X可取0，1，2， 则P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以E（X）， 至少有1人初赛成绩优秀的概率； （2）μ＝45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.05＝69， σ2＝65，σ≈8， 所以Z～N（69，65）， 所以， 所以全校参加初赛学生中，不低于8（5分）的约有8000×0.02275＝182人， 因为182＜200， 所以估计小华有资格参加复赛． 3．（2026•应县校级一模）科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率y与注射剂量x之间的关系，测得一组实验数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）如表： 剂量x/mg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 残留率y 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45 （1）根据以上数据计算得样本相关系数r≈0.99，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立y关于x的经验回归方程； （2）当数据（xi，yi）对应的残差的绝对值|yi|＜0.01时，称该数据为“正常数据”．现从这8个实验数据中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求X的分布列及均值． 参考公式：经验回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，；参考数据：，． 【答案】（1）0.05x+0.025；（2）E（X）＝2． 【分析】（1）结合表中数据与参考公式，计算回归系数即可得经验回归方程； （2）先计算残差的绝对值，再确定X的取值，然后根据超几何分布的概率计算公式求解每个X的取值所对应的概率即可得分布列，最后计算数学期望即可． 【解答】解：（1）由表知，（1+2+3+4+5+6+7+8）＝4.5，（0.07+0.12+0.18+0.25+0.28+0.3+0.35+0.45）＝0.25， 所以， 0.25﹣0.05×4.5＝0.025， 故y关于x的经验回归方程为0.05x+0.025． （2）|y1|＝|0.07﹣0.075|＝0.005＜0.01，|y2|＝|0.12﹣0.125|＝0.005＜0.01，，|y4|＝|0.25﹣0.225|＝0.025， |y5|＝|0.28﹣0.275|＝0.005＜0.01，，|y7|＝|0.35﹣0.375|＝0.025，|y8|＝|0.45﹣0.425|＝0.025， 即有4组数据为“正常数据”， 所以X的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故数学期望． 【题型 5：赛制对决型】 【题型特征】两人 / 两队比赛、三局两胜、五局三胜、先胜 局结束 【典型例题】 【典例】（2026•模拟）甲、乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为p，且每局比赛的结果相互独立． （1）设，记比赛结束时的场数为X，求X的分布、期望和方差； （2）已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求p的值． 【分析】（1）先确定X的取值并计算相应的概率，通过列出分布列再根据期望和方差的公式求解； （2）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4局的概率，然后利用条件概率求解． 【解答】解：（1）由题意知，离散型随机变量X的取值为3，4，5， ， ， ， X的分布列为： X 3 4 5 P 根据期望公式可得：， 根据方差公式可得：； （2）设甲队获胜为事件A，比赛恰好进行4局为事件B， ， ， 可得， 化简可得6（1﹣p）2﹣5（1﹣p）+1＝0， 解得或． 【通关狂练】 1．（2026春•沙坪坝区校级期中）在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”．某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为． （1）求比赛4局决出胜负的概率； （2）求甲获得的奖金X的分布列与数学期望． （3）比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？ 【分析】（1）由题意可知比赛4局决出胜负有两种情况：前3局甲获胜2局，输1局，第4局甲获胜，或前3局乙获胜2局，输1局，第4局乙获胜，然后根据独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知X的取值可能为900，700，600，400，300，100，求出相应的概率，从而可求出X的分布列与数学期望； （3）算出五局三胜时与三局两胜时，对应概率比较即可． 【解答】解：（1）比赛4局决出胜负有两种情况：前3局甲获胜2局，输1局，第4局甲获胜， 或前3局乙获胜2局，输1局，第4局乙获胜， 若甲获胜，则；若乙获胜，则， 故比赛4局决出胜负的概率为． （2）由题意可知，X的取值可能为900，700，600，400，300，100， ，， ，， ，， 所以X的分布列为： X 900 700 600 400 300 100 P 所以． （3）更喜欢五局三胜制，因为这样甲获胜的概率更大 由（2）问知，五局三胜时，甲获胜的概率为， 三局两胜时，甲获胜的概率为，所以选五局三胜对甲更有利． 2．（2026•山东模拟）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得﹣1分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得﹣1分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立． （1）在前两个球发完后，求甲共得1分的概率； （2）设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望． 【分析】（1）找出所有符合题意的情况，分别求出其概率，再根据互斥事件的概率公式相加求解即可． （2）列出X的所有可能取值，分别计算对应概率，可得分布列，求出期望即可． 【解答】解：（1）设Ai＝“第i（i＝1，2，3）个球甲发球成功”， Bi＝“‘第i（i＝1，2，3）个球乙发球成功”， C＝“在前两个球发完后，甲共得1分”， 则，且B1与相互独立，与相互独立，与互斥， 所以P（C） ． （2）X的可能取值为﹣3，0，3，6． ， P（X＝0） ， P（X＝3） ， P（X＝6）． X的分布列为 X ﹣3 0 3 6 P 故． 3．（2026•乐山模拟）2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1局者获胜）． （1）当k＝1时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为P（k）． ①求P（1）和P（2）的值，并比较它们的大小，据此说明k＝1和k＝2哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 【分析】（1）根据题意求出概率，列出分布列，求期望即可； （2）①分别列出获胜各种情况的概率求和即可计算P（2），P（1），比较大小即可分析得出结论；②求出P（k）的大小，再分析P（k+1）与P（k）的关系，即可证明． 【解答】解：（1）每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立， 当k＝1时，赛制为三局两胜制，结束比赛时的局数X的可能取值为2，3， P（X＝2）＝0.42+0.62＝0.52， ， ∴X的分布列为： X 2 3 P 0.52 0.48 E（X）＝2×0.52+3×0.48＝2.48 （2）①比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1局者获胜）， ∵每局比赛中，机器人获胜的概率为p＝0.6， 由题可知P（1）为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：2：0或2：1， ∴， P（2）为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3：0或3：1或3：2， ， ∴P（2）＞P（1）， ∴k＝2时，5局3胜制对机器人更有利． ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大． 证明如下： 由①可知，， 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系： （i）若前2k+1局中机器人恰好赢了k局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为，即． （ii）若前2k+1局中机器人恰好赢了k+1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为，即． （iii）若前2k+1局中机器人至少赢了k+2局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为． ∴， ∴ ， ∵p＝0.6，∴，即P（k+1）＞P（k）． 4．（2026•浦东新区校级模拟）某体育俱乐部每月举行会员挑战赛，挑战赛由上届比赛前8名和2名从资格赛中获胜的选手参加，具体规则如下： ①每场比赛由2人对决，只有胜负，没有平局； ②挑战赛分预赛和淘汰赛两个阶段，上届冠亚军不参加预赛，直接进入淘汰赛； ③预赛分两轮，第一轮由8人随机配对比赛，第二轮由第一轮胜者之间随机配对，负者之间随机配对比赛，两轮均负的选手不参加淘汰赛，两轮均胜的选手和上届冠亚军为种子选手； ④淘汰赛的种子选手抽签选择ABCD，其他选手抽签选择abcd，具体赛制由如图确定． 假设所有选手水平接近，每个选手在每场比赛中取胜的概率均为，各场比赛结果相互独立． 回答下列问题： （1）挑战赛共举行多少场比赛？ （2）上届冠亚军再次同时进入决赛的概率是多少？ （3）设从资格赛中获胜的选手甲参加挑战赛的比赛场次为变量X，写出X的分布列并求期望E[X]． 【分析】（1）根据比赛规则，分别计算预赛和淘汰赛部分比赛场数即可得解； （2）根据比赛规则求得进入淘汰赛的人数，根据题意，A、B在四分之一决赛、半决赛均获胜，利用独立事件概率公式（P（AB）＝P（A）P（B），事件A、B相互独立）即可得解； （3）根据比赛规则分析得到X的所有可能取值，依据各X取值下甲的预赛及淘汰赛每一轮胜负情况即可求得对应的概率得到分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解． 【解答】解：（1）预赛部分预赛参与人数：8+2﹣2＝8人（上届冠亚军不参加预赛）， 第一轮：8人随机配对，8÷2＝4共场比赛，产生4名胜者、4名负者， 第二轮：胜者之间配对，共4÷2＝2场比赛；负者之间配对，共4÷2＝2场比赛，预赛总场数：4+2+2＝8场； 淘汰赛部分淘汰赛参与人数：上届冠亚军（2人），预赛两轮全胜的选手（2人）及非种子选手4人共8人， 四分之一决赛：8人按赛制图进行4场比赛，产生4名胜者， 半决赛：胜出的4人按赛制图进行2场比赛，产生2名胜者， 决赛：2名胜者配对，共1场比赛．淘汰赛总场数：4+2+1＝7场， 总场数：8+7＝15场； （2）设上届冠亚军为A、B，他们直接进入淘汰赛， 若A、B再次同时进入决赛，则A、B在四分之一决赛、半决赛均获胜， 由图可知半决赛A、B不再同一组，每个选手每场比赛胜率为， 则A、B在四分之一决赛均获胜的概率为， 在半决赛均获胜的概率为，各场比赛结果相互独立， 则两人同时晋级的概率； （3）由题意分析可知，X的所有可能取值为2，3，4，5， X＝2 即甲两场预赛均为负，则， X＝3即甲进入淘汰赛且淘汰赛第一轮为负，则甲两场预赛至少获胜一场，则， X＝4即甲进入淘汰赛且淘汰赛第一轮获胜，第二轮为负．则， X＝5 即甲进入决赛，则甲预赛通过且淘汰赛第一、二轮获胜，则， 所以X分布列为 X 2 3 4 5 P ． 5．（2025秋•晋中期末）甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球（每次只发一球），由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜（当打成14：14后，先多得2分的一方获胜）．甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至14：14． （1）若已知比赛结果为16：14，求这局比赛是乙获胜的概率； （2）求这局比赛甲获胜的概率； （3）记X为这局比赛结束时甲的总发球个数，求X的数学期望E（X）． 【分析】（1）分析比赛结果为16：14的所有情况及其概率，利用条件概率公式求得这局比赛是乙获胜的概率； （2）分析14：14之后的3种情况（甲连赢两球、乙连赢两球，甲乙各赢一球战成平局后再比）的概率，由全概率公式列出递推公式，从而求得这局比赛甲获胜的概率；或由分类分步，归纳可得若打2n个球后甲获胜，则需前2（n﹣1）个球每两个球都打平，此时，由极限思想求无穷等比数列的和可得这局比赛甲获胜的概率． （3）分16：14结束比赛，和比分为15：15平，继续比赛两种情况进行分行，可列得甲继续发球数X的期望所对应的方程，从而求得X的数学期望E（X）． 【解答】解：（1）由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球， 记事件A：甲发球甲赢，事件B：乙发球乙赢，事件C：比赛结果为16：14，事件D：乙这局比赛获胜． 所求为， ， ， 所以． 所以在已知比赛结果为16：14的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为． （2）方法一（全概率公式）：由（1）知，14：14之后，有3种情况： ①甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件E1，则； ②乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件E2，则； ③甲与乙各赢一球，再次打平，比分为15：15，记作事件E3，则． 设事件F：这局比赛甲获胜． 由全概率公式有， 由于比分为15：15与比分为14：14比赛的状态完全相同，所以P（F|E3）＝P（F）， 所以，解得， 故这局比赛甲获胜的概率为． 方法二（分类分步与极限思想）：由（1）知再打2球甲获胜的概率，打平的概率为， 则再打4球后甲获胜的概率为，打平的概率为， 再打6球甲获胜的概率为，打平的概率为． 依此类推，打2n个球后甲获胜，则需前2（n﹣1）个球每两个球都打平，此时． 故甲获胜的概率为， 当n→+∞时，，，故这局比赛甲获胜的概率为． （3）比分为14：14平时甲已经发球14个，设之后甲继续发球个数的期望为E，由（1）可得： ①若16：14结束比赛，此时甲继续发球数为1，概率为； ②若比赛没有结束，比分为15：15平，概率为，甲继续发球数的期望为E． 从而，解得E＝2． 所以甲的总发球个数的期望为E（X）＝14+E＝16． 【题型 6： 商品利润与保险型】 【题型特征】利润、成本、赔偿、保险、收入、损失、最优决策 【典型例题】 【典例】（2026•大庆模拟）随着deepseek等人工智能大模型的快速发展，某市文创体验馆推出了“AI创意手作”的线下体验项目．为优化运营策略，运营团队统计了过去100天的运营数据，以各客流量等级的日平均收入作为日收入，整理成如下表格： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 30 50 20 日收入（元） 4000 10000 22000 设备发生故障的概率 0.1 0.2 0.4 ①设备发生的故障又分为“轻微故障”和“严重故障”，其中设备发生轻微故障的概率为，发生严重故障的概率为；②若设备无故障，当日收入不变，无维修费用支出；若设备发生轻微故障，当日收入不变，但需支付维修费200元；若设备发生严重故障，当日收入减半，还需支付维修费1000元．已知每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，用频率估计每日的客流量等级的概率． （1）求该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率； （2）设该项目在将来某一日的运营总损失为X元（运营总损失＝维修费+收入损失），求Ⅹ的分布列和均值． 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式直接计算即可； （2）根据当日设备没有发生故障、发生轻微故障、发生严重故障且为小客流、中客流、大客流等情况依次讨论对应的取值及概率即可求解． 【解答】解：（1）由频率估计概率，根据表中数据，客流量等级为中客流（B）的概率为， 已知中客流设备发生故障的概率为0.2，故障中发生严重故障的概率为，且各事件相互独立， 记该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率为p， 则p； （2）该项目在将来某一日的运营总损失X的可能取值为0，200，3000，6000，12000， 客流量等级为小客流（A）的概率为， 客流量等级为大客流（C）的概率为， 当日设备没有发生故障时，X＝0， ， 当日设备发生轻微故障时，X＝200， ， 当日为小客流且发生严重故障时，X＝3000， ， 当日为中客流且发生严重故障时，X＝6000， ， 当日为大客流且发生严重故障时，X＝12000， ， 所以X的分布列为： X 0 200 3000 6000 12000 P 所以． 【通关狂练】 1．（2026•长沙模拟）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量、该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n（n≥2，n∈N*）个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望E（X）取最大值时正整数n的值． 【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在[120，130）内，设其为x，列出方程，求出答案； （2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，η的可能取值为0，1，2，并得到相应的概率，得到分布列和方差； （3）X的可能取值为0，n，2n，并求出相应的概率，得到，换元后，求导，得到其单调性，从而确定当n＝6时，E（X）取最大值． 【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得：该厂商生产口罩质量指标值的平均数为： （105×0.005+115×0.040+125×0.030+135×0.020+145×0.005）×10＝123； ∵前几组的频率依次为0.05，0.4，0.3， ∴第60百分位数落在[120，130）内，设其为x， 则（0.005+0.040）×10+（x﹣120）×0.030＝0.6， 解得x＝125，故第60百分位数为125； （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，η的可能取值为0，1，2， ，，， ∴η的分布列如下： η 0 1 2 P 数学期望为， 方差为． （3）根据题意可得X＝0，n，2n， ， ， ， ∴， 令，设f（t）＝2cosπt+πt，则E（X）＝f（t）， ∵， ∴当时，f'（t）＞0，∴f（t）在区间上单调递增； 当时，f'（t）＜0，∴f（t）在区间上单调递减； ∴当，即n＝6时f（t）取最大值， ∴． ∴E（X）取最大值时，n的值为6． 2．（2026•校级模拟）某公司为了了解A商品销售收入y（单位：万元）与广告支出x（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为． x 2 5 6 8 9 y 16 20 21 m 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求m的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当R2＞0.9时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好． 【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可； （2）X可能取值为0，1，2，求出对应概率，进而得到分布列和期望； （3）求出代入R2公式，即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意易得， ， 因为，即， 解得m＝25； （2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以X可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 期望； （3）， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好． 3．（2026春•余姚市校级月考）某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修． （1）若发生故障的车床数为X，求X的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润．现该厂准备为该车间招聘k（k＝0，1，2，3）名维修工人，设该车间每月获利的均值为Yk（k＝0，1，2，3）． （i）当k＝1，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值Y1； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数k的值，并说明理由． 【分析】（1）由题意得X可能取0，1，2，3，且X～B（3，），由二项分布概率公式计算出概率后可得分布列； （2）（i）当k＝1时，根据机床发生故障的台数，确定出Y1的可能取值，写出分布列计算出均值； （ii）再分别计算出k＝0，2，3时的获利均值，比较后可得． 【解答】解：（1）X可能取0，1，2，3，且X～B（3，）， 所以， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）（i）3台机床都无故障或只有1台有故障，则Y1＝24， 3台机床中有2台有故障，则Y1＝15，3台均有故障，则Y1＝6， 所以， 故Y1的分布列为： Y1 24 15 6 P ； （ii）k＝0时，由题意Y0可能取值：27，18，9，0， Y0的分布列为： Y0 27 18 9 0 P E（Y0）＝18； k＝2时，至多有2台机床发生故障时，Y2＝3×9﹣2×3＝21，有3台发生故障时，Y2＝2×9﹣2×3＝12， ， Y2的分布列为： Y2 21 12 P ； k＝3时，3台机床无论有无故障都能正常获利，所以E（Y3）＝27﹣9＝18， 因为E（Y1）＞E（Y2）＞E（Y0）＝E（Y3）， 所以E（Y1）最大，即招聘维修工人1人． 【题型 7 ：药物检测与混检型】 【题型特征】血液筛查、核酸混检、分组化验、阳性 / 阴性 【典型例题】 【典例】（2026•贵阳模拟）有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为p（0＜p＜1），若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组k（k∈N*，2≤k≤N）人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若k＝4，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若p＝0.01，每组人数k＝10，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：0.9910≈0.90） 【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知，分别求出P（X＝2）与P（X≥1），利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率P（X＝2|X≥1）； （2）设每组检测次数Y，则易得Y＝1，k+1，求出其分布列和数学期望，进而可求得总检测次数的期望E＝r•E（Y）； （3）利用（2）中若分组检测，由检测次数的期望求得总成本期望，若逐一检测，则总成本为E2＝aN+bN，依题意E1＜0.5E2，代值计算即得的取值范围． 【解答】解：（1）若k＝4，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性， 设小组中有酶的人数为X，则， 已知混合样本阳性，即X≥1，则该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率为： ； （2）设每组检测次数Y，则Y的分布列为： Y 1 k+1 p （1﹣p）k 1﹣（1﹣p）k 根据离散型随机变量的期望公式可得E（Y）＝1×（1﹣p）k+（1+k）（1﹣（1﹣p）k）＝1+k（1﹣（1﹣p）k）， 则总检测次数的期望； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次， 若p＝0.01，每组人数k＝10，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上， 若分组检测，检测次数的期望为， 总成本期望为， 若逐一检测，则总成本为E2＝aN+bN，由节省50%以上得E1＜0.5E2， 代入p＝0.01，k＝10，（1﹣p）k≈0.90，得a+b×0.2＜0.5（a+b）， 整理得0.5a＜0.3b，因此，， 故的取值范围是． 【通关狂练】 1．（2026•晋中模拟）有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A，B，C三类药物．服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2ㅤ5.5ㅤ6.2ㅤ6.5ㅤ6.3ㅤ5.8ㅤ5.4ㅤ6.0ㅤ5.3ㅤ5.8 B 5.5ㅤ6.0ㅤ5.6ㅤ5.0ㅤ5.7ㅤ6.2ㅤ6.4ㅤ5.9ㅤ5.7ㅤ5.1 C 5.1ㅤ4.9ㅤ5.3ㅤ5.2ㅤ5.5ㅤ6.2ㅤ5.7ㅤ5.5ㅤ5.8ㅤ5.6 已知该生理指标正常范围是（3.9，6.1）． （1）从服用A，B，C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； （2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望． 【分析】（1）根据统计表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到5人中3人指标正常，2人指标不正常，且变量X的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解． 【解答】解：（1）设从A，B，C三组选出1人指标正常分别为事件A1，B1，C1， A组的10个数据中指标正常的有：5.2，5.5，5.8，5.4，6.0，5.3，5.8，共有7个， 所以； B组的10个数据中指标正常的有：5.5，6.0，5.6，5.0，5.7，5.9，5.7，5.1，共有8个， 所以； C组的10个数据中指标正常的有：5.1，4.9，5.3，5.2，5.5，5.7，5.5，5.8，5.6，共有9个， 所以． （2）由5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2， 可得其中有3人指标正常，2人指标不正常， 现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数， 可得随机变量X的可能取值为0，1，2， 则，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 2．（2025秋•8月份月考）某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药．现有n（n∈N*）瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案： 方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测； 方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（n＝mk，m∈Z），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测． 已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X为方案二某小组的检测次数，E（X）为方案二的检测次数的数学期望． （1）记E（X）的最大值为E，求证：； （2）能否认为E（X）＜n恒成立？说明理由，并以此说明方案二的合理性； （3）给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由． 【分析】（1）写出方案二中E（X）＝1+mpm，转化为证明，再利用函数单调性即可证明； （2）转化为证明，最后利用函数单调性即可证明； （3）模拟二分法即可设计方案． 【解答】解：（1）证明：方案二中某小组的检测次数X可能取值为1或m+1， 当一次检测中未检测出S成分时，检测次数为1，概率为1﹣pm， 当一次检测出S成分时，再对该小组的m瓶逐一检测，检测次数为m+1，概率为pm， E（X）＝1×（1﹣pm）+（m+1）pm＝1+mpm， 又因为n＝mk， 所以k个小组的检测次数期望为E'＝kE（X）＝k+kmpm， 要证明， 即证恒成立， 即证， 又因为n属于正整数， 所以pm＜2， 令g（m）pm，， 又0＜p＜1， 所以g（m）在[1，+∞）上单调递减，h（n）在[1，+∞）单调递增， 所以g（m）max＝g（1）＝1+p，h（n）min＝1+p， 所以g（m）≤h（n）在[1，+∞）恒成立， ，当m＝n＝1时取等号， 而原题说这些试剂中部分含有少量成分S， 则显然n≠1，否则该瓶必含有少量成分S，与原题矛盾，所以等号不成立； 所以； （2）能认为E（X）＜n恒成立，理由如下： E（X）＜n恒成立，即1+mpm＜mk恒成立，其中m≥1，k≥2，k，m∈N*， ，即， 设， 因为p∈（0，1），则易知离散函数y在m≥1，m∈N*上单调递减， 所以y＜1+p＜2， 又因为k≥2，k∈N*，则E（X）＜n恒成立； 方案二的合理性： 当p较小时，即含有成分S的概率较低时，通过分组检测，大部分不含S成分的小组可以通过一次混合检测排除， 从而减少检测次数，相比逐一检测，会更节省检测成本和时间． （3）二分法混合检测： 方案说明：当n为奇数时，分为和两份检测，各自混合检测， 再将含有S的那部分再分2份混合检测，如果遇到奇数瓶时，按照第一次分法即可； 如果遇到偶数瓶时，则分为相同两份检测，依次类推； 当n为偶数时，分为和两份检测，各自混合检测， 当为偶数时，按照第一次分法继续分为两份，各自混合检测； 当为奇数时，按照瓶数差为1的分法继续分， 即和两份检测，依次类推； 理由：若混合液中未检测出S成分，那剩下的试效含有S成分的概率会提高， 同时也排除了该混合液对应试剂含有S的可能性，更有针对的进行试验，从而减少检测次数． 3．（2025秋•永胜县校级月考）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按k人一组平均分成n组，然后将各组k个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为p． （1）当k＝5时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用X表示所需化验次数，求X的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用Y表示所需化验次数，求Y的期望； （2）已知某次“混采检测”的血样总数为20000，p＝2.5%，k≥10，记检验总次数为Z，当E（Z）≤10000时，求k的最大值． （参考公式及数据：，[1﹣tk]ti（n﹣i）k＝1，ln0.975≈﹣0.0253，ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，ln11≈2.3979） 【分析】（1）先分别明确X，Y的可能取值，求出相应的概率，可得X，Y的分布列，并求其期望． （2）先确定Z的可能取值，求出对应概率与期望E（Z），根据E（Z）≤1000可得：，进一步两边取自然对数得：，再设，求导，分析函数的单调性，根据函数零点存在性的判定方法求k的最大值． 【解答】解：（1）（i）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，， 所以； （ii）由题意，Y的所有可能取值为2，3， 因为当Y＝2时可以分两类，第一类：混检的3人中有一人患病，并且在第2次就检测出患病人员； 第二类：混检3人均没有患病，并且在第2次就检测出患病人员或未患病人员， 所以，， 所以； （2）由题知将20000份血样随机地按k（k≥10）份一组平均分成m组，则Z的可能取值为m，m+k，m+2k，…，m+mk， 其中每一组检测结果为阴性的概率为（1﹣p）k，检测结果为阳性的概率为1﹣（1﹣p）k， 因为 所以， 又因为， 所以 ＝m[1﹣（1﹣p）k+（1﹣p）k]m+mk[1﹣（1﹣p）k]•[1﹣（1﹣p）k+（1﹣p）k]m﹣1 ， 所以， 可得，两边取自然对数可得， 设，则， 令，， 所以h（k）在[10，+∞）单调递增，所以， 所以f（k）在[10，+∞）单调递增． 由题知k是20000的正因数且k≥10，ln（1﹣p）＝ln0.975＝﹣0.0253， 所以， ， 所以k的最大值为20． 4．（2026•大同一模）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*）且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）． （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2． ①记E（ξ）为随机变量ξ的数学期望．若E（ξ1）＝E（ξ2），运用概率统计的知识，求出p关于k的函数关系式p＝f（k），并写出定义域； ②若p＝1﹣e，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094． 【分析】（1）利用排列组合以及古典概型的概率公式求解即可； （2）①确定ξ2的可能值为1，k+1，分别求出其对应的概率，求出E（ξ2），利用E（ξ1）＝E（ξ2），即可求出p关于k的函数关系式p＝f（k），写出定义域即可； ②求出p＝1﹣e时E（ξ2）的值，由题意列出不等关系，构造函数f（x）＝lnx，利用导数研究其性质，即可得到答案． 【解答】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件， 则； （2）①根据题意，可知E（ξ1）＝k，ξ2的可能值为1，k+1， 则P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k， 所以E（ξ2）＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k， 由E（ξ1）＝E（ξ2），得k＝k+1﹣k（1﹣p）k， 所以p（k∈N*且k≥2）； ②由于p＝1﹣e，则E（ξ2）＝k+1﹣ke， 所以k+1﹣kek，即lnk0， 设f（x）＝lnx，则（x＞0）， 当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增； 当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减， 又f（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2＞0，f（9）＝lng90， 所以k的最大值为8． 【题型 8：统计图表综合型】 【题型特征】直方图 、折线图、频数表、列联表、数据统计类 【典型例题】 【典例1】（2026春•余姚市校级月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]分组，得到如下的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层抽样的方法在[0，1），[5，6]两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在[0，1）人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）． 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1可求得a，将各组区间的中点值乘以该组的频率可求得平均数； （2）首先求出两组中的人数比，然后利用超几何分布列求解，进而利用数学期望定义求解． 【解答】解：（1）因为频率分布直方图中各矩形的面积和为1， 即0.1+a+0.22+0.25+0.20+0.05＝1，解得a＝0.18， 所以可估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数为： ； （2）由题意知100名同学中，阅读时间在[0，1），[5，6]的频率之比为0.1：0.05＝2：1， 所以抽取的6人中阅读时间在[0，1）的人数为，在[5，6]的人数为， 从这6人中随机选取3人座谈，选取的阅读时间在[0，1）的人数为X，则X可能的取值为1，2，3， 所以； ； 所以X的分布列如下： X 1 2 3 P 所以． 【典例2】（2026•河池模拟）《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校120名大学生进行问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 15 55 女生 30 35 65 合计 70 50 120 （1）判断在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由； （2）已知在参与问卷调查的大学生中有6名是大一学生，其中4名喜欢《我爱古诗词》．现从这6名大一学生中随机抽取2人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，n＝a+b+c+d（χ2结果精确到0.01）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 χ2 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）提出零假设，利用卡方公式计算χ2的值，再与临界值比较后即得结论； （2）先确定X的可能取值为0，1，2，再结合超几何分布概率公式分别计算概率，列出分布列并用期望公式计算即可． 【解答】解：（1）零假设H0：喜欢《我爱古诗词》与性别无关 则， 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关； （2）由题意可得，X的可能取值为0，1，2， 所以X～H（2，4，6）， 所以X的分布列为P（X＝k），k＝0，1，2， 所以E（X）． 【通关狂练】 1．（2026•辽宁模拟）第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加．为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分（满分100分），经统计打分全部位于[40，100]内，整理后打分情况如下表所示． 打分区间 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 5 10 35 100 200 150 （1）估计样本数据的第60百分位数； （2）用分层随机抽样的方法从打分位于[80，100]内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记X为打分位于[90，100]的市民人数，求X的分布列和数学期望． 【分析】（1）先计算各区间累计频率确定第60百分位数所在区间，再用线性插值法计算出该百分位数的估计值； （2）先确定两组人数比例得到抽取样本中两类人数，再用超几何分布计算随机变量X的各取值概率，列出分布列并计算数学期望． 【解答】解：（1），， 则样本数据的第60百分位数位于[80，90）内，设其为x， 0.30+（x﹣80）×0.04＝0.60，解得x＝87.5， 所以估计样本数据的第60百分位数为87.5； （2）由题易知7人中打分位于[80，90），[90，100]内的人数分别为4，3， 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 2．（2026•茂名二模）为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表． 成绩区间 [160，170） [170，180） [180，190） [190，200） [200，210） [210，220] 频率 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 （1）计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与E（X）． 【分析】（1）根据众数、平均数的定义求解； （2）由分层抽样确定各等级人数，得X的所有可能取值为0，1，2，计算出概率后得分布列． 【解答】解：（1）这六个区间中，频率最大为0.25，该区间为[190，200）， 则这40名学生立定跳远成绩的众数的近似值为195厘米， 平均数＝165×0.10+175×0.15+185×0.20+195×0.25+205×0.20+215×0.10＝191， ∴这40名学生立定跳远成绩的平均数的近似值为191厘米． （2）成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级， 用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人， 由分层抽样，可知C等级对应5人，B等级对应4人，A等级对应2人． 从11人中选3人，共种． X的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ． 则X的分布列为： X 0 1 2 P ． 3．（2026•重庆校级模拟）某电商对旗下100名客服人员“双十一”当天的订单处理量（单位：千件）进行统计，将所得数据按[155，165），[165，175），[175，185），[185，195]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值及订单处理量的第75百分位数； （2）假设订单处理量在[185，195]的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记X为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望E（X）． 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在[185，195]中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求X的分布列和数学期望E（X）． 【解答】解：（1）由题意得10a＝1﹣10×（0.020+0.040+0.030），∴a＝0.010， 设第75百分位数为x，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则x∈[175，185]，∴0.60+（x﹣175）×0.030＝0.75，解得x＝180； （2）订单处理量在[185，195]中的客服人数为0.01×10×100＝10，其中女性2人，男性8人， X表示抽取的女性人数，X的可能取值为0，1，2 ， ， ， X的分布列： X 0 1 2 P ． 4．（2026•庐阳区校级模拟）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的2×2列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 （1）根据已知条件补全2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； （2）从每周课外阅读时长在[0，2）和[8，10]的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设X表示抽取的2人中每周课外阅读时长在[8，10]的人数，求X的分布列和数学期望． 附：． P（χ2≥k） 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）先求出每周课外阅读时长不低于6小时和低于6小时的学生人数，即可完成2×2列联表为：再求出卡方值即可判断； （2）先求出[0，2）组和[8，10]组的人数，进而求得X的取值可能为0，1，2，再各种情况求出概率即可求得分布列和期望． 【解答】解：（1）时长不低于6小时的学生人数为200×（0.25+0.15）＝80（人）， 时长低于6小时的学生人数为200﹣80＝120（人）， 2×2列联表为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 则， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关； （2）[0，2）组抽取人数为（人）， [8，10]组人数为（人）， X的所有取值可能为0，1，2， ， 分布列： X 0 1 2 P 将表格数据代入期望公式可得． 5．（2026•昌平区一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查．将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （Ⅰ）从该校的男生中任选两人，估计这两人均为“运动不达标”的概率； （Ⅱ）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设X为“运动达标”的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为Y．求使概率P（Y＝k）取得最大值时的k的值．（直接写出结论） 【分析】（Ⅰ）根据古典概型结合表中数据求解； （Ⅱ）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量X的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （Ⅲ）先确定Y服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的k值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，从该校的男生中任意抽取1人，该人“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件A， 则P（A）； （Ⅱ）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标”的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标”的概率为， 随机变量X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以； （Ⅲ）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 则Y～， 则要使得使概率P（Y＝k）取得最大值，则， 即， 解得11.6≤k≤12.6， 又因为k为整数，所以k＝12， 所以使概率P（Y＝k）取得最大值时k的值为12． 6．（2026•酒泉模拟）某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区100名居民进行调查，得到如下2×2列联表： 支持 不支持 合计 18﹣40岁（青年） 35 15 50 41岁及以上（中老年） 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关； （2）按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈，记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为X，求X的分布列． 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 参考数据： α 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）计算χ2，根据独立性检验理论判断； （2）先根据分层抽样确定人数，再利用超几何分布列分布列． 【解答】解：（1）零假设H0：居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄无关， 则， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 即认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关． （2）“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人， 再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈， 记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为X， “支持”和“不支持”的人数比为60：40＝3：2， 则抽取的10人中“支持”和“不支持”的人数分别为6，4， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 7．（2026•海东市二模）为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表： 单位：人 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 140 女 20 合计 200 （1）将列联表中数据补充完整，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？ （2）从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望． 附：，n＝a+b+c+d． α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据题意，补全列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可； （2）由分层随机抽样的定义可得，6人中喜欢京剧的女生为4人，不喜欢京剧的女生为2人，所以X可能取值为1，2，3，求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望的定义求解． 【解答】解：（1）根据题意，补全列联表如下： 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 60 140 女 40 20 60 合计 120 80 200 零假设H0：是否喜欢京剧与性别无关 则， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0成立，即认为居民是否喜欢京剧与性别无关； （2）按分层抽样抽取喜欢京剧的女生数量为：（人），不喜欢京剧的女生数量为：（人）， 则X可能取值为1，2，3， ，，， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以． 8．（2026•成都二模）国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质制定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 80 b 150 不爱好运动 c 10 合计 200 （1）求b，c的值，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； （2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2，其中n＝a+b+c+d． α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 【分析】（1）由列联表可求b，c，零假设H0：体质情况与爱好运动无关，再根据卡方值和临界值的比较即可求解； （2）根据分层抽样可得爱好运动的抽取4人，不爱好运动的抽取2人，X的可能取值为0，1，2，求得各自对应的概率可得分布列，再根据期望公式即可求解． 【解答】解：（1）由列联表知b+80＝150，得b＝70， 80+b+c+10＝200，即80+70+c+10＝200，得c＝40， 列联表如下： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 80 70 150 不爱好运动 40 10 50 合计 120 80 200 零假设H0：体质情况与爱好运动无关， 6.635， 由此我们推断零假设H0不成立， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为体质情况与爱好运动有关； （2）体质情况综合评级为“合格”的共有120人，其中爱好运动的有80人，不爱好运动的有40人， 用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查， 爱好运动的抽取人，不爱好运动的抽取人， X的可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列如下： X 0 1 2 P ． 9．（2026•镇江校级一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率．现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率小于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻觉率小于1.3%的模型个数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解； （2）首先列举幻觉率低于2%的AI模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望． 【解答】解：（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于2%的概率为； （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个， 则X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故． 【题型9：概率与导数综合型】 【题型特征】期望含参数、求最值、范围、单调性、最优解 【典型例题】 【典例】（2026•叙州区校级模拟）诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值．某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛． （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰．已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立． （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望． （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出．已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为x（0＜x＜1），3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为f（x），求f（x）的最小值． 【分析】（1）（ⅰ）明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解； （ⅱ）求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值； （2）先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求f（x）的最小值． 【解答】解：（1）（ⅰ）由题易知满足条件的情况由如下两种：1．连续答错前3道题，2．甲在前三道题中答错两道，且答错第4道， 所以概率为； （ⅱ）由题易知，随机变量X的所有可能取值为：3，4，5， ，， 随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 将表格数据代入期望公式可得：E（X）； （2）由题可得第3道题答对的概率为， 所以学生甲答对2道题目胜出的概率为， 所以， 所以当时f′（x）＜0，当时f′（x）＞0， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以f（x）的最小值为． 【通关狂练】 1．（2026春•忻府区校级月考）甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． （1）求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； （2）若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； （3）若p+q＝1，记比赛结束时答题数为X，求E（X）的最大值． 【分析】（1）将给定事件分拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件的概率公式求解． （2）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及独立事件的概率公式列式求解． （3）求出X的可能值及各个值对应的概率，求出E（X），再利用导数求出最大值． 【解答】解：（1）乙在第二题得分的事件是甲在第1题答对，第2题答错的事件与甲在第1题答错，乙在第2题答对的事件和， 所以乙在第二题得分的概率为p（1﹣p）+（1﹣p）q＝（1﹣p）（p+q）． （2）甲在四题以内赢得比赛的事件是甲答前3题得（3分）的事件与甲答4题得（3分）的事件和， 甲答前3题得（3分）的事件概率为； 甲答4题得（3分）的事件是前3题甲得（2分），第4题甲得分， 概率为， 所以甲在四题以内赢得比赛的概率为． （3）随机变量X的可能取值为3，4，5， 当X＝3时，甲答前3题得（3分）或乙答前3题得（3分），P（X＝3）＝p3+（1﹣p）3； 当X＝4时，第4题后甲得（3分）或乙得（3分），P（X＝4）＝3p3（1﹣p）+3p（1﹣p）3； 当X＝5时，第4题后甲乙二人的比分为2：2，， 因此E（X）＝3[p3+（1﹣p）3]+4[3p3（1﹣p）+3p（1﹣p）3]+30p2（1﹣p）2＝3+3p+3p2﹣12p3+6p4， 令f（p）＝3+3p+3p2﹣12p3+6p4，0≤p≤1， 则f′（p）＝3+6p﹣36p2+24p3＝3（2p﹣1）（4p2﹣4p﹣1）， 由f′（p）＝0且0≤p≤1，得． 当时，f′（p）＞0；当时，f′（p）＜0， 函数f（p）在上单调递增，在上单调递减，， 所以E（X）的最大值为． 2．（2026•甘肃模拟）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期T内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为p，分裂成两个新细胞的概率为1﹣p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期T内开始分裂，记n（n∈N*）个周期结束后，细胞的数量为Xn，其中． （1）若，求X2的分布列和数学期望； （2）求P（Xn＝2）； （3）求证：． 【分析】（1）求出X2的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望； （2）求出第kT时分裂为2个X细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解； （3）求出第kT时分裂为3个X细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出P3（n），再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证． 【解答】解：（1）由题可得，X2的取值可能为1，2，3，4，当时， 则， ， ， ， 所以X2分布列为： X2 1 2 3 4 P ； （2）n（n∈N*）个周期结束后共有2个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞， 不妨设在第k个周期时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞， 此事件概率， 所以 ； （3）证明：n（n∈N*）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第k个周期时分裂为2个新的细胞， 这两个细胞在剩下的（n﹣k）个周期中，其中一个分裂为2个细胞，另一个一直保持分裂为1个细胞， 此事件的概率为： 2pk﹣1•（1﹣p）pn﹣k•pn﹣k﹣1•（1﹣pn﹣k） ＝2p2n﹣2•（1﹣p）•p﹣k﹣2p3n﹣2•（1﹣p）•p﹣2k， 所以P（Xn＝3）＝P3，1+P3，2+...+P3，n ， 其中，pn∈（0，1）， 令x＝pn，， 记f（x）＝x（1﹣x）2，f′（x）＝（1﹣x）（1﹣3x）， 令f′（x）＝0，得， 当，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 故， 即． 3．（2026•南京一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p0，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元．成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． （1）若p0＝0.8，p＝0.5，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r（p）＝0.2+0.4p+0.2p2，记生产商销售一件该商品的期望利润为f（p）（单位：元）．（期望利润＝购买概率×（支付金额的期望﹣商品成本）﹣优惠券成本的期望） （i）求f（p）关于p的函数表达式； （ii）证明：f（p）在[0，1]内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润f（p）最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【分析】（1）先列出X的所有可能取值，根据独立事件概率公式计算各取值的概率，得到分布列，再用期望公式计算E（X）； （2）（i）分别计算支付金额的期望E（Y）和优惠券成本的期望E（Z），结合购买概率与商品成本，构造期望利润函数f（p）； （ii）对f（p）求导，通过导数的正负判断单调性，找到唯一极大值点，代入计算最大期望利润． 【解答】解：（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， P（X＝100）＝1﹣0.8＝0.2， P（X＝90）＝0.8×0.6×（1﹣0.5）＝0.24， P（X＝80）＝0.8×0.4×（1﹣0.5）＝0.16， P（X＝70）＝0.8×0.6×0.5＝0.24， P（X＝60）＝0.8×0.4×0.5＝0.16， 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望：E（X）＝100×0.2+90×0.24+80×0.16+70×0.24+60×0.16＝80.8； （2）（i）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望﹣商品成本）﹣优惠券成本的期望， 支付金额的期望为E（Y）＝100﹣10×0.6（1﹣p）﹣20×0.4（1﹣p）﹣30×0.6p﹣40×0.4p＝86﹣20p； 优惠券成本的期望为E（Z）＝10×0.3×0.6（1﹣p）+20×0.3×0.4（1﹣p）+（10×0.3+10）0.6p+（20×0.3+10）0.4p＝ 4.2+10p， ∴f（p）＝r（p）（E（Y）﹣41）﹣E（Z）＝（0.2+0.4p+0.2p2）（86﹣20p﹣41）﹣（4.2+10p）＝﹣4p3+p2+4p+4.8（0≤p≤1）； （ii）f'（p）＝﹣12p2+2p+4（0≤p≤1）， 令f（p）＝﹣12p2+2p+4＝0， 解得， 当时，f′（p）＞0，f（p）单调递增； 当时，f′（p）＜0，f（p）单调递减； ∴f（p）在[0，1]内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 4．（2026春•永川区校级同步）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为ζ，求E（ζ）； （2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求X＝5的概率P，并求P的最大值． 【分析】（1）育苗成功的种子数量为ζ服从二项分布，按照二项分布性质即可得； （2）为了保证X＝5，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5，接着计算其概率，令pq＝t，设函数f（t）＝6t5﹣6t6（t∈（0，1）），分析函数单调性即可得． 【解答】解：（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B， 由题意得P（A）＝p，P（B|A）＝q， 因为， ， 所以， 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为ζ， 根据题意可得， 由此可得； （2）一粒种子种植成功概率为pq， “X＝5”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以； 令pq＝t，设函数f（t）＝6t5﹣6t6（t∈（0，1））， 所以f′（t）＝6t4（5﹣6t）， 当时，f'（t）＞0，当时，f'（t）＜0， 所以f（t）在上单调递增，在上单调递减， 所以f（t）的最大值为， 综上，X＝5的概率P＝6（pq）5﹣6（pq）6，其最大值． 【题型 10：概率递推（马尔可夫）型】 【题型特征】状态只跟上一步有关、无记忆性、传球、换球、走楼梯 【典型例题】 【典例】（2026春•仓山区校级期中）某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和.已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为． （1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线A散步的人数为X，求X的分布列和数学期望； （2）若某居民每天都去湿地散步，记他第n天选择路线A的概率为Pn． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（i）分析第n天选择路线A和路线B情况下第n+1天选择路线A的概率，再由全概率公式列式，求出关系式，利用构造法证明数列是等比数列并求出通项公式； （ii）借助放缩法及等比数列前n项和公式推理得证． 【解答】解：（1）记附近居民第i（i＝1，2）天选择路线A，B分别为事件Ai，Bi， 依题意，，，P（A2|A1）＝P（B2|A1），P（A2|B1），P（B2|B1）， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线A散步的概率， 记第二天选择路线A散步的人数为X，则， 则， ， ， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故X的数学期望； （2）（i）证明：当第n天选择路线A时，第n+1 天选择路线A的概率为， 当第n天选择路线B时，第n+1天选择路线A的概率为， 由全概率公式得， 所以， 而，， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即； （ii）证明：由（i）知， 当n≥2时，， 而，所以， 当n≥2时，， 而， 所以， 所以． 【通关狂练】 1．（2026•蚌埠模拟）某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为0.5，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为0.4、0.6，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为0.4、0.6．经商定，高一篮球队获得首次挑战权． （1）经过3次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）若经过n（n∈N*）次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件An、Bn、∁n． （ⅰ）证明：P（Bn）＝P（∁n）； （ⅱ）证明：当n为偶数时，． 【分析】（1）分析可知随机变量ξ的可能取值有1、2，求出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，进而可求得E（ξ）的值； （2）（i）推导得出P（Bn）＝0.5P（An﹣1）+0.6P（Cn﹣1），P（∁n）＝0.5P（An﹣1）+0.6P（Bn﹣1），两式作差，结合可推得结论成立； （ii）分析可得P（An）＝0.4P（Bn﹣1）+0.4P（Cn﹣1），结合（i）推导得出，可得出，则有是以为首项，为公比的等比数列，求出数列{P（An）}的通项公式，可证得结论成立． 【解答】解：（1）由题意可知，ξ的可能取值为1和2， ξ＝1时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战高二篮球队， 或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三篮球队， 则P（ξ＝1）＝0.5×0.6×0.6+0.5×0.6×0.6＝0.36， 所以P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝1）＝1﹣0.36＝0.64， 则ξ的分布列为： ξ 1 2 P 0.36 0.64 所以E（ξ）＝1×0.36+2×0.64＝1.64； （2）证明：（ⅰ）若第n次挑战权属于高二篮球队， 若第n﹣1次挑战权属于高一篮球队，则第n﹣1次高一篮球队挑战高二篮球队，其概率为0.5P（An﹣1）， 若第n﹣1次挑战权属于高三篮球队，则第n﹣1次高三篮球队挑战高二篮球队，其概率为0.6P（Cn﹣1）， 所以P（Bn）＝0.5P（An﹣1）+0.6P（Cn﹣1）①，同理可得P（∁n）＝0.5P（An﹣1）+0.6P（Bn﹣1）②， ②﹣①得P（Bn）﹣P（∁n）＝﹣0.6（P（Bn﹣1）﹣P（Cn﹣1））， 又因为，所以P（B1）﹣P（C1）＝0， 所以P（Bn）﹣P（∁n）＝0，因此P（Bn）＝P（∁n）； （ii）若第n次挑战权属于高一篮球队， 若第n﹣1次挑战权属于高二篮球队，则第n﹣1次高二篮球队挑战高一篮球队，其概率为0.4P（Bn﹣1）， 若第n﹣1次挑战权属于高三篮球队，则第n﹣1次高三篮球队挑战高一篮球队，其概率为0.4P（Cn﹣1）， 所以P（An）＝0.4P（Bn﹣1）+0.4P（Cn﹣1）③， 由（i）可知，P（Bn）＝0.5P（An﹣1）+0.6P（Cn﹣1）①，P（∁n）＝0.5P（An﹣1）+0.6P（Bn﹣1）②， ①+②，得P（Bn）+P（∁n）＝P（An﹣1）+0.6（P（Bn﹣1）+P（Cn﹣1））， 由③知P（Bn﹣1）+P（Cn﹣1）＝2.5P（An）， 又1﹣P（An）＝P（Bn）+P（∁n）＝P（An﹣1）+1.5P（An）， 整理得， 所以， 第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则P（A1）＝0， 故， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 因此， 所以， 当n为偶数时，，因此． 2．（2026•潍坊模拟）在某智能辅助驾驶车道保持系统中，用数轴描述车辆的横向位置：x＝0表示车辆位于车道中心线上，x＞0表示车辆右偏（如x＝2表示车辆位于中心线右侧2个单位），x＜0表示车辆左偏．一辆装有该系统的车辆从初始位置 x＝k（k为整数）出发，每次受扰动后（扰动来自路面、侧风与传感器噪声等），车辆随机向右移动1个单位的概率为p（0＜p＜1），向左移动1个单位的概率为1﹣p． （1）若k＝0，． （i）求车辆经过10次扰动到达x＝6的概率； （ii）已知车辆经过10次扰动恰好首次到达x＝6，求其没有重返过x＝0的概率． （2）若车辆从初始横向位置x＝k（0≤k≤N，N为给定正整数）出发，当车辆的横向位置到达x＝0或x＝N时，一次监测流程结束．记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期望为Ek，求Ek的表达式（用p，N，k表示）． 【分析】（1）（i）根据独立事件的积事件的概率乘法公式及二项分布的性质，即可求解； （ii）根据独立事件的积事件的概率乘法公式及条件概率公式，即可求解； （2）根据待定系数法，等差数列的定义与通项公式，分布列的概念与期望的定义，即可求解． 【解答】解：（1）（i）记“车辆经过10次扰动到达x＝6”为事件M，由题意可知车辆在10次移动中，8次向右移动，2次向左移动， 所以； （ii）设事件A为“车辆经过10次扰动恰好首次到达x＝6”， 事件B为“车辆移动过程中没有重返过x＝0”， 设第i次向右移动赋值为xi＝1，第i次向左移动赋值为xi＝﹣1， 则10次移动可以表示为有序数组（x1，x2，⋯，x10），其中xi∈{﹣1，1}，i＝1，2，…，10， 记10次移动恰好首次到达x＝6处的路径为（y1，y2，⋯，y10）， 则可得yi中有且仅有两个﹣1，y9＝y10＝1，且y7，y8不同时为﹣1， 所以共有种不同路径，所以， 记10次移动恰好首次到达x＝6处且过程中没有重返x＝0的路径为（z1，z2，⋯，z10）， 此时zi中有且仅有两个﹣1，z1＝z2＝z9＝z10＝1，z3，z4不同时为﹣1，z7，z8不同时为﹣1， 所以共有种不同路径，所以， 所以； （2）设车辆从位置k出发（1≤k≤N﹣1）， 每次有p的概率向右移动到k+1，1﹣p的概率向左移动到k﹣1，每次移动记为1步， 同时，E0＝0，EN＝0， 若第一步向右到k+1，则后续所需的期望步数为Ek+1， 若第一步向左到k﹣1，则后续所需的期望步数为Ek﹣1， 第一步本身消耗1步， 所以p（Ek+1﹣Ek）﹣（1﹣p）（Ek﹣Ek﹣1）＝﹣1， 令dk＝Ek﹣Ek﹣1，则pdk+1﹣（1﹣p）dk＝﹣1， 当时，， ， 令，所以， 因为， ， 所以， 由EN＝0，所以， 解得， 所以， 当时，dk+1﹣dk＝﹣2， 所以{dk}为等差数列，公差为﹣2， 所以dk＝d1﹣2（k﹣1）， ，由E（N）＝0， 得d1＝N﹣1，所以Ek＝k（N﹣k）， 综上所述， 3．（2026•眉山模拟）为培养学生的晨读习惯，某高校推行“每日晨读打卡”学分制度，学生每日需完成线上打卡，打卡结果分为有效打卡和无效打卡，打卡结果如下： ①学生首日进行晨读打卡时，有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ②若前一日为有效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ③若前一日为无效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为． 记事件An：第n天该学生晨读打卡为有效打卡，P（An）表示事件An发生的概率． （1）求P（A2）的值，并推导P（An）与P（An﹣1）的关系式（n≥2，n∈N*）． （2）记该学生前n天晨读打卡中有效打卡的总次数为Xn，E（Xn）为Xn的数学期望． （i）当n＝2时，求X2的分布列与E（X2）； （ii）对任意n≥2，证明：数列是常数数列，并说明其实际意义． 【分析】（1）利用全概率公式，将P（A2）拆分为计算，同样用全概率公式，将P（An）表示为，再代入已知概率化简； （2）（i）先确定X2的所有可能取值，分别计算每种组合的概率得到分布列，再利用期望公式E（X）＝∑xP（X＝x）计算E（X2）； （ii）根据期望的线性性质得到E（Xn）＝E（Xn﹣1）+P（An），将E（Xn）的表达式代入该数列的通项，结合（1）中P（An）与P（An﹣1）的关系式，推导相邻两项的差为0． 【解答】解：（1）由全概率公式得，第2天有效打卡分两种情况：第1天有效次日有效、第1天无效次日有效， 所以； 此时， 可得， 整理得（n≥2）； （2）（i）易得X2的所有可能取值为0，1，2， 此时，，； 则X2的分布列为： X2 0 1 2 P 故； （ii） 证明：易得（为指示变量，第n天有效取1，否则取0）， 所以E（Xn）＝E（Xn﹣1）+P（An）， 对递推式变形得， 因为， 所以对任意恒成立， 此时， 可得， 即数列任意相邻两项相等， 则该数列是常数数列（常数为0）． 实际意义：长期来看，该学生每日晨读有效打卡的概率恒为，前n天有效打卡的期望总次数恒为，说明打卡的概率分布达到稳定状态． 4．（2026•定安县模拟）小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：从第1天开始晨跑，若第i天晨跑，则他第（i+1）天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第n天晨跑的概率为Pn（1≤n≤30，n∈N）． （1）求P1，P2，P3的值； （2）求数列{Pn}的通项公式； （3）若X，Y都是离散型随机变量，则E（X+Y）＝E（X）+E（Y），记小明前n天晨跑的天数为X，求E（X）． 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出P1，P2，P3的值； （2）通过分析Pn与Pn﹣1的关系，构造等比数列，进而求出数列{Pn}的通项公式； （3）利用期望的性质，将E（X）转化为E（X1）+E（X2）+⋯+E（Xn），再根据期望的定义求出E（X）． 【解答】解：从第1天开始晨跑，若第i天晨跑，则他第（i+1）天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑， 设他第n天晨跑的概率为Pn（1≤n≤30，n∈N）． （1）已知第1天一定晨跑，故P1＝1； 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故； 第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为； ②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为； 故． （2）由题意得，n≥3时，第n天晨跑的事件可分为两种互斥情况： 其一是第n﹣1天晨跑且第n天晨跑，其概率为； 其二是第n﹣1天不晨跑且第n天晨跑（这意味着第n﹣2天必须晨跑），其概率为； 所以，即3Pn＝Pn﹣1+2Pn﹣2（n≥3）， 则3Pn＝3Pn﹣1﹣2Pn﹣1+2Pn﹣2（n≥3）， 所以3（Pn﹣Pn﹣1）＝﹣2（Pn﹣1﹣Pn﹣2）（n≥3），即， 所以{Pn+1﹣Pn}是以为首项，为公比的等比数列． 根据等比数列的通项公式可得， 则，，⋯，， 所以数列{Pn}的通项公式为 ； （3）若X，Y都是离散型随机变量，则E（X+Y）＝E（X）+E（Y），记小明前n天晨跑的天数为X， 记小明前n天中，第i天晨跑的次数为Xi， 由题意得，Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝Pi， 因为X＝X1+X2+⋯+Xn，且对于离散型随机变量X，Y，都有E（X+Y）＝E（X）+E（Y）， 所以E（X）＝E（X1）+E（X2）+⋯+E（Xn）＝P1+P2+⋯+Pn ． ( 高频易错归纳 ) 【易错点 1：二项分布 vs 超几何分布分不清】 1、二项分布：有放回抽取，或总体极大近似看作放回 每次概率不变，独立重复试验 2、超几何分布：不放回抽取，总体有限 概率会随抽取发生变化 一句话区分： 题目说 “不放回”→超几何； “有放回、独立、大量”→二项。 【易错点 2：赛制题忘记 “最后一局必胜” 】 错误做法：直接算前 局胜 局 正确做法： 比如 “3 局 2 胜，2-1 结束”： 前 2 局 1 胜 1 负，第 3 局必须胜 结论：赛制终止局 = 获胜方必胜局 【易错点 3：分布列概率和忘记验证】 分布列必须满足 算完一定要检查，不等 1 说明概率算错 【易错点 4：条件概率顺序写反】 ：在 发生的条件下 发生 公式： 常见错误：把分子分母搞反 【易错点 5：递推题把 “多步历史” 代入】 马尔可夫型：只看当前状态，不看以前怎么走过来的 错误：把前好几步都列出来 正确：只列第 步与第 步的关系 【易错点 6：频率分布直方图把 “纵坐标当频率”】 频率 = 纵坐标 × 组距 求参数 ：所有矩形面积相加 = 1 常见错误：直接用纵坐标相加 【易错点 7：期望线性性质乱用】 正确： 错误：（只有独立才成立） 方差：，系数要平方 【易错点 8：游戏闯关题 “未满足条件继续” 漏情况】 闯关：必须前一关成功才能闯下一关 漏解典型：没闯过第一关却算了第二关得分 做法：逐级判断，逐级写概率 学科网（北京）股份有限公司 $