专题14 工程问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题14 工程问题 知识点01：简单的工程问题： 工程问题是研究工作效率、工作时间、工作总量之间相互关系的一类问题。工程问题的基本数量关系式有: 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量的表示方法（具体数量;假设为单位“1”或其他量） 知识点02：工程问题有两种情况： 一种是工作总量、工作效率是具体的数量，如做100个零件，平均每天做20个，几天完成?用100+ 20 = 5（天）解决问题。 另一种是把工作总量看成单位“1”，用单位“1”的几分之几来表示工作效率。如一项工程，甲单独完成要8天，乙单独完成需要10天，两人合作，几天完成?要把这项工程看成单位“1”，甲每天完成这项工程的，乙每天完成这项工程的，用1÷（+）来计算。 知识点03：解题方法： 工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，要认真审题，抓住关键，同时要注意： （1）有些工程问题的工作效率隐藏在条件中，工作过程比较复杂，要通过线段图仔细梳理，灵活应用基本数量关系式； （2）有的工程问题既涉及具体数量，又要把工作总量看成单位“1”，是把工程问题与分数问题结合在一起，关键是找出已知的具体数量与单位“1”之间的对应关系，转化为分数问题解答。 有些工程问题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 【例1】北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 1．妈妈给一批上衣缝纽扣，如果每天缝15件，就比规定的工期晚2天完成；如果每天缝18件，就可比规定的工期提前3天完成。这批上衣共多少件？ 2．建筑队80吨沙子，准备运往工地．大张和小李都想承担运输任务，他们的车速差不多．大张说：“我的车每次可以运6吨，运一次100元．如果全部给我运，运费打九折．”小李说：“我的车每次可以运4吨，运一次70元．如果全部给我运，运费打八折．” ⑴如果你是建筑队队长，让你选择一个人来运，你会选择谁？总运费至少是多少元？ ⑵如果时间紧，由两人来合运，多少次可以运完？总运费是多少元？ 3．某电脑公司计划用9天时间组装电脑630台，实际只用6天就完成了任务，实际每天比计划多组装多少台？ 4．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵。已知甲、乙、丙每天分别能植树24棵、30棵、32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 【例2】加工一批零件，如由甲车间单独加工需要4小时才完成，如由乙车间单独加工需要6小时才完成。如果由甲、乙两个车间一起同时加工，多少小时才完成全部零件的？ 1．一项工程，甲单独做完要30天，乙单独做完要36天，两人合作，甲每做2天后休息1天，乙每做4天后休息1天，两人合作完成这项工作共花去多少天？ 2．现有A、B、C三位老师参加民校联考试卷改阅，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时。 （1）如果三位老师同时改阅需要多少时间？ （2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ （3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？ 3．A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 4．一项工程，甲、乙合作6天可完成，乙、丙合作10天可完成。现在先由甲、乙、丙合作3天后，余下的乙再做6天可完成。乙单独做这项工程需几天完成？ 5．电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 6．修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了600米，这时已修长度和未修长度的比是1∶2，这条公路长多少千米？ 一、填空题 1．一批零件有960个，甲组单独做需要20天完成，乙组单独做需要30天完成。目前甲组已经做了5天，剩下的甲、乙两组合作完成，还要( )天完成。 2．甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，( )天后能够修完这条路。 3．小王、小张、小李各做120个相同的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了60个，照这样计算，小李做完时，小张还有( )个机器零件没有做。 4．麻城杜鹃花海景区要修一条便民公路，甲队单独修要10天，乙队单独修要15天。两队合修几天后，乙队被调走，余下的路由甲队修5天完成，乙队实际修了( )天。 5．甲乙两人一起制作一批手工艺品，甲单独制作20天能完成，乙单独制作16天能完成。在合作过程中，甲因家中有事请假7天，两人合作完成这批手工艺品需要( )天。 6．组委会制作80周年阅兵纪念章，师傅单独制作12小时可完成，徒弟单独制作15小时可完成。师傅和徒弟的工作效率比是( )，两人合作( )小时完成。 7．一份文稿，甲单独打需要6分钟完成，乙单独打需要12分钟完成，如果两人合作，( )分钟就能全部完成。 8．一批非遗手工艺品，王师傅单独做4小时完成，张师傅单独做6小时完成，王师傅和张师傅的工作效率的最简整数比是________；两位师傅合作________小时后，能共同完成这批工艺品的一半。 9．一项工作，甲队单独做需要6小时，乙队单独做需要8小时，甲、乙两队合作( )小时能做完这项工作的一半。 10．今年保定市首届科学运动会如期开展，竞秀区的科学教师和美术教师共同策划并布置科学成果展览。吕老师单独布置需要4小时，韩老师单独布置需要6小时。如果两人合作，需要( )小时能完成布置任务。 11．浩浩单独把教室打扫干净需要6分钟，睿睿单独打扫干净需要8分钟。如果两人一起打扫，多少分钟才能把教室打扫干净？浩浩说：“假设教室有48平方米，可列式为48÷（1÷6＋1÷8）。”睿睿说：“假设教室的面积是1，可列式为1÷（1÷6＋1÷8）。 请选择填空（“正确”或“错误”）：浩浩的想法是( )的，睿睿的想法是( )的。 12．张庄挖一条水渠，3天挖了这条水渠的，平均每天挖这条水渠的，（    ）天能挖完这条水渠的一半。 13．铺完一段路，甲工程队需要6天，乙工程队需要8天。如果两队合作，( )天可以铺完这段路。 14．分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟，B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，( )分钟能分拣完这批快递的，还剩下( )件没有分拣。 15．一批零件，甲单独完成需要3小时，乙单独完成需要4小时，丙单独完成需要5小时。只有两个工位，若想尽快完成这批零件，应该选( )和( )两位工人一起合作，需要( )小时。 16．风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要20天可以完成，乙单独做15天可以完成，现在甲先做了6天，余下的工作由甲乙合作完成。还需要( )天，才能完成全部工作。 17．甲、乙两个工程队要进行一项抢修任务。甲队单独做，4小时能完成；乙队单独做，6小时可以完成。若甲队先做3小时，剩下的工程量让乙队单独做，则还需要( )小时才能完成任务。 18．在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包，需要( )分钟包完；实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了( )分钟。 19．芜湖某汽车零部件厂接到一批订单，甲车间单独加工20小时完成，乙车间单独加工30小时完成，甲、乙两车间合作( )小时可以完成。 20．加工同样的一个零件，王师傅用24分钟，李师傅用18分钟。现在他俩合作加工420个零件，完工时王师傅加工了( )个零件，李师傅加工了( )个零件。 21．茶农采永嘉乌牛早茶，1小时采茶千克，5小时采茶( )千克，采1千克茶叶需要( )小时。 22．建设新环境，卫生要先行。王师傅和李师傅共清除垃圾111吨，王师傅每天清除垃圾7吨。李师傅在王师傅工作的第4天加入，与他一道工作了5天。如果清除1吨垃圾可得13元工资，那么李师傅得到工资( )元，王师傅得到工资( )元。 23．一块草坪，如果甲单独修剪，3小时能修剪完；如果乙单独修剪，5小时能修剪完。如果两人合作修剪，每小时能完成( )，( )小时能修剪完。 24．明明和妹妹帮社区整理图书。如果明明单独整理，10天完成；如果妹妹单独整理，30天完成。现在两人共同整理，在这段时间里明明休息了2天，妹妹休息了8天，两个人没有同一天休息过，从开始整理图书到结束一共用了( )天。 25．一项工程，甲队单独修需要12天完成，乙队单独修需要10天完成。两队合修( )天能修完。 二、选择题 26．某乡村学校有一项工程，甲工程队单独做要8天完成，乙工程队单独做要10天完成，甲工程队和乙工程队的工作效率最简整数比是（    ）。 A． B． C． D． 27．下列问题可用“”解决的是（    ）。 A．计算人均绿地面积 B．计算两队合作铺设步道时间 C．计算混合种植蔬菜总产量 D．计算15分钟步行范围 28．张师傅计划10小时加工完一批零件，实际8小时就加工完了，张师傅的工作效率提高了（    ）。 A．20% B．125% C．80% D．25% 29．修一条路，甲每天修60m，8天修完；乙每天修80m，6天修完。下面说法不正确的是（    ）。 A．两人合修，每天修这条路的 B．甲每天修这条路的 C．两人合修，需要天修完 D．乙每天修这条路的 30．一段公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。计算两队合修几天可以完成，下列算式错误的是（    ）。 A． B． C．30÷（30÷10＋30÷15） D． 31．永新面粉厂小时可以磨面粉吨，照这样计算，小时可以磨面粉多少吨？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 32．甲乙两位工人加工一批零件，甲每小时加工48个，乙6分钟加工5个，（    ）加工得快。 A．甲 B．乙 C．一样快 D．无法确定 33．一项工程若单独完成，甲队需20天，乙队需30天，丙队需24天，丁队需25天。若要求两队合作在13天内完成这项工程，不合适的组合是（    ）。 A．甲队和乙队 B．乙队和丙队 C．丙队和丁队 D．甲队和丁队 34．修一条路，甲每天修50m，6天修完；乙每天修60m，5天修完。下面说法不正确的是（    ）。 A．甲和乙每天修路的长度比是 B．两人合修，每天修这条路的 C．乙每天修这条路的 D．两人合修，需要天 35．宏利机械厂要加工300个零件，如果由甲车间单独加工，需要6小时；如果由乙车间单独加工，需要8小时。现在两个车间同时加工，多少小时能完成？下面列式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 36．都昌南山景区要修建一条路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要18天，甲队先修3天，之后两队合作，还需要（    ）天能修完。 A．5.4 B．8.5 C．10 D．8 37．一篇3600字的文稿，小许单独打出要小时，小周单独打出要小时，两人合作打完这篇文稿需多少小时？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 38．在下面四个实际问题中，不能用“”解决的是（    ）。 A．修一条路，甲队单独修4天完成，乙队单独修6天完成，甲、乙两队合作，几天修完？ B．小明和爷爷在300米的环形步道上散步，小明走一圈要4分钟，爷爷走一圈要6分钟，如果两个人同时同地出发，背向而行，几分钟相遇？ C．要制作30朵绢花，小红每小时制作4朵，小丽每小时制作6朵，两人合作多少小时可以做完？ D．生产一批零件，师傅单独做4小时完成，徒弟单独做6小时完成，师徒二人合作，需要多少小时完成？ 39．下列选项中，不能用“15÷0.5”解决的问题是（    ）。 A．要修一条15千米的小路，每天修0.5千米，几天可以修完？ B．明明用15元买了0.5千克葡萄，每千克葡萄多少元？ C．一个长方形的周长是15厘米，宽是0.5厘米，它的长是多少厘米？ D．冬冬有15元零花钱，是芳芳的0.5倍，芳芳有多少零花钱？ 40．王师傅和李师傅1小时都可以独立做4～5个零件。现在有416个零件，他俩同时做，（    ）小时才能保证做完。 A．52 B．38 C．47 D．104 41．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲乙合作（    ）天可以完成这项工程的一半。 A．2.4 B．4.8 C．3 D．6 42．关于比例，下面说法错误的是（    ）。 A．正方形的周长和边长成正比例。 B．正比例图象的点都在一条直线上。 C．圆锥体积一定，它的底面积和高成反比例关系。 D．一批零件，甲单独完成需要8天，乙单独做需要6天。甲和乙的工作效率之比是4∶3。 43．一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。甲、乙两队工作效率的最简整数比是（    ）。 A．10∶15 B．15∶10 C．3∶2 D．2∶3 44．一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水位降至（    ）米。 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 45．如图，幸福村计划修一条路，求剩下的还要修多少天，列式正确的是（    ）。 A．a÷b－6 B．a÷（b÷6） C．6 D．a－6 46．关于比例下列描述中错误的是（    ）。 A．正方形的周长和边长成正比例。 B．正比例图象的点都在一条直线上。 C．一批零件，甲单独完成需要8天，乙单独做需要6天。甲和乙的工作效率之比是4∶3。 D．在比例里，两个外项的积减去两个内项的积一定等于0。 47．一段公路长30km，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。求两队合修几天可以完成？下列算式中错误的是（    ）。 A．30÷（30÷10＋30÷15） B． C．30÷（10＋15） D． 48．四川青神竹编的非遗传承人李师傅和王师傅，分别需要3天和4天才能完成一件竹篓的制作，两人合作完成7件竹篓需要（    ）天。 A．12 B．18 C．20 D．24 49．修一条路，计划10天修完，实际8天修完。计划的工效与实际工效的最简整数比是（    ）。 A．5∶4 B． C．4∶5 D．10∶8 50．“颗粒归仓，饭碗更牢”，冬小麦是夏收的主体粮食，每年五、六月份的麦收牵动人心。一个收割机团队计划每天收割20公顷麦地，6天收割完。实际每天比计划多收割，实际用了多少天？设实际用了x天，下面正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 三、解答题 51．甬舟铁路是一条连接宁波市与舟山市的高速铁路，全长77千米，其中“甬舟号”盾构机和“定海号”盾构机要用100天的时间合作开凿一段长2200米的隧道。已知“甬舟号”盾构机每天挖的长度是“定海号”的120%，“定海号”每天挖多长？ 52．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需6个小时，单独开乙进水管放满游泳池需8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要12个小时。游泳池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管，几小时后游泳池水能满？ 53．有两个装有同样货物的仓库A、B。搬运一个仓库的货物，甲需要12小时，乙需要24小时，丙需要8个小时。甲负责搬仓库A，乙负责搬仓库B，丙先在仓库A，后转去仓库B，最后两个仓库的货物同时被搬完，求丙在两个仓库各多长时间？ 54．甲、乙两个修路队共同修一段长125千米的路，甲队每天修4千米，修了2天后，乙队加入，两队共修了13天后全部修完。乙队每天修多少千米？ 55．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 56．现有一批沙棘树苗共2340株，需种植于一沙地。甲工人单独种需12小时；乙工人单独种需15小时。现两人全程合作种完这批树苗。完工时，甲工人种了多少株？ （1）根据以下两位同学的思路，完成填空。 小梦：可以先计算两人合作的工作时间，再利用“_______×______＝工作量”的数量关系解决问题。 小晨：既表示两人的_____之比，也表示_____之比。 （2）我选择了_____的解题思路，并列式解答。 57．修一条公路，甲、乙两队合作6天可以完成。现由甲队独修5天后，再由乙队独做3天，还剩全部工程的没有完成。已知甲队每天比乙队多修30米，这条公路长多少米？ 58．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，现在两人一起做，中途乙休息了几天，结果从开始到结束一共用了15天，请问乙休息了几天？ 59．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 60．加工一批零件，王师傅单独做需要15天完成，李师傅单独做需要10天完成。现在两人一起做，需要几天完成？ 61．一间房，由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天盖好？ 62．一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 63．加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 64．一项工作，甲、乙、丙二人一起做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙一起做需几小时完成？ 65．一项工程，甲、乙、丙三人做。原计划按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；若按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；已知甲、乙合作同时做需要天完成，且为整数天，。请写出的所有取值。 66．某项工程，甲队单独施工需要72天，乙队的工作效率是甲队的1.6倍，丙队总是先施工5天，然后休息2天，施工5天，再休息2天，……，三队同时施工，20天完成整项工程，那么丙队单独完成整项工程需要多少天？ 67．水池有甲、乙、丙、丁、戊5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，甲、乙3小时注满。乙、丙12小时注满。丙、丁5小时注满。丁、戊4小时注满。戊、甲9小时注满。那么单开所有进水管，最快几小时注满？ 68．一个水池装有两根进水管和一根出水管，单开甲进水管12分钟可以将空池注满，单开乙进水管20分钟可以将空池注满。单开丙出水管15分钟可以将满池水放完。现准备对空水池注水，先单开甲管4分钟后，再将三根水管同时打开，还要多少分钟可将水池注满？ 69．甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李师傅单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作完成，那么完成这两项工作，下列两种合作方案，哪种需要天数最少？ 方案一：甲工作和乙工作都由两位师傅合作完成； 方案二：先让李师傅单独完成甲工作，同时让张师傅单独完成乙工作，8天后，再让李师傅和张师傅一起合作完成剩余的乙工作。 70．一项工作，甲每天做8小时，30天能完成（不休息），乙每天做10小时，22天能完成（不休息）。甲每做6天要休息一天，乙每做5天要休息一天，现两队合作，每天都做8小时，做了13天（包括休息日在内）后，由甲独做，每天做6小时，那么完成这项工作共用了多少天？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 工程问题 知识点01：简单的工程问题： 工程问题是研究工作效率、工作时间、工作总量之间相互关系的一类问题。工程问题的基本数量关系式有: 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量的表示方法（具体数量;假设为单位“1”或其他量） 知识点02：工程问题有两种情况： 一种是工作总量、工作效率是具体的数量，如做100个零件，平均每天做20个，几天完成?用100+ 20 = 5（天）解决问题。 另一种是把工作总量看成单位“1”，用单位“1”的几分之几来表示工作效率。如一项工程，甲单独完成要8天，乙单独完成需要10天，两人合作，几天完成?要把这项工程看成单位“1”，甲每天完成这项工程的，乙每天完成这项工程的，用1÷（+）来计算。 知识点03：解题方法： 工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，要认真审题，抓住关键，同时要注意： （1）有些工程问题的工作效率隐藏在条件中，工作过程比较复杂，要通过线段图仔细梳理，灵活应用基本数量关系式； （2）有的工程问题既涉及具体数量，又要把工作总量看成单位“1”，是把工程问题与分数问题结合在一起，关键是找出已知的具体数量与单位“1”之间的对应关系，转化为分数问题解答。 有些工程问题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 【例1】北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 【答案】200米 【分析】由题意可知，工作总量不变，那么每天修的长度和需要的天数成反比例，实际需要的天数×实际每天修的长度＝原计划需要的天数×原计划每天修的长度，据此解答。 【详解】解：设天天工程队每天要修x米。 （50－10）x＝160×50 40x＝160×50 40x＝8000 x＝8000÷40 x＝200 答：天天工程队每天要修200米。 1．妈妈给一批上衣缝纽扣，如果每天缝15件，就比规定的工期晚2天完成；如果每天缝18件，就可比规定的工期提前3天完成。这批上衣共多少件？ 【答案】450件 【分析】这批上衣的数量是固定的，把这批上衣的数量看作单位“1”，如果每天缝15件，需要的时间是；每天缝18件，需要的时间是，则每天缝15件和18件所需时间的差是（），而实际的时间差为（2＋3＝5）天；用实际差的天数除以（），所得结果即为这批上衣的件数。 【详解】 （件） 答：这批上衣共450件。 2．建筑队80吨沙子，准备运往工地．大张和小李都想承担运输任务，他们的车速差不多．大张说：“我的车每次可以运6吨，运一次100元．如果全部给我运，运费打九折．”小李说：“我的车每次可以运4吨，运一次70元．如果全部给我运，运费打八折．” ⑴如果你是建筑队队长，让你选择一个人来运，你会选择谁？总运费至少是多少元？ ⑵如果时间紧，由两人来合运，多少次可以运完？总运费是多少元？ 【答案】（1）小李；1120元； （2）8次；1360元 【详解】⑴80÷6≈14（次）  14×100×0.9=1260（元） 80÷4=20（次）   20×70×0.8=1120（元） 1120﹤1260 答：选择小李运．总运费1120元． ⑵80÷（6+4）=8（次） 8×（100+70）=1360（元）   答：8次运完，总运费1360元． 3．某电脑公司计划用9天时间组装电脑630台，实际只用6天就完成了任务，实际每天比计划多组装多少台？ 【答案】35台 【分析】要求实际每天比计划多组装台数，需求出实际每天组装的台数和计划每天组装的台数，已知计划用的天数、实际用的天数和组装总任务，即可求出计划每天组装的台数和实际每天组装的台数，从条件到问题依次列式问题解决． 【详解】630÷6﹣630÷9， =105﹣70， =35（台）； 答：实际每天比计划多组装35台． 4．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵。已知甲、乙、丙每天分别能植树24棵、30棵、32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 【答案】第11天 【分析】已知A地要植树的棵数，B地要植树的棵数，求出植树的总棵数，用植树的总棵数除以甲、乙、丙三人每天植树的总棵数，求出需要植树的总天数；根据植树总棵树＝每天植树的棵数×需要植树的总天数，求出甲在A地植树总棵数，用A地要植树的棵树减去甲在A地植树棵数，则是需要乙在A地植树的棵数，再根据植树天数＝植树总棵数÷每天植树的棵数，由此即可求出乙在A地植树天数。 【详解】（900＋1250）÷（24＋30＋32） ＝2150÷（54＋32） ＝2150÷86 ＝25（天） （900－25×24）÷30 ＝（900－600）÷30 ＝300÷30 ＝10（天） 10＋1＝11（天） 答：乙应在开始后第11天从A地转到B地。 【例2】加工一批零件，如由甲车间单独加工需要4小时才完成，如由乙车间单独加工需要6小时才完成。如果由甲、乙两个车间一起同时加工，多少小时才完成全部零件的？ 【答案】小时 【分析】把这批零件的总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷4和1÷6求得甲车间和乙车间各自的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和。用除以两个车间的工作效率和，即可求出多少小时能完成这批零件的。 【详解】÷（1÷4＋1÷6） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：小时才完成全部零件的。 1．一项工程，甲单独做完要30天，乙单独做完要36天，两人合作，甲每做2天后休息1天，乙每做4天后休息1天，两人合作完成这项工作共花去多少天？ 【答案】22天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，甲的工作效率是，一个周期3天完成×2＝；乙的工作效率是，一个周期5天完成。甲乙合作15天可完成工作量是，剩余工作量，再合作7天（相当于的一半，7天大致相当于15天的一半）时，甲完成，乙完成，，刚好完成工作量，所以总合作天数15＋7＝22（天）。 【详解】甲3天完成工作量：×2＝ 乙5天完成工作量： 甲乙合作15天完成工作量： ＝ 剩余工作量： 再合作7天甲完成工作量： ＝5 再合作7天乙完成工作量： ＝ ，刚好完成工作量。 总天数：15＋7＝22（天） 答：两人合作完成这项工作共花去22天。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。 2．现有A、B、C三位老师参加民校联考试卷改阅，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时。 （1）如果三位老师同时改阅需要多少时间？ （2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ （3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？ 【答案】（1）小时 （2）小时 （3）可以 【分析】（1）可以根据工程问题进行分析，将工作总量（试卷总数）看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，工作总量÷三人效率和＝同事改阅需要的时间； （2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则每3小时3人能完成总量的，又因为3人同时完成需要小时，不到3小时，因此只能进行两轮，两轮后还剩下全部的：，计算得，A再做1小时后还剩下，B还需要，计算得小时，所以共需要2×3小时＋1小时＋小时。 （3）C老师的效率比较高，要想提前半小时完成，先让C老师改卷，A老师最后改卷，按C、B、A的顺序，2轮之后剩余工作量：，计算得，剩余工作量由C老师独做1小时后剩下：，最后剩余的工作量由B独做需要的时间：，计算得小时，所以共需要2×3小时＋1小时＋小时，与第（2）题中的时间求差，再统一单位即可。 【详解】（1） （小时） 答：如果三位老师同时改阅需要小时。 （2）两轮后剩余工作量为： 剩余工作量由A独做1小时后剩下： 最后剩下的工作量由B独做需要的时间： （小时） 因此，总共需要的时间： 2×3＋1＋ ＝6＋1＋ ＝（小时） 答：改阅完全部试卷需要小时。 （3）按C、B、A的顺序，2轮之后剩余工作量： 剩余工作量由C独做1小时后剩下： 最后剩余的工作量由B独做需要的时间： （小时） 因此，总共需要的时间： 2×3＋1＋ ＝6＋1＋ ＝（小时） －＝－＝（小时） ×60＝32（分钟） 答：可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。 3．A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】（1）甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时 （2）11小时 【分析】（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和＝两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可。 （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷0.5求出甲的效率。设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：6－0.5＝5.5（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，甲队工作量＋乙队工作量＝1，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间。 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。 9：00－7：00＝2（小时） 2小时＋0.5小时＝2.5小时 2×（x＋5）＋2.5x＝176－1 2×x＋2×5＋2.5x＝175 3x＋10＋2.5x＝175 5.5x＝175－10 5.5x＝165 x＝165÷5.5 x＝30 30×＋5 ＝45＋5 ＝50（千米/小时） 答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时。 （1）÷0.5＝÷＝×2＝ 解：设乙的工作效率为y。 ×6＋（6－0.5）y＝1 0.5＋5.5y＝1 5.5y＝1－0.5 5.5y＝0.5 y＝0.5÷5.5 y＝ 1÷＝11（小时） 答：乙队单独疏通这条公路的效率是11小时。 【点睛】本题主要考查工程问题，关键是掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键。 4．一项工程，甲、乙合作6天可完成，乙、丙合作10天可完成。现在先由甲、乙、丙合作3天后，余下的乙再做6天可完成。乙单独做这项工程需几天完成？ 【答案】15天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙的合作工效和乙、丙的合作工效； 已知先由甲、乙、丙合作3天后，余下的乙再做6天可完成，可以看作由甲、乙合作3天，乙、丙合作3天，再由乙做6－3＝3天完成这项工程； 先根据“合作工作量＝合作工效×合作时间”，求出合作3天完成的工作量，再用工作总量“1”减去完成的工作量，即是余下由乙做3天需完成的工作量，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，求出乙的工作效率； 最后根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”，求出乙单独做这项工程需要的天数。 【详解】甲、乙的合作工效：1÷6＝ 乙、丙的合作工效：1÷10＝ 合作3天完成的工作量： （＋）×3 ＝（＋）×3 ＝×3 ＝ 乙的工作效率： （1－）÷（6－3） ＝÷3 ＝× ＝ 乙单独完成的天数： 1÷ ＝1×15 ＝15（天） 答：乙单独做这项工程需15天完成。 【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，把工作方式转化成“甲、乙合作3天，乙、丙合作3天，再由乙做3天完成”是解题的关键。 5．电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【答案】1991元 【分析】要使经济损失最小，需将修复时间短的车辆优先分配给工人，减少总停开时间。将7辆车的修复时间从小到大排序为8、12、14、17、18、23、30分钟。分配给3名工人时，尽量均衡各组的总停开时间。最优分配为：工人①修8、14、18分钟的车，总停开时长为8＋8＋14＋8＋14＋18＝70分钟。工人②修17、23分钟的车，总停开时长为17＋17＋23＝57分钟。工人③修12、30分钟的车，总停开时长为12＋12＋30＝54分钟。把3名工人总停开时长相加后再与11相乘即可解答。 【详解】将修复时间排序：8、12、14、17、18、23、30分钟。 工人①：8、14、18分钟，停开时间总和：8＋8＋14＋8＋14＋18＝70（分钟） 工人②：17、23分钟，停开时间总和：17＋17＋23＝57（分钟） 工人③：12、30分钟，停开时间总和：12＋12＋30＝54（分钟） （70＋57＋54）×11 ＝181×11 ＝1991（元） 答：最少损失1991元。 【点睛】本题可根据要使经济损失降到最低，应让修复用时短的车辆优先维修，且使三名工人的工作时间尽量均匀的原则来安排维修顺序，进而计算出最少损失。 6．修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了600米，这时已修长度和未修长度的比是1∶2，这条公路长多少千米？ 【答案】12.6千米 【分析】已知已修长度和未修长度的比是1∶2，那么已修长度占总长度的比例为1÷（12）＝1÷3＝。第一周修了全长的，已修长度占总长度的，所以第二周修的长度占总长度的（）。 已知第二周修了600米，且第二周修的长度占总长度的（），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。即用600除以（）即可解答。 【详解】1÷（12） ＝1÷3 ＝ 600÷（） ＝600÷（） ＝600÷ ＝600×21 ＝12600（米） 1千米＝1000米 12600÷1000＝12.6（千米） 答：这条公路长12.6千米。 一、填空题 1．一批零件有960个，甲组单独做需要20天完成，乙组单独做需要30天完成。目前甲组已经做了5天，剩下的甲、乙两组合作完成，还要( )天完成。 【答案】 9 【分析】根据题意，首先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别计算出甲组和乙组每天做的零件个数（即工作效率）；接着根据“工作量＝工作效率×工作时间”，计算甲组先做5天完成的零件个数，再用总个数减去已完成的个数，求出剩余工作量；然后求出甲、乙两组合作每天做的零件个数之和（即合作工作效率）；最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，用剩余工作量除以合作工作效率，即可求出还需要的天数。 【详解】960÷20＝48（个） 960÷30＝32（个） 960－（48×5） ＝960－240 ＝720（个） 720÷（48＋32） ＝720÷80 ＝9（天） 2．甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，( )天后能够修完这条路。 【答案】30 【分析】设x天后能够修完这条路；甲队平均每天修70米，x天修70x米；乙队平均每天修50米，x天修50x米，甲队修的长度＋乙队修的长度＝公路的长度，列方程：70x＋50x＝3600，解方程，即可解答。 【详解】解：设x天后能够修完这条路。 70x＋50x＝3600 120x＝3600 120x÷120＝3600÷120 x＝30 甲乙两个工程队合修一条长3600米的公路。他们从两端同时开工，甲队平均每天修70米，乙队平均每天修50米，30天后能够修完这条路。 3．小王、小张、小李各做120个相同的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了60个，照这样计算，小李做完时，小张还有( )个机器零件没有做。 【答案】48 【分析】工作时间相同的情况下，工作效率之比＝完成的工作量之比。小王、小李、小张的工作量分别为120、100、60，化简后得到效率比为 6∶5∶3。小李的效率占5份，小张占3份，则此时小张完成的零件数是小李的，当小李完成总工作量120个时，用小李完成数量乘，求出小张完成的数量。再用总工作量减去小张完成的数量，求出未做的零件数。 【详解】120∶100∶60 ＝（120÷20）∶（100÷20）∶（60÷20） ＝ 6∶5∶3 120×＝72（个） 120－72＝48（个） 所以小李做完时，小张还有48个机器零件没有做。 【点睛】本题关键在于：利用“相同时间内，工作效率之比等于工作量之比”这一工程问题的核心关系，先得出小李与小张的效率比为5：3，再按比例算出小李完成全部零件时小张的完成量，最终求出剩余数量。 4．麻城杜鹃花海景区要修一条便民公路，甲队单独修要10天，乙队单独修要15天。两队合修几天后，乙队被调走，余下的路由甲队修5天完成，乙队实际修了( )天。 【答案】3 【分析】将这条路的总长，即工作总量看作单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，工作总量－甲队工作效率×单独工作时间＝两队合作工作量，两队合作工作量÷两队效率和＝合作时间，即乙队实际修的时间。 【详解】 （天） 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。 5．甲乙两人一起制作一批手工艺品，甲单独制作20天能完成，乙单独制作16天能完成。在合作过程中，甲因家中有事请假7天，两人合作完成这批手工艺品需要( )天。 【答案】12 【分析】把制作一批手工艺品的总工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可知甲乙的工作效率分别是、。甲请假的7天里，乙单独工作了7天，完成的工作量是×7，则合作的时间＝（1－乙单独完成的工作量）÷（甲的工作效率＋乙的工作效率），那么整批工艺品完成的时间是合作的时间与乙单独工作的7天的和，据此解答。 【详解】（1－×7）÷（＋）＋7 ＝（1－）÷＋7 ＝÷＋7 ＝×＋7 ＝5＋7 ＝12（天） 6．组委会制作80周年阅兵纪念章，师傅单独制作12小时可完成，徒弟单独制作15小时可完成。师傅和徒弟的工作效率比是( )，两人合作( )小时完成。 【答案】 5∶4 【分析】把总工作量看作单位“1”。分别用“1÷工作时间＝工作效率”计算出师傅和徒弟的工作效率，然后根据比的基本性质化为最简整数比，最后再依据“工作总量÷工作效率＝工作时间”计算出合作的工作时间。 【详解】 ∶＝（×60）∶（×60）＝5∶4 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 7．一份文稿，甲单独打需要6分钟完成，乙单独打需要12分钟完成，如果两人合作，( )分钟就能全部完成。 【答案】4 【分析】把这份文稿的工作量看作单位“1”。因为工作效率＝工作总量÷工作时间，所以分别计算甲、乙的工作效率。因为两人合作的工作效率为甲、乙工作效率之和，再根据工作时间＝工作总量÷合作工作效率，所以可求出合作完成的时间。 【详解】 ＝1×4 ＝4（分钟） 即如果两人合作，4分钟就能全部完成。 8．一批非遗手工艺品，王师傅单独做4小时完成，张师傅单独做6小时完成，王师傅和张师傅的工作效率的最简整数比是________；两位师傅合作________小时后，能共同完成这批工艺品的一半。 【答案】 3∶2 【分析】（1）根据题意，王师傅的工作效率是，张师傅的工作效率是，写出两人的工作效率之比，根据比的基本性质化简成最简整数比。 （2）根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”计算，两人合作的工作总量是，工作效率之和是。 【详解】（1）∶ ＝∶ ＝3∶2 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 9．一项工作，甲队单独做需要6小时，乙队单独做需要8小时，甲、乙两队合作( )小时能做完这项工作的一半。 【答案】 【分析】将这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷6、1÷8分别得到甲、乙每小时各完成这项工程的几分之几（效率），再根据合作时间＝合作工作总量÷效率和，代入数据计算，即可求出甲、乙合作时间，再除以2即可求出合作多少小时能做完这项工作的一半。 【详解】1÷6＝ 1÷8＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） ÷2 ＝× ＝（小时） 因此甲、乙两队合作小时能做完这项工作的一半。 10．今年保定市首届科学运动会如期开展，竞秀区的科学教师和美术教师共同策划并布置科学成果展览。吕老师单独布置需要4小时，韩老师单独布置需要6小时。如果两人合作，需要( )小时能完成布置任务。 【答案】 【分析】把布置展览的总工作量看作单位“1”。吕老师的工作效率是；韩老师工作效率是，两人合作效率是“＋”，根据“工作时间＝总工作量÷两人效率和”可计算出工作时间。 【详解】 （小时） 11．浩浩单独把教室打扫干净需要6分钟，睿睿单独打扫干净需要8分钟。如果两人一起打扫，多少分钟才能把教室打扫干净？浩浩说：“假设教室有48平方米，可列式为48÷（1÷6＋1÷8）。”睿睿说：“假设教室的面积是1，可列式为1÷（1÷6＋1÷8）。 请选择填空（“正确”或“错误”）：浩浩的想法是( )的，睿睿的想法是( )的。 【答案】 错误 正确 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，算出他们的工作效率；再根据工作时间＝工作总量÷工作效率之和解决。 【详解】浩浩的想法：假设教室有48平方米。 浩浩的工作效率是48÷6＝8（平方米/分） 睿睿的工作效率是48÷8＝6（平方米/分） 他们需要的时间列式为：48÷（48÷6＋48÷8） 而浩浩的列式为：48÷（1÷6＋1÷8） 所以浩浩的想法是错误的。 睿睿的想法：假设教室的面积是1。 浩浩的工作效率是1÷6＝ 睿睿的工作效率是1÷8＝ 他们需要的时间列式为：1÷（1÷6＋1÷8） 所以睿睿的想法是正确的。 12．张庄挖一条水渠，3天挖了这条水渠的，平均每天挖这条水渠的，（    ）天能挖完这条水渠的一半。 【答案】；6 【分析】工作总量÷工作时间＝工作效率，用÷3，据此求出平均每天挖这条水渠的几分之几； 工作总量÷工作效率＝工作时间，据此求出挖完这条水渠的一半所用的时间；把水渠总长度看作单位“1”，水渠长度的一半是，再用除以平均每天挖水渠的分率，即可求出多少天能挖完这条水渠的一半。 【详解】÷3 ＝× ＝ ÷ ＝×12 ＝6（天） 13．铺完一段路，甲工程队需要6天，乙工程队需要8天。如果两队合作，( )天可以铺完这段路。 【答案】 【分析】把这段路的总工作量看作单位“1”。甲工程队的工作效率为1÷6​；乙工程队的工作效率为1÷8；再计算两队合作的工作效率为。根据工作时间＝工作总量÷工作效率，可得两队合作完成所需时间，由此解答即可。 【详解】 甲工程队的工作效率为​ 乙工程队的工作效率为​ 两队合作的工作效率为​ 两队合作完成所需时间为（天） 因此，如果两队合作，天可以铺完这段路。 14．分拣机器人是一种具备了传感器、物镜和电子光学系统的机器人，可以快速进行货物分拣。现有3600件快递需要分拣，A品牌分拣机器人单独分拣完要20分钟，B品牌分拣机器人单独分拣完要15分钟。如果两个分拣机器人合作，( )分钟能分拣完这批快递的，还剩下( )件没有分拣。 【答案】 6 1080 【分析】将这批快递的总量看作单位“1”。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出 A、B 两个品牌分拣机器人的工作效率，再求出合作效率。最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，求出分拣完这批快递的所需的时间。 已知快递总数为3600件，已完成 ，则剩下占总数的 （1−）。根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，计算剩下的件数。 【详解】÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（分钟） 3600× （1−） ＝3600× ＝1080（件） 如果两个分拣机器人合作，6分钟能分拣完这批快递的，还剩下1080件没有分拣。 15．一批零件，甲单独完成需要3小时，乙单独完成需要4小时，丙单独完成需要5小时。只有两个工位，若想尽快完成这批零件，应该选( )和( )两位工人一起合作，需要( )小时。 【答案】 甲 乙 【分析】要想尽快完成，应选择工作效率较高的两位工人一起合作，将工作总量看成单位“1”，分别求出三人的工作效率，比较大小。用单位“1”除以两人合作的工作效率和，即为需要的时间。 【详解】1÷3＝ 1÷4＝ 1÷5＝ 应该选择甲和乙合作。 1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 16．风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要20天可以完成，乙单独做15天可以完成，现在甲先做了6天，余下的工作由甲乙合作完成。还需要( )天，才能完成全部工作。 【答案】6 【分析】把一批风筝看作单位“1”，甲单独做需要20天完成，则甲的效率为；乙单独做需要15天完成，则乙的效率为。根据总量＝效率×时间，用甲的效率乘6求出甲完成的量，余下的量＝单位“1”－甲完成的量。再根据合作时间＝合作总量÷效率和，用余下的量除以甲乙两人的效率和求出合作时间。 【详解】甲的效率： 乙的效率： （天） 还需要6天，才能完成全部工作。 17．甲、乙两个工程队要进行一项抢修任务。甲队单独做，4小时能完成；乙队单独做，6小时可以完成。若甲队先做3小时，剩下的工程量让乙队单独做，则还需要( )小时才能完成任务。 【答案】 1.5/ 【分析】把工作总量看作单位“1”，工作总量÷甲队工作时间＝甲队工作效率；工作总量÷乙队工作时间＝乙队工作效率；甲队工作效率×甲队工作时间＝甲队完成工作量；工作总量－甲队完成工作量＝剩余工作量；剩余工作量÷乙队工作效率＝乙队工作时间。 【详解】 ＝×6 ＝ ＝1.5（小时） 18．在北方，立冬有吃饺子的习惯。明明家在立冬这天也想要吃饺子。若让妈妈一个人包，则需要20分钟包完，若让爸爸一个人包，则需要30分钟包完。爸爸妈妈同时包，需要( )分钟包完；实际上，妈妈先包了10分钟，然后爸爸和妈妈同时包，直至包完，实际用了( )分钟。 【答案】 12 16 【分析】把包饺子的总任务量看作单位“1”，妈妈单独包完需要20分钟，那么她每分钟能完成全部任务的；爸爸单独包完需要30分钟，他每分钟能完成全部任务的。 两人一起包时，每分钟能完成的任务量，就是妈妈和爸爸的效率之和，用总任务量1除以效率之和，就能算出合作完成的时间。 用妈妈的效率乘10，求出妈妈10分钟完成的任务量，用总任务量减去已经完成的任务量求出剩下的任务量；用剩下的任务量除以两人的效率之和算出合作时间，再将合作时间与妈妈最先单独包的时间相加即可求出实际用的总时间。 【详解】1÷20＝ 1÷30＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝12（分钟） 爸爸妈妈同时包，需要12分钟。 （1－×10）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（分钟） 10＋6＝16（分钟） 直至包完，实际用了16分钟。 19．芜湖某汽车零部件厂接到一批订单，甲车间单独加工20小时完成，乙车间单独加工30小时完成，甲、乙两车间合作( )小时可以完成。 【答案】12 【分析】合作时间＝合作总量÷效率和。把一批订单看作单位“1”，根据效率＝总量÷时间，则甲车间的效率为，乙车间的效率为，合作总量为单位“1”，代入公式计算。 【详解】 （小时） 甲、乙两车间合作12小时可以完成。 20．加工同样的一个零件，王师傅用24分钟，李师傅用18分钟。现在他俩合作加工420个零件，完工时王师傅加工了( )个零件，李师傅加工了( )个零件。 【答案】 180 240 【分析】先求出王师傅和李师傅的时间比是24∶18＝4∶3，因为工作效率和工作时间成反比，所以两人的效率比为3∶4，求出总份数为7份，进而求出王师傅加工零件数占总零件数的，李师傅加工零件数占总零件数的。最后，用总零件数分别乘各自对应的分数，求出两人各自加工的数量。 【详解】24∶18 ＝（24÷6）∶（18÷6） ＝4∶3 王师傅：420× ＝420× ＝180（个） 李师傅：420× ＝420× ＝240（个） 21．茶农采永嘉乌牛早茶，1小时采茶千克，5小时采茶( )千克，采1千克茶叶需要( )小时。 【答案】 4 【分析】工作总量＝工作效率×工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率，把数据代入计算即可解答。 【详解】×5＝（千克） 1÷＝1×4＝4（小时） 所以，1小时采茶千克，5小时采茶千克，采1千克茶叶需要4小时。 22．建设新环境，卫生要先行。王师傅和李师傅共清除垃圾111吨，王师傅每天清除垃圾7吨。李师傅在王师傅工作的第4天加入，与他一道工作了5天。如果清除1吨垃圾可得13元工资，那么李师傅得到工资( )元，王师傅得到工资( )元。 【答案】 715 728 【分析】由题意分析可知，王师傅一共清除垃圾的天数是4＋5－1＝8天，所以根据王师傅每天清除垃圾的吨数，可以求出王师傅一共清除垃圾的总吨数，再用王师傅清除垃圾的吨数乘清除1吨垃圾的工资，就可求出王师傅得到的工资金额。 又因为两人一共清除垃圾111吨，所以李师傅清除垃圾的吨数＝总吨数－王师傅清除垃圾吨数，求李师傅工资金额，就用李师傅清除垃圾的吨数乘清除1吨垃圾的工资。 【详解】王师傅：4＋5－1＝8（天） 8×7×13 ＝56×13 ＝728（元）所以王师傅得到工资728元。 李师傅：（111－8×7）×13 ＝（111－56）×13 ＝55×13 ＝715（元）所以李师傅得到工资715元。 23．一块草坪，如果甲单独修剪，3小时能修剪完；如果乙单独修剪，5小时能修剪完。如果两人合作修剪，每小时能完成( )，( )小时能修剪完。 【答案】 【分析】把修剪草坪看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲工作效率和乙工作效率，再把他们的工作效率相加即可；再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以甲乙的工作效率和即可。 【详解】1÷3＝ 1÷5＝ ＋ ＝＋ ＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 24．明明和妹妹帮社区整理图书。如果明明单独整理，10天完成；如果妹妹单独整理，30天完成。现在两人共同整理，在这段时间里明明休息了2天，妹妹休息了8天，两个人没有同一天休息过，从开始整理图书到结束一共用了( )天。 【答案】11 【分析】把整理图书的工作量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出明明和妹妹的工作效率；设从开始整理图书到结束一共用了x天，明明休息2天，工作了（x－2）天，妹妹休息8天，工作了（x－8）天，利用等量关系式：明明的工作总量＋妹妹的工作总量＝总工作量单位“1”，列方程计算。 【详解】明明单独整理每天完成1÷10＝，妹妹单独整理每天完成1÷30＝。 解：设从开始整理图书到结束一共用了x天。 （x－2）＋（x－8）＝1 3（x－2）＋（x－8）＝30 3x－3×2＋x－8＝30 3x－6＋x－8＝30 4x－14＝30 4x＝30＋14 4x＝44 x＝44÷4 x＝11 答：从开始整理图书到结束一共用了11天。 25．一项工程，甲队单独修需要12天完成，乙队单独修需要10天完成。两队合修( )天能修完。 【答案】 【分析】用“1”表示工作总量，分别表示出甲乙的工作效率，再用总工作量除以他们的工作效率和即等于两队合修完成这项工程需要的时间。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 二、选择题 26．某乡村学校有一项工程，甲工程队单独做要8天完成，乙工程队单独做要10天完成，甲工程队和乙工程队的工作效率最简整数比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据“工作总量÷工作时间＝工作效率”分别求出甲和乙的工作效率，根据比的意义，写出甲队与乙队的工作效率之比，并根据比的基本性质化简比。 【详解】（1÷8）∶（1÷10） ＝∶ ＝（×40）∶（×40） ＝5∶4 27．下列问题可用“”解决的是（    ）。 A．计算人均绿地面积 B．计算两队合作铺设步道时间 C．计算混合种植蔬菜总产量 D．计算15分钟步行范围 【答案】B 【分析】1表示工作量，和 分别表示两个个体的工作效率，＋表示两个工作效率的和，根据工作时间＝工作量÷工作效率，1除以两个工作效率和，求的是合作时间，据此逐项分析解答。 【详解】A．计算人均绿地面积，数量关系为：绿地总面积 ÷ 总人数，不符合题意。 B．计算两队合作铺设步道时间，属于工程问题。若把铺设步道的工作总量看作单位“1”，a、b分别为两队单独完成所需时间，则合作时间为1÷（＋），符合题意。 C．计算混合种植蔬菜总产量，数量关系通常为：各部分产量之和或面积乘单产，不符合题意。 D．计算15分钟步行范围，数量关系为：速度×时间，属于乘法运算，不符合题意。 “1÷（＋）”解决的是计算两队合作铺设步道时间。 28．张师傅计划10小时加工完一批零件，实际8小时就加工完了，张师傅的工作效率提高了（    ）。 A．20% B．125% C．80% D．25% 【答案】D 【分析】把这批零件总工作量看作单位“1”，先分别算出计划、实际的工作效率，再算出效率提升的部分，最后用提升的部分÷计划效率×100%得到效率提高的百分数。 【详解】 29．修一条路，甲每天修60m，8天修完；乙每天修80m，6天修完。下面说法不正确的是（    ）。 A．两人合修，每天修这条路的 B．甲每天修这条路的 C．两人合修，需要天修完 D．乙每天修这条路的 【答案】B 【分析】把修这条路的工程量看作单位“1”，依据工作效率＝工作总量“1”÷工作时间，可知甲单独工作的工作效率是，乙单独工作的工作效率是。那么两人合作后，把两人工作效率相加，合作的工作时间＝工作总量“1”÷工作效率和，据此解答。 【详解】A．两人合作的工作效率是，则两人合修，每天修这条路的，该选项叙述正确； B．甲单独工作的工作效率是，则甲每天修这条路的，该选项叙述错误； C．两人合作的工作时间是，即两人合修，需要天修完，该选项叙述正确； D．乙单独工作的工作效率是，则乙每天修这条路的，该选项叙述正确。 故答案为：B 30．一段公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。计算两队合修几天可以完成，下列算式错误的是（    ）。 A． B． C．30÷（30÷10＋30÷15） D． 【答案】B 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据甲、乙两队单独完成工作的时间求出各自的工作效率，再根据两队合作的工作效率求出合作完成工作的时间；也可以根据已知的公路长度，分别求出甲、乙两队每天修路的长度，进而求出两队合作每天修路的长度，最后求出合作完成修路的时间。 【详解】A．把这段公路的工作总量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，甲队单独修10天完成，则甲队的工作效率为1÷10＝；乙队单独修15天完成，则乙队的工作效率为1÷15＝。两队合作的工作效率为甲、乙两队工作效率之和，即＋。再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，可得两队合修需要的时间为1÷（＋），所以选项A的算式正确。 B．由前面分析可知，＋是把工作总量看作单位“1”时两队合作的工作效率，而30是公路的实际长度，单位“1”和实际长度不能直接进行运算，所以30÷（＋）这个算式错误，选项B符合题意。 C．已知公路长30千米，甲队单独修10天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲队每天修路的长度为30÷10千米；乙队单独修15天完成，则乙队每天修路的长度为30÷15千米。两队合作每天修路的长度为甲、乙两队每天修路长度之和，即（30÷10＋30÷15）千米。再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，可得两队合修需要的时间为30÷（30÷10＋30÷15），所以选项C的算式正确。 D．因为甲队的工作效率为，公路长30千米，所以甲队每天修路的长度为30×千米；乙队的工作效率为，则乙队每天修路的长度为30×千米。两队合作每天修路的长度为（30×＋30×）千米。根据工作时间＝工作总量÷工作效率，可得两队合修需要的时间为30÷（30×＋30×），所以选项D的算式正确。 故答案为：B 31．永新面粉厂小时可以磨面粉吨，照这样计算，小时可以磨面粉多少吨？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，工作总量为吨，工作时间为小时，求工作效率，列式为；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，求小时磨面粉的质量，用工作效率乘，即，据此解答。 【详解】求小时可以磨面粉多少吨，正确的算式是。 故答案为：B 32．甲乙两位工人加工一批零件，甲每小时加工48个，乙6分钟加工5个，（    ）加工得快。 A．甲 B．乙 C．一样快 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据工作总量÷工作时间＝工作效率，再根据1小时＝60分钟，用48除以60即可求出甲每分钟可以加工多少个；用5除以6即可求出乙每分钟可以加工多少个，最后再进行对比即可。 【详解】1小时＝60分钟 48÷60＝（个） 5÷6＝（个） ＝，＝ ＜ 所以＜，所以乙加工得快。 故答案为：B 33．一项工程若单独完成，甲队需20天，乙队需30天，丙队需24天，丁队需25天。若要求两队合作在13天内完成这项工程，不合适的组合是（    ）。 A．甲队和乙队 B．乙队和丙队 C．丙队和丁队 D．甲队和丁队 【答案】B 【分析】已知一项工程由甲队、乙队、丙队和丁队单独完成分别需20天、30天、24天和25天，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，丙队的工作效率为，丁队的工作效率为，根据合作时间＝工作总量÷工作效率和，分别求出其中两个队合作的天数，结果和13天进行比较，合作时间小于13的是合适的组合。 【详解】甲、乙合作： ＝ ＝ ＝ ＝12（天） 乙、丙合作： ＝ ＝ ＝ ＝（天） 丙、丁合作： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 甲、丁合作： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 其中，则乙队和丙队是不合适的组合。 34．修一条路，甲每天修50m，6天修完；乙每天修60m，5天修完。下面说法不正确的是（    ）。 A．甲和乙每天修路的长度比是 B．两人合修，每天修这条路的 C．乙每天修这条路的 D．两人合修，需要天 【答案】A 【分析】把修这条路的工程量看作单位“1”，依据工作效率＝工作总量“1”÷工作时间，可知甲单独工作的工作效率是，乙单独工作的工作效率是。那么两人合作后，把两人工作效率相加，合作的工作时间＝工作总量“1”÷工作效率和。甲和乙每天修路的长度比就是50m∶60m根据比的性质化简即可，据此解答。 【详解】A．甲和乙每天修路的长度比是50m∶60m＝5∶6，该选项错误； B．两人合修每天修这条路的，就是甲乙合作的工作效率，该选项正确； C．乙每天修这条路的，就是乙单独工作的工作效率，该选项正确；     D．两人合修的工作时间是天，该选项正确。 35．宏利机械厂要加工300个零件，如果由甲车间单独加工，需要6小时；如果由乙车间单独加工，需要8小时。现在两个车间同时加工，多少小时能完成？下面列式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于单位“1”角度思路：将300个零件整体看作单位“1”，用单位“1”分别除以甲、乙车间单独的工作时间即可分别求出甲、乙车间的工作效率，再用单位“1”除以两车间效率和得到工作时间； 对于具体工作量思路，用零件总数300个分别除以甲、乙车间单独的工作时间即可分别求出甲、乙车间每小时加工零件数，再用总工作量除以两车间效率和得到工作时间；再根据乘法分配律和商不变的规律对算式进行简化，据此分析对应列式。 【详解】对于单位“1”角度思路：现在两个车间同时加工，小时能完成； 对于具体工作量思路：现在两个车间同时加工，小时能完成； 对于算式根据乘法分配律可转换成，再根据商不变的规律被除数和除数同时除以3，算式为：，化简后为。 所以列式错误的是。 36．都昌南山景区要修建一条路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要18天，甲队先修3天，之后两队合作，还需要（    ）天能修完。 A．5.4 B．8.5 C．10 D．8 【答案】A 【分析】把这条路看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出两队的工作效率；工作总量＝工作效率×工作时间，用甲队的工作效率乘3求出甲队修3天的工作量，再用工作总量减去已完成的工作量求出剩余工作量；工作时间＝工作总量÷工作效率，最后用剩余工作量除以两队的效率总和即可。 【详解】1÷12＝ 1÷18＝ （1－）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝ ＝ ＝5.4（天） 还需要5.4天能修完。 37．一篇3600字的文稿，小许单独打出要小时，小周单独打出要小时，两人合作打完这篇文稿需多少小时？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把文章的总字数看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求得小许和小周各自的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，求得两人合作完成这篇文章需要的时间。 【详解】小许的工作效率：1÷； 小周的工作效率：1÷； 两人合作需要的时间列式正确的是：1÷（1÷＋1÷）。 38．在下面四个实际问题中，不能用“”解决的是（    ）。 A．修一条路，甲队单独修4天完成，乙队单独修6天完成，甲、乙两队合作，几天修完？ B．小明和爷爷在300米的环形步道上散步，小明走一圈要4分钟，爷爷走一圈要6分钟，如果两个人同时同地出发，背向而行，几分钟相遇？ C．要制作30朵绢花，小红每小时制作4朵，小丽每小时制作6朵，两人合作多少小时可以做完？ D．生产一批零件，师傅单独做4小时完成，徒弟单独做6小时完成，师徒二人合作，需要多少小时完成？ 【答案】C 【分析】A．先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队的工作效率和乙队的工作效率，两队合作需要的天数＝工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）； B．先根据“速度＝路程÷时间”表示出小明的速度和爷爷的速度，两人的相遇时间＝总路程÷（小明的速度＋爷爷的速度）； C．两人合作需要的时间＝工作总量÷（小红的工作效率＋小丽的工作效率）； D．先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出师傅的工作效率和徒弟的工作效率，两人合作需要的小时数＝工作总量÷（师傅的工作效率＋徒弟的工作效率）。 【详解】A．假设工作总量为1，甲队的工作效率为1÷4＝，乙队的工作效率为1÷6＝，两队合作需要的天数为； B．假设环形步道一圈的路程为1，小明的速度为1÷4＝，爷爷的速度为1÷6＝，两人的相遇时间为； C．分析可知，两人合作需要的小时数为； D．假设工作总量为1，师傅的工作效率为1÷4＝，徒弟的工作效率为1÷6＝，两人合作需要的小时数为。 不能用“”解决的是要制作30朵绢花，小红每小时制作4朵，小丽每小时制作6朵，两人合作多少小时可以做完？ 39．下列选项中，不能用“15÷0.5”解决的问题是（    ）。 A．要修一条15千米的小路，每天修0.5千米，几天可以修完？ B．明明用15元买了0.5千克葡萄，每千克葡萄多少元？ C．一个长方形的周长是15厘米，宽是0.5厘米，它的长是多少厘米？ D．冬冬有15元零花钱，是芳芳的0.5倍，芳芳有多少零花钱？ 【答案】C 【分析】A．已知工作总量和工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率； B．根据单价＝总价÷数量解答； C．长方形的长＝周长÷2－宽＝（周长－宽×2）÷2； D．已知多倍量和倍数，求一倍量，用多倍量÷倍数＝一倍量。 【详解】A．工作时间为：15÷0.5，可以用“15÷0.5”解决，不符合题意； B．单价为：15÷0.5，可以用“15÷0.5”解决，不符合题意； C．长方形的长为：15÷2－0.5或者（15－0.5×2）÷2，不能用“15÷0.5”解决，符合题意； D．求一倍量，列式为：15÷0.5，可以用“15÷0.5”解决，不符合题意。 40．王师傅和李师傅1小时都可以独立做4～5个零件。现在有416个零件，他俩同时做，（    ）小时才能保证做完。 A．52 B．38 C．47 D．104 【答案】A 【分析】由题干可以知道，要保证做完416个零件，必须按两人最慢的效率计算（即每人每小时做4个零件），先用加法算出两人合作的最低效率，再用总零件数除以最低效率，得到多少小时才能保证做完。 【详解】4＋4＝8（个） 416÷8＝52（时） 41．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲乙合作（    ）天可以完成这项工程的一半。 A．2.4 B．4.8 C．3 D．6 【答案】A 【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙的工作效率，再求出两人的效率和，最后用工程一半的工作量除以效率和，求出合作完成一半所需的时间。 【详解】1÷8＝ 1÷12＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝2.4（天） 甲乙合作2.4天可以完成这项工程的一半。 42．关于比例，下面说法错误的是（    ）。 A．正方形的周长和边长成正比例。 B．正比例图象的点都在一条直线上。 C．圆锥体积一定，它的底面积和高成反比例关系。 D．一批零件，甲单独完成需要8天，乙单独做需要6天。甲和乙的工作效率之比是4∶3。 【答案】D 【分析】两个相关联的量的比值一定，这两个量成正比例关系；正比例的图像是一条直线；两个相关联的量的乘积一定，这两个量成反比例关系；根据工作效率＝工作量÷工作时间，通常设工作量是“1”，分别计算甲和乙的工作效率，将工作效率相比，再化为最简单的整数比。 【详解】A．正方形的周长＝边长×4，周长÷边长＝4，周长和边长的比值一定，成正比例关系，说法正确； B．正比例的图像是一条直线，所以正比例图像的点都在一条直线上，说法正确； C．圆锥的体积＝×底面积×高，底面积与高的乘积＝体积×3，体积一定，底面积与高的乘积一定，成反比例关系，说法正确； D．甲的工作效率∶乙的工作效率： ＝3∶4 说法错误。 43．一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。甲、乙两队工作效率的最简整数比是（    ）。 A．10∶15 B．15∶10 C．3∶2 D．2∶3 【答案】C 【分析】把这项工程看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙两队的工作效率，写出对应的比，再根据比的基本性质，将其化简为最简整数比。 【详解】1÷10＝ 1÷15＝ ∶＝（×30）∶（×30）＝3∶2 44．一个水池的水位高度要从1.6米降至1米。若单独打开甲排水管或乙排水管，要使水位降至1米，则分别要用30分钟和20分钟。若同时打开两管8分钟，则这时水池水位降至（    ）米。 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】A 【分析】水位高度要从1.6米降至1米，需要下降1.6－1＝0.6米。分别用需要下降的水的高度除以两个排水管需要的时间求出两个排水管各自每分钟使水位下降的高度，相加求出两个排水管同时打开每分钟水位下降的高度，再乘8求出8分钟水位下降的总高度，最后用原来的高度减去下降的高度即可求出此时的水位高度。 【详解】1.6－1＝0.6（米） （0.6÷30＋0.6÷20）×8 ＝（0.02＋0.03）×8 ＝0.05×8 ＝0.4（米） 1.6－0.4＝1.2（米） 45．如图，幸福村计划修一条路，求剩下的还要修多少天，列式正确的是（    ）。 A．a÷b－6 B．a÷（b÷6） C．6 D．a－6 【答案】A 【分析】根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”用a÷b计算出总天数，再用总天数减去已修的6天即可得到剩下的天数。 【详解】用“a÷b－6”即可求出剩下的天数。 46．关于比例下列描述中错误的是（    ）。 A．正方形的周长和边长成正比例。 B．正比例图象的点都在一条直线上。 C．一批零件，甲单独完成需要8天，乙单独做需要6天。甲和乙的工作效率之比是4∶3。 D．在比例里，两个外项的积减去两个内项的积一定等于0。 【答案】C 【分析】A．两个相关联的量的比值一定，这两个量成正比例关系； B．正比例比值一定，图像是一条直线； C．将这批零件看作单位“1”，工作效率＝工作量÷工作时间，分别计算甲和乙的工作效率；再根据比的意义写出工作效率的比；最后根据比的基本性质化为最简整数比； D．比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。 【详解】A．正方形的周长＝边长×4，周长÷边长＝4，周长和边长的比值一定，成正比例关系，该选项说法正确； B．正比例的图像是一条直线，所以正比例图像的点都在一条直线上，该选项说法正确； C． 所以甲和乙的工作效率之比是3∶4。该选项说法错误； D．在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，所以两个外项的积减去两个内项的积一定等于0。该选项说法正确。 47．一段公路长30km，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。求两队合修几天可以完成？下列算式中错误的是（    ）。 A．30÷（30÷10＋30÷15） B． C．30÷（10＋15） D． 【答案】C 【分析】可将修建这段公路看作单位“1”，则甲队工作效率为，乙队工作效率为，已知总量运用分数乘法得到甲、乙两队每天修的工程量，相加后得到两队每天修的工程量之和，再用总量除以这个数得出答案。 【详解】A．表示甲队每天修的长度，表示乙队每天修的长度，两者相加为两队每天合修的长度（工作效率和），用总长度30除以工作效率和，得到合修时间。选项正确。 B．把这段公路的全长看作单位“1”，甲队每天完成总工程的，乙队每天完成总工程的，用单位“1”除以两队工作效率和，得到合修时间。此选项正确。 C．10和15分别是甲队、乙队单独修完所需的时间，工作时间不能直接相加作为工作效率，30除以时间和不符合工程问题的数量关系。此选项错误。 D．表示30的 是多少，即，为甲队每天修的长度；表示30的 是多少，即，为乙队每天修的长度。选项正确。 48．四川青神竹编的非遗传承人李师傅和王师傅，分别需要3天和4天才能完成一件竹篓的制作，两人合作完成7件竹篓需要（    ）天。 A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】A 【分析】根据，分别求出李师傅和王师傅的工作效率，再根据，列式计算即可。 【详解】（件/天） （件/天） （天） 49．修一条路，计划10天修完，实际8天修完。计划的工效与实际工效的最简整数比是（    ）。 A．5∶4 B． C．4∶5 D．10∶8 【答案】C 【分析】假设工作总量是1，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别把数据代入公式计算，求得计划的工效与实际工效，再化为最简整数比。 【详解】 ＝4∶5 50．“颗粒归仓，饭碗更牢”，冬小麦是夏收的主体粮食，每年五、六月份的麦收牵动人心。一个收割机团队计划每天收割20公顷麦地，6天收割完。实际每天比计划多收割，实际用了多少天？设实际用了x天，下面正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】实际每天比计划多收割，这里把计划的工作速度每天收割20公顷看作单位“1”，且计划的工作时间为6天；那么实际的工作速度就是，实际的工作时间为x。收割机团队的计划工作总量与实际工作总量是相同的，根据“工作时间×工作速度＝工作总量”，列出方程。 【详解】实际工作总量：等于计划工作总量： 所以列方程为： 三、解答题 51．甬舟铁路是一条连接宁波市与舟山市的高速铁路，全长77千米，其中“甬舟号”盾构机和“定海号”盾构机要用100天的时间合作开凿一段长2200米的隧道。已知“甬舟号”盾构机每天挖的长度是“定海号”的120%，“定海号”每天挖多长？ 【答案】10米 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用2200÷100，求出“甬舟号”盾构机与“定海号”每天挖的长度和；设“定海号”每天挖x米，已知“甬舟号”盾构机每天挖的长度是“定海号”的120%，则“甬舟号”每天挖120%x米，“甬舟号”盾构机每天挖的长度＋“定海号”每天挖的长度＝“甬舟号”盾构机与“定海号”每天挖的长度和；列方程：x＋120%x＝2200÷100，解方程，即可解答。 【详解】解：设“定海号”每天挖x米，则“甬舟号”每天挖120%x米。 x＋120%x＝2200÷100 2.2x＝22 x＝22÷2.2 x＝10 答：“定海号”每天挖10米。 52．某游泳池有甲、乙两个进水管，一个丙排水管，单独开甲进水管放满游泳池需6个小时，单独开乙进水管放满游泳池需8个小时，单独开丙排水管排完满池的水需要12个小时。游泳池每天需要更换一部分水，先打开丙排水管排了3个小时水后，再同时开甲、乙两个进水管，几小时后游泳池水能满？ 【答案】小时 【分析】把注满游泳池的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙、丙各自的工作效率； 已知丙排水管工作3小时，根据“工作量＝工作效率×工作时间”计算出丙排水管3小时的排水量；然后同时开甲、乙两个进水管，那么此时注满游泳池还需要注入的水量就为（因为排了的水，要注满就需要补充这部分）；甲、乙、丙同时工作的合作工效是（＋－），根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，求出注满游泳池需要的时间。 【详解】1÷6＝ 1÷8＝ 1÷12＝ ×3＝ ÷（＋－） ＝÷（＋－） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：小时后游泳池水能满。 53．有两个装有同样货物的仓库A、B。搬运一个仓库的货物，甲需要12小时，乙需要24小时，丙需要8个小时。甲负责搬仓库A，乙负责搬仓库B，丙先在仓库A，后转去仓库B，最后两个仓库的货物同时被搬完，求丙在两个仓库各多长时间？ 【答案】A仓库：小时；B仓库：小时 【分析】把仓库的货物重量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷12＝；求出甲的工作效率；用1÷24＝，求出乙的工作效率；用1÷8＝，求出丙的工作效率；三个人同时搬运两个仓库的货物；货物重量为2；用2÷甲、乙、丙的工作效率和，求出搬运两个仓库货物需要的时间；因为甲一直在A仓库搬运，所以用甲的工作效率×甲在A仓库工作的时间，求出甲在A仓库工作的工作量；再用1减去甲在A仓库工作量，求出丙在A仓库的工作量，再用丙在A仓库的工作量÷丙的工作效率，求出丙在A仓库的工作时间，再用搬运两个仓库用的时间，减去丙在A仓库的工作时间，即可求出丙在B仓库的工作时间，据此解答。 【详解】2÷（＋＋） ＝2÷（＋＋） ＝2÷（＋） ＝2÷ ＝2×4 ＝8（小时） （1－×8）÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝×8 ＝（小时） 8－＝（小时） 答：丙在A仓库小时，在B仓库小时。 54．甲、乙两个修路队共同修一段长125千米的路，甲队每天修4千米，修了2天后，乙队加入，两队共修了13天后全部修完。乙队每天修多少千米？ 【答案】5千米 【分析】已知甲队每天修4千米，修了2天，那么甲队2天修了（4×2）千米；然后乙队加入，两队共修了13天后全部修完，由此得出等量关系：甲队2天修的长度＋（甲队每天修的长度＋乙队每天修的长度）×13＝这条路的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙队每天修千米。 4×2＋（4＋）×13＝125 8＋52＋13＝125 60＋13＝125 60＋13－60＝125－60 13＝65 13÷13＝65÷13 ＝5 答：乙队每天修5千米。 55．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】将工作总量看作单位“1”，如果甲单独做需要11小时，则甲单独做的工作效率是；已知合作时甲的工作效率比单独做时提高，将甲单独做的工作效率看作单位“1”，则合作时甲的工作效率是单独做时的（1＋），单位“1”已知，用甲单独做的工作效率乘（1＋），求出合作时甲的工作效率； 甲乙合作6小时完成了这项工作，则合作时两人的效率和是，那么合作时乙的工作效率是（－）；已知合作时乙的工作效率比单独做时提高，将乙单独做的工作效率看作单位“1”，合作时乙的工作效率是单独做的（1＋），单位“1”未知，合作时乙的工作效率÷对应分率＝乙单独做的工作效率，然后根据工作总量÷乙单独做的工作效率＝乙单独做的工作时间，据此列式解答。 【详解】合作时甲的工作效率： ×（1＋） ＝× ＝ 乙单独做的工作效率： （－）÷（1＋） ＝（－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 乙单独做需要的时间： 1÷ ＝1×18 ＝18（小时） 答：乙单独做需要18小时。 56．现有一批沙棘树苗共2340株，需种植于一沙地。甲工人单独种需12小时；乙工人单独种需15小时。现两人全程合作种完这批树苗。完工时，甲工人种了多少株？ （1）根据以下两位同学的思路，完成填空。 小梦：可以先计算两人合作的工作时间，再利用“_______×______＝工作量”的数量关系解决问题。 小晨：既表示两人的_____之比，也表示_____之比。 （2）我选择了_____的解题思路，并列式解答。 【答案】（1）答题空1：工作效率； 答题空2：工作时间； 答题空3：工作效率； 答题空4：工作量。 （2）小晨；见详解。（二选一） 【分析】（1）答题空1、答题空2：根据“工作效率×工作时间＝工作量”来解决； 答题空3、答题空4：根据两人的工作效率的比就是工作量的比来解决。 （2）答题空1：小晨。可以选择小晨的思路来列式解答。也可以选择小梦的思路来列式解答。（二选一）。 【详解】（1）小梦：因为“工作效率×工作时间＝工作量”，所以她是利用工程问题的数量关系来解决问题；所以答题空1：工作效率；答题空2：工作时间。 小晨：表示甲工人的工作效率，表示乙工人的工作效率。在相同时间内，他们的工作效率之比就是他们的工作量之比；所以答题空3：工作效率；答题空4：工作量。 （2）小晨。（二选一） 小晨： ＝（）∶（） ＝5∶4 甲：2340× ＝2340× ＝1300（株） 答：甲工人种了1300株。 小梦： 甲：2340÷12＝195（株/时） 乙：2340÷15＝156（株/时） 合作时间： 2340÷（195＋156） ＝2340÷351 （小时） 甲： 答：甲工人种了1300株。 57．修一条公路，甲、乙两队合作6天可以完成。现由甲队独修5天后，再由乙队独做3天，还剩全部工程的没有完成。已知甲队每天比乙队多修30米，这条公路长多少米？ 【答案】900米 【分析】将总工作量看成单位“1”，甲、乙两队合作6天可以完成，则两队的工作效率和是1÷6＝；“甲队独修5天后，再由乙队独做3天”可看成甲、乙两队合作3天，甲再做2天后还剩下。由此可得：甲队的工作效率是（1－－×3）÷2，乙队的工作效率＝两队的工作效率和－甲队的工作效率。最后根据工作效率差对应30米，求出总工作量。 【详解】（1－－×3）÷2 ＝（1－－）÷2 ＝÷2 ＝× ＝ 1÷6－ ＝－ ＝ 30÷（－） ＝30÷ ＝30×30 ＝900（米） 答：这条公路长900米。 58．一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天，现在两人一起做，中途乙休息了几天，结果从开始到结束一共用了15天，请问乙休息了几天？ 【答案】5天 【分析】把工程总量看作单位“1”，甲单独做需30天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲的效率为1÷30＝；乙单独做的时间比甲少10天，即乙单独做需30－10＝20天，因此乙的效率为1÷20＝。 甲全程参与，没有休息，总工作时间为15天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”，甲的工作量为：。工程总量为“1”，甲完成了，因此乙需要完成的工作量为。乙的效率为，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，乙实际工作天数为：（天）。总工程从开始到结束用了15天，乙实际工作10天，因此乙休息的天数为：15－10＝5（天）。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 1÷30＝ 30－10＝20（天） 1÷20＝ ＝ ＝ ＝ ＝10（天） 15－10＝5（天） 答：乙休息了5天。 59．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 【答案】3天 【分析】把这批手工吉祥娃娃的订单总量看作单位“1”。王阿姨单独完成需要10天，王阿姨的工作效率为1÷10＝。李阿姨单独完成需要15天，李阿姨的工作效率为1÷15＝。 两人合作的工作效率为两人工作效率之和，即（），工作总量是，工作效率是（），用除以（）计算即可解答。 【详解】把这批手工吉祥娃娃的订单总量看作单位“1”。 1÷10＝ 1÷15＝ ÷（） ＝÷（） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：二人合作3天可以完成这批订单的 60．加工一批零件，王师傅单独做需要15天完成，李师傅单独做需要10天完成。现在两人一起做，需要几天完成？ 【答案】6天 【分析】把“加工一批零件”的工作总量看作单位“1”。王师傅单独做需15天完成，所以王师傅的工作效率为：1÷15＝；李师傅单独做需10天完成，所以李师傅的工作效率为：1÷10＝。两人合作时，每天完成的工作量是各自效率之和，即（）。根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”，用“1”除以（）即可解答。 【详解】把“加工一批零件”的工作总量看作单位“1”。 1÷15＝ 1÷10＝ 1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（天） 答：两人一起做，需要6天完成。 61．一间房，由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天盖好？ 【答案】60天 【分析】将整个工程看作工作总量“1”，因为“甲乙两个工程队合盖，需要24天完成”，则甲乙合作效率为。由题意知“现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天”，也可理解为：看作甲乙合干2天，甲队盖（6－2）天。甲乙合干2天的工作量为：，则甲队盖（6－2）天的工作量是，进而计算出甲队的工作效率，最后用工作总量1÷甲队的工作效率＝甲队单独盖需要的天数。据此列式计算即可。 【详解】 ＝60（天） 答：如果从开始就由甲队单独盖，需要60天盖好。 62．一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 【答案】1天 【分析】将整个工程量看作单位1，则甲的工作效率为、乙两队的工作效率为。 再算出甲乙的工作效率和为（），再乘3求出3天合作完成的工作量， 接着用单位“1”减去合作完成的工作量求出剩余的工作量， 最后，用剩余的工作量除以甲队的工作效率即可解答。 【详解】16＝ 19＝ （）3 ＝3 ＝ 1-= ＝1（天） 答：剩下的由甲独做还需要1天才能完成。 63．加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 【答案】1980个 【分析】明确“提前4天”是由于剩余工作量效率提高导致的。原计划与改进技术后的工作效率比为 1：（1＋10%）＝10：11 。在工作总量（剩余的）一定的情况下，工作时间与工作效率成反比，所以原计划与实际完成剩余工作的时间比为11：10。时间差1份对应提前的4天，由此可求出原计划完成剩余工作所需的时间，进而求出剩余工作量，最后根据剩余工作量占总量的求出零件总数。 【详解】则原效率与新效率的比为：1：（1＋10%）＝10：11 原计划时间与实际时间的比为 11：10 4÷（11−10）×11 ＝4÷1×11 ＝44（天） 30×44＝1320（个） 1320÷（1－） ＝1320÷ ＝1320× ＝1980（个） 答：这批零件共有1980个。 64．一项工作，甲、乙、丙二人一起做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙一起做需几小时完成？ 【答案】6小时 【分析】把三人合作1小时完成的工作量（工作效率）看作。对于“甲做4小时，乙、丙做2小时，完成”，可拆成“三人先合作2小时（完成×2＝），甲再单独做2小时（完成－”；对于“甲、乙做2小时，丙做4小时，完成”，可拆成“三人先合作2小时（完成），丙再单独做2小时（完成－）”。用对应完成的工作量减去三人合作2小时的工作量，得到甲、丙单独做2小时的工作量，再除以2求出甲、丙工作效率，最后，把工作总量看作单位 “1” ，用工作总量“1”除以甲丙效率和，得到合作时间。 【详解】甲：（－×2）÷（4－2） ＝（－）÷2 ＝（－）÷2 ＝÷2 ＝ 丙：（－×2）÷（4－2） ＝（－）÷2 ＝（－）÷2 ＝÷2 ＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝6（小时） 答：这项工作如果由甲、丙一起做需6小时完成。 【点睛】关键是对复杂工作过程进行合理拆分，转化为 “三人合作 ＋ 单人单独做”的形式，利用已知条件求出单人工作效率，再结合公式求出合作时间，核心是工程问题公式与工作量拆分思想的应用。 65．一项工程，甲、乙、丙三人做。原计划按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；若按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；已知甲、乙合作同时做需要天完成，且为整数天，。请写出的所有取值。 【答案】23或28 【分析】根据题意可知，按甲、乙、丙次序轮做，恰好整天完工，其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结束，丙结束就是整数周期。所以按两种情况分析：第一种情况是甲结束，甲＝乙＋丙×＝丙＋甲×，则甲∶乙∶丙＝3∶2∶2。 第二种情况是乙结束，甲＋乙＝乙＋丙＋甲×＝丙＋甲＋乙×，则甲∶乙∶丙＝4∶3∶2。再结合甲、乙合作同时做需要k天完成，找出k合适的值即可。 【详解】第一种情况：甲结束，则甲＝乙＋丙×＝丙＋甲×，从而得出：甲∶乙∶丙＝3∶2∶2。 假设甲一天做3份，一共做了n个完整的周期，则（3＋2＋2）n＋3＝（3＋2）k。 经检验k取23。 第二种情况：乙结束，则甲＋乙＝乙＋丙＋甲×＝丙＋甲＋乙×，从而得出：甲∶乙∶丙＝4∶3∶2。 假设甲一天做4份，一共做了n个完整的周期，则（4＋3＋2）n＋4＋3＝（4＋3）k。 经检验k取28。 答：k的值是23或28。 【点睛】本题考查接力施工问题的实际应用，注意分两种情况，解题的关键是找出三人的工效比。 66．某项工程，甲队单独施工需要72天，乙队的工作效率是甲队的1.6倍，丙队总是先施工5天，然后休息2天，施工5天，再休息2天，……，三队同时施工，20天完成整项工程，那么丙队单独完成整项工程需要多少天？ 【答案】54天 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间，可求得甲、乙两队20天干了总工程的几分之几。用1减去甲、乙的工作总量，可求得丙的工作总量，由丙总是施工5天，休息2天，可认为（5＋2）天为一组，用20除以7，看几组余几天，计算出丙共干了多少天，用工作总量÷工作时间，可得效率，再用总的工作总量即单位“1”除以工作效率，即可求得丙队单独完成整项工程需要多少天。 【详解】 ＝ 20÷（5＋2） ＝20÷7 ＝2（组）……6（天） 5×2＋5 ＝10＋5 ＝15（天） （天） 答：丙队单独完成整项工程需要54天。 【点睛】本题关键在于计算丙队在20天内，工作了多少天，可认为（5＋2）天为一组，用20÷7，计算出几组余几天，即可计算出丙共干了多少天。剩余按照分数除法中的工程问题解决问题即可。 67．水池有甲、乙、丙、丁、戊5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，甲、乙3小时注满。乙、丙12小时注满。丙、丁5小时注满。丁、戊4小时注满。戊、甲9小时注满。那么单开所有进水管，最快几小时注满？ 【答案】小时 【分析】把“一池水”看作单位“1”，根据“效率＝总量÷时间”，可知甲乙水管的工效和为，乙丙水管的工效和为，丙丁水管的工效和为，丁戊水管的工效和为，戊甲水管的工效和为，然后相加，即甲、乙、丙、丁、戊五条水管工效和的2倍，再除以2，求出甲、乙、丙、丁、戊五条水管工效和；先算出甲、乙、丙、丁四条水管合作工效和，再用甲、乙、丙、丁、戊五条水管工效和减去甲、乙、丙、丁四条水管合作工效和，求出戊出水管的工效，再分别求出甲、乙、丙、丁水管的工效，分别确定出水管和进水管；再把进水管的工效相加即可求出单开所有进水管的工效和，再根据“时间＝总量÷效率”求出时间。据此解答。 【详解】甲乙水管的工效和：1÷3＝ 乙丙水管的工效和：1÷12＝ 丙丁水管的工效和：1÷5＝ 丁戊水管的工效和：1÷4＝ 戊甲水管的工效和：1÷9＝ 甲、乙、丙、丁、戊五条水管合作工效和： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 甲、乙、丙、丁四条水管合作工效和：＝＝ ＞，戊出水管的工效：＝＝ ＞，甲进水管的工效：＝＝ ＞，乙进水管的工效：＝＝ ＞，丙出水管的工效：＝＝ ＞，丁进水管的工效：＝＝ 甲、乙、丁三条水管合作工效和： ＝ ＝ 1÷＝1×＝（小时） 答：那么单开所有进水管，最快小时注满。 【点睛】工程问题，要找准单位“1”，通过效率找出进、出水管，再利用“时间＝总量÷效率”解答。 68．一个水池装有两根进水管和一根出水管，单开甲进水管12分钟可以将空池注满，单开乙进水管20分钟可以将空池注满。单开丙出水管15分钟可以将满池水放完。现准备对空水池注水，先单开甲管4分钟后，再将三根水管同时打开，还要多少分钟可将水池注满？ 【答案】10分钟 【分析】把水池注满的工作量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，先求出各水管的工作效率，用进水管的工作效率和减去出水管的工作效率，就是每分钟能注水的工作效率。用总的工作量减去单开甲4分钟后的工作量的差除以每分钟能注水的工作效率，即可算出还要的时间。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝10（分钟） 答：还要10分钟可将水池注满。 【点睛】用进水管的工作效率和减去出水管的工作效率，就是每分钟能注水的工作效率。根据工作时间＝工作量÷工作效率解决。 69．甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李师傅单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作完成，那么完成这两项工作，下列两种合作方案，哪种需要天数最少？ 方案一：甲工作和乙工作都由两位师傅合作完成； 方案二：先让李师傅单独完成甲工作，同时让张师傅单独完成乙工作，8天后，再让李师傅和张师傅一起合作完成剩余的乙工作。 【答案】方案二需要天数最少 【分析】分别计算两种方案完成两项工作的总时间，再比较两种方案总时间的大小，时间短的方案更优。 （1）方案一中，甲工作和乙工作都由两人合作完成。需要先分别计算甲工作合作完成的时间和乙工作合作完成的时间，再将两者相加得到方案一的总时间。工作总量视为单位“1”，合作时间＝工作总量÷工作效率和。 甲工作合作完成时间：张师傅单独完成甲工作的工作效率为1÷10＝；李师傅单独完成甲工作工作效率为1÷8＝；两人合作完成甲工作的效率为＋，则甲工作合作完成时间为1÷（＋）天； 乙工作合作完成时间：张师傅单独完成乙工作的工作效率为1÷15＝；李师傅单独完成乙工作的工作效率为1÷20＝。两人合作完成乙工作的效率为＋，则乙工作合作完成时间为1÷（＋）天； 方案一的总时间＝甲工作合作完成时间＋乙工作合作完成时间。 （2）方案二中，甲工作由李师傅单独完成，所以甲工作8天完成。 乙工作分两阶段：前8天张师傅单独做，张师傅单独完成乙工作8天的工作量为×8；剩余工作量由两人合作完成，剩余工作量为1－×8，两人合作完成乙工作的效率为＋，剩余乙工作所需的时间为（1－×8）÷（＋）。 总时间为8天加上合作完成剩余乙工作的时间。 （3）比较两种方案的总时间，数值小的方案用时更少 【详解】方案一： 两位师傅合作完成甲工作的效率： 完成甲工作所需时间：（天） 两位师傅合作完成乙工作的效率： 完成乙工作所需时间：（天） 总时间：（天） 方案二： 李师傅单独完成甲工作需8天，8天后甲工作完成。 张师傅单独完成乙工作的效率：，8天完成工作量： 乙工作剩余工作量： 两位师傅合作完成剩余乙工作所需时间：（天） 总时间：（天） 因为，，故方案二需要天数最少。 答：两种合作方案，方案二需要天数最少。 【点睛】本题需注意工程问题中合作完成工作的效率计算及时间叠加方式。关键在于明确方案中合作的具体方式。通过分步计算剩余工作量和合作效率，可准确比较两种方案的总时间。 70．一项工作，甲每天做8小时，30天能完成（不休息），乙每天做10小时，22天能完成（不休息）。甲每做6天要休息一天，乙每做5天要休息一天，现两队合作，每天都做8小时，做了13天（包括休息日在内）后，由甲独做，每天做6小时，那么完成这项工作共用了多少天？ 【答案】23天 【分析】先分别计算甲、乙单独完成这项工作所需的总时间，再确定合作时各自的工作天数，计算完成的工作量，接着求剩余的工作量，并考虑后来甲单独做时，甲也是每做6天要休息一天，算上甲休息的天数，最后求出总天数。 算甲、乙各自完成这项工作需要的时间，可求出甲、乙各自的工作效率。 甲、乙先合作13天，这13天里，甲每做6天要休息一天，7天是一个周期，甲实际做了两个6天，中间休息一天，共做了6＋6＝12（天）；乙每做5天要休息一天，6天是一个周期，乙实际做了两个5天和1个一天，中间休息了2天，共做了5×2＋1＝11（天）。 根据甲、乙的工作效率和做的时间，可以求出甲、乙合作时完成的工作量。 用总工作量减去已完成的工作量，可求出剩余的工作量，也就是合作13天后甲单独要完成的工作量。 用剩余的工作量除以甲的工作效率，可求出甲后来做的天数；然后根据甲每做6天要休息一天，计算出甲单独做需要多少天；再加上合作的天数，从而计算出总的用时天数。 【详解】甲每小时工效：1÷（30×8） ＝1÷240 ＝ 乙每小时工效：1÷（22×10） ＝1÷220 ＝ 合作13天甲的实际工作天数： 13÷（6＋1） ＝13÷7 ＝1……6 6＋6＝12（天） 合作13天乙的实际工作天数： 13÷（5＋1） ＝13÷6 ＝2……1 5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（天） 合作13天完成的工作总量： ×8×12＋×8×11 ＝×12＋×11 ＝＋ ＝ 剩余工作量：1－＝ 甲单独做需要的天数： ÷（×6） ＝÷ ＝8（天） 即甲单独做还要做8天。 甲乙合作13天后，甲要继续休息1天，然后再做6天，再休息1天，最后再做2天，最终完成这项工作。 13＋8＋2＝23（天） 答：完成这项工作共用了23天。 【点睛】合作期间，甲、乙各自实际做的天数要算对；要注意第14天时甲休息，后面的工作还是按每做6天要休息一天算。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $