小升初专题25 植树问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题25 植树问题 知识点01：植树问题： 在一条路线上等距离植树，路线长（全长）、植树的棵数（株数）及相邻两棵树之间的距离（株距）这三个量之间存在着特殊关系。在这三个量中，已知其中两个量，求另一个未知量的问题，叫作植树问题。 知识点02：植树问题的两种情况： （1）在非封闭的路线上植树： ①两端都植树 株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×（株数-1） 株距=全长÷（株数-1） ②只有一端植树： 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 ③两端都不植树： 株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×（株数+1） 株距=全长÷（株数+1） （2） 在封闭的路线上植树： 株数=段数=全长÷株距；全长=株距×株数；株距=全长÷株数 【例1】2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 【答案】252米 【分析】宣传牌不需要移动，说明该位置既是原来3米间隔的倍数，也是现在4米间隔的倍数，即该位置的距离是3和4的公倍数。相邻两个不需要移动的宣传牌之间的距离应是3和4的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 除了两端的2个宣传牌不需要移动外，说明路的起点和终点都有宣传牌且不需要移动，属于两端都栽的植树问题。 先求出不需要移动的宣传牌的总数，再用间隔数×相邻不动点之间的距离（3和4的最小公倍数），即可得到路的总长度。 【详解】3和4是互质数，最小公倍数为3×4＝12，即每隔12米有一个宣传牌不需要移动。 20＋2＝22（个） （22－1）×12 ＝21×12 ＝252（米） 答：这条路长252米。 1．在AC这条新铺的路上等距离安装路灯，要求在A、B、C处都要安装一盏路灯，一共至少需要安装多少盏路灯？ 【答案】18盏 【分析】如图所示，在AC这条新铺的路上等距离安装路灯，AB的距离为630米，BC的距离为560米，如果要求在A、B、C处都要安装一盏路灯，则每两盏路灯之间的距离既是630的因数，也是560的因数，要安装路灯的数量少，则每两盏路灯之间的距离要尽量大，最大距离为630和560的最大公因数70，即每两盏路灯之间距离最大是70米，这条路的总长度是1190米，段数＝总长度÷一段的长度，根据植树问题两端都种树时：棵数＝段数＋1可知安装路灯的数量比计算出的段数多1。 【详解】630＝2××3×3×5×7 560＝2×2×2×2×5×7 则630和560的最大公因数是：2×5×7＝70，级每70米安装一盏路灯。 （630＋560）÷70＋1 ＝1190÷70＋1 ＝17＋1 ＝18（盏） 答：一共至少需要安装18盏。 2．园林工人沿着一段公路的两侧栽树，两端都栽，每隔18米栽一棵树，一共栽了486棵树。这段公路有多长？ 【答案】4356米 【分析】本题考查两端都栽的植树问题。解题关键在于注意题干中“两侧”栽树的条件，需先将总棵数除以2求出单侧栽树的棵数。再根据两端都栽的规律，间隔数等于棵数减1，最后用间隔数乘间隔长度即可求出公路长度。 【详解】（486÷2－1）×18 ＝（243－1）×18 ＝242×18 ＝4356（米） 答：这段公路有4356米。 3．A、B两地原来每隔30米安装一根电线杆，现在改为每隔45米安装一根电线杆，在安装过程中，除了两端的电线杆外，还有10根不需要移动，那么A、B两地相距多少米？ 【答案】990米 【分析】不需要移动的电线杆位置既是30的倍数，又是45的倍数，即30和45的公倍数。那么相邻两根不需要移动的电线杆之间的距离就是30和45的最小公倍数。已知除了两端外还有10根不需要移动，说明不需要移动的电线杆共有12根，即有11个间隔。用最小公倍数（即间距）乘间隔数即可求出 A、B 两地的距离。 【详解】30＝2×3×5 45＝3×3×5 30和45的最小公倍数是：2×3×3×5＝90 90×（10＋1） ＝90×11 ＝990（米） 答：A、B 两地相距990米。 【例2】在公路两旁栽树，公路长120米，原来每隔3米栽一棵树，现在改为每隔4米栽一棵树，两端都不栽。 (1)每隔多远就有一棵树不用拔起？ (2)一共有多少棵树不用拔起？ (3)被拔起的树有多少棵？ 【答案】(1)12米 (2)18棵 (3)60棵 【分析】（1）原来每隔3米栽一棵树，现在每隔4米栽一棵树，不用拔起的树意味着该位置既是3的倍数，又是4的倍数，即3和4的公倍数。每隔多少米有一棵树不用拔起，就是求3和4的最小公倍数。 （2）当两端都不栽，棵数＝间隔数－1。用总长120米除以每隔多远就有一棵树不用拔起，算出有多少这样的间隔，再减去1，算出公路一旁的不用拔起棵数。最后乘2，就是一共有多少棵树不用拔起。 （3）被拔起的棵数＝原来树的总数－不用拔起的树的总数。用路的总长分别除以3算出有几个间隔，再减1，算出一旁树的总棵数。乘2得到两旁总数，再减去不用拔起的总数即可。 【详解】（1）3的倍数：3，6，9，12，15… 4的倍数：4，8，12，16… 3和4的最小公倍数是12。 答：每隔12米就有一棵树不用拔起。 （2）120÷12＝10（个） 10－1＝9（棵） 9×2＝18（棵） 答：一共有18棵树不用拔起。 （3）120÷3＝40（个） 40－1＝39（棵） 39×2＝78（棵） 78－18＝60（棵） 答：被拔起的树有60棵。 1．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 【答案】17段 【分析】先分别用木条总长50厘米除以5厘米和6厘米的间隔，求出各自的间隔数。每隔5厘米做记号时，用间隔数减1得到记号个数；每隔6厘米做记号时，直接取商作为记号个数，不再减1。再求出5和6的最小公倍数，找出50厘米内重复记号的个数。用两种记号个数相加再减去重复个数，得到实际总记号数，最后用总记号数加1就是木条被锯成的段数。 【详解】50÷5－1 ＝10－1 ＝9（个） 50÷6＝8……2，共8个 5和6的最小公倍数是30，50以内30的倍数有1个 9＋8－1＝16（个） 16＋1＝17（段） 答：这根木条一共被锯成17段。 2．阳光小学里有一条长138米的宣传长廊，计划在其两侧每隔6米贴一张优秀学生画作，但两端不贴。一共需要贴多少张画作？ 【答案】44张 【分析】首先根据“总长度÷间隔长度＝间隔数”，求出长廊一侧的间隔数量；其次根据“两端不贴”的植树问题模型，可知一侧画作数量比间隔数少 1；最后注意题干中“两侧”的条件，需将一侧的数量乘2得到总数量。 【详解】（138÷6－1）×2 ＝（23－1）×2 ＝22×2 ＝44（张） 答：一共需要贴44张画作。 3．幸福大街两侧每隔50米粘贴一张“社会主义核心价值观”宣传标语（两端都不贴），一共贴了58张宣传标语。幸福大街全长多少米？ 【答案】1500米 【分析】先根据两侧总张数求出单侧的张数，再根据“两端都不贴”时“间隔数＝张数＋1”的关系求出间隔数，最后用间隔数乘间距得到全长。 【详解】58÷2＝29（张） 29＋1＝30（段） 30×50＝1500（米） 答：幸福大街全长1500米。 【例3】汕尾品清湖周边要修建一条景观大道，实际长度是12千米，在设计图上的长度是6厘米。 (1)如果景观大道上有一座桥梁，在设计图上的长度是2厘米，这座桥梁的实际长度是多少千米？ (2)如果要在景观大道一旁种植树苗（一端裁一端不栽），已知间距3米时，可种4000棵，若间距改为4米，可种多少棵？ 【答案】(1)4千米 (2)3000棵 【分析】（1）先计算设计图比例尺，根据1千米＝100000厘米，将实际长度12千米换算成厘米，然后求得比例尺，最后根据比例尺计算桥的实际长度； （2）一端栽一端不栽，则植树棵数与间隔数相等，先计算景观大道的总长度，总长度等于原来的棵数乘原来的间距，然后计算间距改为4米的种植棵数，即用总长度除以新间距4米。 【详解】（1）1千米＝100000厘米 12千米＝1200000厘米 6厘米∶1200000厘米＝1∶200000 所以比例尺为1∶200000； 2×200000＝400000厘米 400000厘米＝4千米 答：桥梁实际长4千米。 （2）4000×3＝12000（米） 12000÷4＝3000（棵） 答：可种3000棵。 1．如图是一个长方形水池，现要在水池四周等距离安装路灯，但要求A、B、C、D处都要安装一盏路灯，至少需要安装多少盏路灯？ 【答案】32盏 【分析】由图形标记可得，长方形长是540米，宽是420米，等距离安装路灯，间隔距离既是540米的因数，也是420的因数，题目要求安装的路灯少，间隔距离就要最大，所以先求出540和420的最大公因数，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算求得周长，在封闭图形上装路灯，用长方形周长除以间隔距离即可。 【详解】540＝2×2×3×3×3×5 420＝2×2×3×5×7 540和420的最大公因数是： 2×2×3×5 ＝4×3×5 ＝12×5 ＝60 （540＋420）×2÷60 ＝960×2÷60 ＝1920÷60 ＝32（盏） 答：至少需要安装32盏路灯。 2．回家路上，小明看到社区工人正在一条60米长的小路旁植树。工人叔叔每隔3米栽一棵树。 (1)如果小路两端都栽树，一共需要多少棵树苗？ (2)如果只有一端栽树，需要多少棵树苗？ (3)工人李师傅说：“我准备了25棵树苗，按照一端栽树的方式，刚刚好。”小明觉得李师傅说得不对。请写出小明的思考过程。 【答案】(1)21棵 (2)20棵 (3)见详解 【分析】先用总长度除以间距，求出间隔数。根据植树方式的不同，棵数与间隔数的关系也不同：两端都栽时，棵数等于间隔数加1；只栽一端时，棵数等于间隔数。 第（3）问需利用只栽一端的规律计算出实际需要的树苗数量，再与李师傅准备的数量进行比较，从而判断说法是否正确。 【详解】（1）60÷3＝20（个） 因为两端都栽树，棵数比间隔数多1：20＋1＝21（棵） 答：一共需要21棵树苗。 （2）60÷3＝20（个） 因为只有一端栽树，棵数等于间隔数 答：需要20棵树苗。 （3）小明的思考过程：按照一端栽树的方式，树苗棵数应等于间隔数。 间隔数为：60÷3＝20（个） 所以只需要20棵树苗。 因为20≠25，李师傅准备了25棵，数量不对。 答：李师傅说得不对。 3．我会策划。 新能源电动汽车对环境保护和空气洁净十分有益，几乎是“零污染”，因此被大众喜爱。为了方便人们充电，政府准备在一段长50米的道路一旁安装一些充电桩，每两个充电桩之间间隔5米。如果请你来策划，你能提出几种方案？请把你的方案用喜欢的方法记录下来。（可画图、可文字表达、可计算……）。 【答案】见详解 【分析】首先用总长度除以相邻充电桩间距，计算出道路被分成的间隔数。然后考虑安装方案：两端都安装时，充电桩数量比间隔数多1（首尾各有1个），只装一端时，充电桩数量等于间隔数（仅保留一端），两端都不安装时，充电桩数量比间隔数少1（首尾都没有）。 【详解】（个） 两端都安装：（个） 只装一端：个 两端都不安装：（个） 答：如果两端都安装，需要个充电桩，如果只安装一端，需要个充电桩，如果两端都不安装，需要个充电桩。 【例4】某圆形滑冰场的周长是135m。如果沿着该滑冰场的一周每隔15m安装一盏灯，共用了2小时，那么平均安装一盏灯用了多少小时？（结果用分数表示） 【答案】 小时 【分析】首先根据圆形滑冰场的周长和间隔距离，利用除法求出安装灯的总盏数；然后根据平均数的意义，用总时间除以灯的总盏数，求出平均安装一盏灯用的时间。 【详解】安装灯的总盏数：（盏） 平均安装一盏灯用的时间：（小时） 答：平均安装一盏灯用了小时。 1．学校在一个三角形（三边相等）的花坛边上摆兰花，每边等距离摆4盆（三个顶点各摆一盆），每两盆花之间相距4米。 (1)一共需要摆多少盆花？ (2)花坛的周长是多少米？ 【答案】(1)9盆 (2)36米 【分析】（1）根据题意，因为在等边三角形的每条边等距离摆4盆花，可以先初步求出一共摆了多少盆花，又因为三个顶点处都摆了盆花，要减去重复的3盆（即3个顶点处的花）即可求出这个花坛一共需要摆的花的数量。 （2）在封闭图形中的植树问题，树的棵数＝间隔数，所以本题中三角形的花坛边一共有9盆花，就有9个间隔，因此花坛的周长＝间隔数×间隔长度，据此解答。 【详解】（1）4×3－3 ＝12－3 ＝9（盆）答：一共需要摆9盆花。 （2）9×4＝36（米）答：花坛的周长是36米。 2．环绕九龙湖的环湖路上，每隔100米放置1个小垃圾桶，一共放了30个，九龙湖的环湖路全长是多少千米？ 【答案】3千米 【知识点】封闭图形上的植树问题、千米和米之间的进率与换算 【分析】环湖路是封闭的，垃圾桶数量和间隔数是相等的，所以用间隔距离乘垃圾桶数量，求出环湖路的全长，最后再换算成千米。 【详解】100×30＝3000（米） 3000米＝3千米 答：九龙湖的环湖路全长是3千米。 3．志愿者组织20名参与活动的居民在画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始时，每相邻两人之间的距离是3米。玩了一会后，有12名参与游戏者被淘汰，剩下的人继续玩。在不改变圆形场地的大小，且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为多少米？ 【答案】7.5米 【分析】根据封闭图形的植树问题，“棵数＝间隔数”可知，20名同学围成一圈，那么就有20个间隔；根据“间距×间隔数＝全长”，求出这个圆形场地的周长；淘汰12名同学，还剩下20－12＝8名同学，此时有8个间隔，根据“全长÷间隔＝间距”，即可求出每相邻两人之间的距离应该改为多少米。 【详解】3×20＝60（米） 60÷（20－12） ＝60÷8 ＝7.5（米） 答：每相邻两人之间的距离应该改为7.5米。 一、填空题 1．甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第__________层。 【答案】11 【分析】爬楼梯的层数＝所到层数－1，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，即当甲爬（4－1）层时，乙恰好爬（3－1）层，由此确定两人的层数比，将比的前后项看成份数，甲爬的层数÷对应份数＝一份数，一份数×乙的对应份数＝乙爬的层数，乙爬的层数＋1＝乙所到层数。 【详解】（4－1）∶（3－1）＝3∶2 （16－1）÷3×2 ＝15÷3×2 ＝10（层） 10＋1＝11（层） 甲跑到第16层时，乙应跑到第11层。 2．小明的家住在5楼，他从1楼到3楼需要30秒，如果他保持同样的速度，从1楼到5楼需要( )秒。 【答案】60 【分析】根据题意，从1楼到3楼相当于爬两层楼梯，需要30秒，则爬一层楼梯，要花30÷2＝15秒；从1楼到5楼相当于爬4层楼梯，用4×15即可解答。 【详解】30÷（3－1） ＝30÷2 ＝15（秒） 15×（5－1） ＝15×4 ＝60（秒） 小明的家住在5楼，他从1楼到3楼需要30秒，如果他保持同样的速度，从1楼到5楼需要60秒。 3．在庆祝建党100周年时，工人在公路一旁挂灯笼（两端都挂），共挂了25个。原来每相邻两个灯笼之间的距离是40m，现在要改成60m，比原来减少了________个灯笼。 【答案】8 【分析】两端都挂灯笼时，灯笼的个数比间隔数多1，即间隔数＝灯笼个数－1。已知原来挂了25个灯笼，可得间隔数为25－1＝24个。每相邻两个间距40m，公路总长为40×24＝960m。已知新间距为60m，公路总长960m，新间隔数为960÷60＝16个，再根据“两端都挂”的规则（新灯笼个数＝新间隔数＋1）得到新的灯笼数量。最后用原来的灯笼个数减去新的灯笼个数即可。 【详解】25－1＝24（个） 40×24＝960（m） 960÷60＝16（个） 16＋1＝17（个） 25－17＝8（个） 比原来减少了8个灯笼。 4．学校进行春季团体操表演时用彩旗围了一个边长16米的正方形场地。如果每隔2米插一面彩旗，沿着场地的一周最多可以插________面彩旗。 【答案】32 【分析】本题属于封闭图形上的植树问题，根据棵数＝周长÷间隔长度解答，代入数据计算即可。 【详解】16×4÷2 ＝64÷3 ＝32（面） 沿着场地的一周最多可以插32面彩旗。 5．把一根粗细均匀长4米的木料平均锯成5段，用时6分钟。每段长（    ）米，每段占这根木料总长的。假设每锯断一次所用的时间相等，每锯一段用的时间是总时间的。 【答案】；； 【分析】已知把一根长4米的木料平均锯成5段，用全长除以5，求出每段的长度； 把这根木料的全长看作单位“1”，平均分成5份，用1除以5，即可求出每段占这根木料总长的几分之几； 把锯这根木料的总时间看作单位“1”，锯成5段需锯5－1＝4次，用1除以4，求出每锯一段用的时间是总时间的几分之几。 【详解】4÷5＝（米） 1÷5＝ 1÷（5－1） ＝1÷4 ＝ 每段长米，每段占这根木料总长的。假设每锯断一次所用的时间相等，每锯一段用的时间是总时间的。 6．晚饭过后，李老师到公园锻炼身体，他发现路边有规律地竖有一些标示牌。 (1)这条步道呈椭圆形，从起点到终点长1.2千米，如果按上面的规律设置标示牌，一共需要设立( )块这样的标示牌。 (2)李老师绕这条步道散步了3圈，一共消耗了( )卡路里。 (3)根据标示牌中的信息，请你判断：消耗的卡路里与步行的路程成( )比例关系。 【答案】(1)12 (2)226.8 (3)正 【分析】（1）道路总长1.2千米，每100米竖一个标示牌，起点无标示牌，终点有标示牌，求一共竖的标示牌个数，属于一端植树另一端不植树的植树问题，根据棵数＝总长÷间隔，列式计算； （2）每步行100米消耗6.3卡路里，看3圈路程包含几个100米，就消耗几个6.3卡路里，据此解答； （3）若消耗的卡路里与步行的路程比是定值，则两个量成正比例关系；若消耗的卡路里与步行的路程的乘积是定值，则两个量成反比例关系，据此解答。 【详解】（1）1.2千米＝1200米 1200÷100＝12（块） 一共需要设立12块这样的标示牌。 （2）1.2×1000×3÷100×6.3 ＝3600÷100×6.3 ＝36×6.3 ＝226.8（卡路里） 李老师绕这条步道散步了3圈，一共消耗了226.8卡路里。 （3）因为6.3∶100＝12.6∶200＝…＝0.063 即消耗的卡路里与步行的路程比是定值，所以消耗的卡路里与步行的路程成正比例关系。 消耗的卡路里与步行的路程成正比例关系。 7．大课间活动时，三年级同学站成一个正方形方阵做集体操。每行、每列的人数同样多，刘奇同学站在左起第13列，右起第9列，则三年级一共有( )人。 【答案】441 【分析】从左往右数刘奇同学算了一次，从右往左数刘奇同学算了一次，所以刘奇同学被多算了一次，应该减去1，即总列数有13＋9－1＝21（列），每行、每列的人数同样多，所以用21×21即可求解。 【详解】由分析可知： 13＋9－1 ＝22－1 ＝21（列） 21×21＝441（人） 所以三年级一共有441人。 8．一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出，他从乙站到甲站用了( )分钟。 【答案】40 【分析】这个人从乙站到甲站一共遇到了12辆车，10辆是路上遇到的，2辆分别在甲乙两站遇到的。每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，则这个人从乙站出发时，第4辆车正从甲站开出。这个人到达甲站的时候，正好第12辆车正从甲站开出，所以这个人从乙站到甲站所用的时间就是第4辆车从甲开出到第12辆车从甲开出之间的时间。 【详解】10＋1＋1＝12（辆） （12－4）×5 ＝8×5 ＝40（分钟） 9．在周长为40米的圆形水池边每隔2米摆一盆花，需要摆( )盆花；每两盆花之间站3个学生，共需要( )个学生。 【答案】 20 60 【分析】此题属于封闭图形植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。每两盆花之间站3个学生，也就是间隔数×3＝学生数。 【详解】40÷2＝20（盆） 20×3＝60（个） 所以需要摆20盆花；共需要60个学生。 【点评】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 10．小红从第一层楼走到第三层楼用了30秒，那么以同样的速度往上走到第6层，还需要( )秒才能到达。 【答案】45 【分析】根据题意知，从一层到第三层，实际是走了2层，可以求出走每层的时间，以同样的速度从第3层走到第6层，实际走了3层，所以走的层数乘走每层需要的时间即可。 【详解】走每层需要的时间为： 30÷（3－1） ＝30÷2 ＝15（秒） 第3层走到第6层所需时间： 15×（6－3） ＝15×3 ＝45（秒） 则还需要45秒才能到达。 【点睛】爬楼层问题中：求出经过一个间隔需要的时间和一共要经过的间隔数是解决此类问题的关键。 11．小智和小慧比赛爬楼梯，当小智爬到第5层时，小慧爬到第4层，照这样的速度，当小智爬到第21层时，小慧爬到第( )层。 【答案】16 【分析】根据题意，小智爬到第5层，爬了5－1＝4层楼梯；小慧爬到第4层，爬了4－1＝3层楼梯；小智与小慧爬楼梯的层数比为4∶3，把小智爬楼梯的层数看作4份，则小慧爬楼梯的层数看作3份；当小智爬到第21层时，爬了21－1＝20层楼梯，用小智爬楼梯的层数除以4，求出一份数，再用一份数乘3，即可求出小慧爬的楼梯层数，最后加上1，即可求出小慧爬到第几层。 【详解】小智与小慧爬楼梯的层数比为： （5－1）∶（4－1）＝4∶3 一份数： （21－1）÷4 ＝20÷4 ＝5（层） 小慧爬到： 5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（层） 当小智爬到第21层时，小慧爬到第16层。 【点睛】本题考查植树问题，明确爬楼梯的层数＝楼层数－1。 12．豆豆陪爷爷在人行道上散步，从第1盏路灯走到第12盏路灯一共用了22分钟。当他们用同样的速度走了40分钟时，走到了第( )盏路灯旁。 【答案】21 【分析】从第1盏路灯走到第12盏路灯一共是11个间隔，用22分钟除以11就是每个间隔需要的时间，再用40分钟除以每个间隔需要的时间，就是经过的间隔数，最后用间隔数加上1即可求解。 【详解】22÷（12－1） ＝22÷11 ＝2（分钟） 40÷2＋1 ＝20＋1 ＝21（盏） 所以：当他们用同样的速度走了40分钟时，走到了第21盏路灯旁。 【点睛】本题考查植树问题知识的灵活运用，这里属于两端都栽的类型：间隔数＋1＝植树棵数。 13．为庆祝建党100周年，工人在公路一旁挂灯笼（两端都挂），一共挂了25个。原来每相邻两个灯笼之间的距离是40米，现在要改成60米，比原来减少了_____个灯笼。 【答案】8 【分析】植树问题中，两端都植间隔数比棵数少1，根据原来挂灯笼的数量利用“总长＝间隔数×间距”求出公路的长度，再根据公路的长度和现在的间距求出现在挂灯笼的数量，最后求出两次挂灯笼的数量之差，据此解答。 【详解】公路总长：（25－1）×40 ＝24×40 ＝960（米） 现在灯笼的数量：960÷60＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 25－17＝8（个） 所以，比原来减少了8个灯笼。 【点睛】掌握两端都栽的植树问题中棵数和间隔数之间的关系是解答题目的关键。 14．四、五、六三个年级各有100名学生去春游，都分成2列（竖排）并列行进。四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别为1米、2米、3米，年级之间相距5米。他们每分钟都走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长___________米。 【答案】56 【分析】通过这座桥所行的路程＝桥长＋队伍的长度，据题意可知，整个队伍经过大桥共行：90×4＝360（米），所以只要根据学生相邻两行之间的距离及年级之间的距离求出队伍的长度即能求出大桥的长度。 【详解】各年级学生之间的空隙个数为： 100÷2－1 ＝50－1 ＝49（个） 年级间空隙个数为：3－1＝2（个） 则队伍长： 49×1＋49×2＋49×3＋2×5 ＝49＋98＋147＋10 ＝304（米） 则桥长为： 90×4－304 ＝360－304 ＝56（米） 即这座桥长56米。 【点睛】解答此题要注意理解“都分成2列（竖排）并列行进”，表示每个年级分两列，一个年级接一个年级。难点在于求出队伍的长度。 15．有一条小路，左边每隔5米种一棵桃树、右边每隔6米种一棵梨树，而且两端都种上树，共有5处桃树与梨树相对。这条路长( )米。 【答案】120 【分析】5和6的最小公倍数是30，也就是说每30米左右两边是相对的，有5处相对，所以中间就有4个30米，这条路就是120米。 【详解】5×6＝30 30×（5－1） ＝30×4 ＝120（米） 【点睛】此题解答的关键是先求出5和6的最小公倍数，然后根据题意，得出中间有4个30米，进而列式，得出结论。 二、选择题 16．马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是（    ）。 A．3.5千米 B．3千米 C．2.8千米 D．2.6千米 【答案】C 【分析】由于起点不设，终点不设，属于“两端都不栽”模型，所以间隔数＝降温点数＋1。用42除以（14＋1），即可得解。 【详解】42÷（14＋1） ＝42÷15 ＝2.8（千米） 马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是2.8千米。 故答案为：C 17．在一条长400米的马路两边植树，两端都要种，每隔20米种一棵，一共需要种几棵树？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两端都种的植树问题，棵数＝间隔数＋1，先根据“间隔数＝总长÷间距”求出马路一边的间隔数，再加上1求出马路一边的植树棵数，即400÷20＋1，最后乘2求出马路两边的植树总棵数，据此解答。 【详解】（400÷20＋1）×2 ＝（20＋1）×2 ＝21×2 ＝42（棵） 所以，一共需要种42棵树。 故答案为：C 18．从1980年到2000年，共有（    ）个闰年？（含1980年和2000年） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年。据此判断1980和2000都是闰年，中间每4年就有一个闰年，求从1980年到2000年，共有多少个闰年，相当于植树问题中两端都栽的情况，则棵数=间隔数＋1；先求出从1980年到2000年中间有多少个4年，再加上1即可。 【详解】1980÷4＝495，2000÷400＝5 1980年和2000年都是闰年。 （2000－1980）÷4＋1 ＝20÷4＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 共有6个闰年。 故答案为：A 19．2025年是抗战胜利80周年，张老师要在纪念活动之前完成以下工作。下面表述正确的有（    ）句。 ①做一个三角形的活动指引牌，已知其中两条边为4分米和8分米，第三条边一定大于4分米。 ②用6个圆心角是60°的扇形纸板，它们一定能拼成一个圆。 ③有1000元的活动资金买相同的纪念品，单价与数量之间成反比例关系。 ④在长15米的舞台正前方从头到尾每隔1米放一排盆栽，一共要放16盆。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断； ②用扇形拼圆时，不仅要求扇形的圆心角之和为 360°，还要求这些扇形的半径相等； ③反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量； ④植树问题的相关知识“在直线上两端都植树时，棵数＝间隔数＋1”。 【详解】①三角形其中两条边为4分米和8分米，则两边之差为8－4＝4分米，两边之和为8＋4＝12分米。所以第三边的取值范围是4＜第三边＜12 ，即第三条边一定大于4分米，该表述正确。 ②虽然6个圆心角是60°的扇形，圆心角之和为 6×60°＝360°，但题干中未提及这些扇形的半径是否相等。如果半径不相等，就不能拼成一个圆，该表述错误。 ③已知活动资金为1000元，则总价一定；买相同的纪念品，则单价也一定；所以单价与数量不成比例关系，该表述错误。 ④舞台长15米，每隔1米放一排盆栽，则间隔数为15÷1＝15（个），盆栽数为15＋1＝16（盆），该表述正确。 所以表述正确的是①④，有2句。 故答案为：B 20．将一根水管锯成2段需5分钟，照这样计算，锯成5段要用（    ）。 A．25 B．20 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】一根木料锯成2段，锯了（2－1）次，用了5分钟，锯成5段，锯了（5－1）次，用5×（5－1）即可得所需时间，据此解答。 【详解】5÷（2－1）×（5－1） ＝5÷1×4 ＝20（分钟） 所以锯成5段要20分钟。 故答案为：B 21．一根木棍锯成4段需要6分钟，如果锯成7段需要（    ）分钟。 A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】一根木棍锯成4段需要锯3次，据此根据除法的意义，用6÷3先求出锯一次需要花多少时间。又因为锯成7段需要锯7－1＝6次，再根据乘法的意义，用每段锯的时间乘锯的次数即可得出答案。 【详解】6÷（4－1）×（7－1） ＝6÷3×6 ＝2×6 ＝12（分钟） 所以如果锯成7段需要12分钟。 故答案为：C 22．为响应国家绿色家园的号召，公路两旁每隔8米栽一棵树（首尾都栽），一段公路长96米，这段公路需栽树（    ）棵。 A．13 B．22 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题属于两端植树问题，棵数＝段数＋1，再用棵数乘2就是公路两旁一共栽种的棵树，据此解答。 【详解】（96÷8＋1）×2 ＝（12＋1）×2 ＝13×2 ＝26（棵） 这段公路需栽树26棵。 故答案为：D 23．某段公路长为440米，在公路两旁每隔8米种一颗樟树，两端都栽，共种（    ）棵。 A．56 B．110 C．112 D．220 【答案】C 【分析】根据植树问题中的两端都栽树问题可知，棵数＝间隔数＋1，用公路的总长度除以间隔数，再加1，即可求出公路一侧的棵数，再乘2即可得解。 【详解】（440÷8＋1）×2 ＝（55＋1）×2 ＝56×2 ＝112（棵） 共种112棵。 故答案为：C 24．一根2米长的钢管，锯成相等的若干段，5次锯完，每段占全长的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数的意义，把2米长的钢管看作单位“1”，锯成相等的若干段，5次锯完，就是平均分为5＋1＝6段，求每段占全长的几分之几，用1÷6计算解答。 【详解】5＋1＝6（段） 1÷6＝ 每段占全长的。 故答案为：C 25．下列说法正确的个数是（    ）。 （1）任何自然数的倒数都比1小。 （2）水结成冰体积增加，那么冰化成水体积要缩小。 （3）一根木头锯成4段要付锯板费1.2元，若要锯成12段，则要付锯板费3.6元。 （4）两个完全相同的三角形一定能拼成一个平行四边形。 （5）圆柱的侧面积一定，其底面半径与高成反比例。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】（1）1的倒数是它的本身，不比1小。 （2）水结成冰体积增加，是以水的体积为单位“1”，冰比水增加了，那么冰是水的（1＋），冰是。冰化成水的时候单位“1”发生了改变，是以冰为单位“1”，水比冰少几分之几，为（－1）÷＝。注意：单位“1”前后发生了变化。 （3）一根木头锯4段就是锯了3次为1.2元，每一次需要1.2÷3＝0.4（元）。锯12段就是锯11次，每一次0.4元，需要11×0.4＝4.4（元）。 （4）两个完全相同的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 （5）圆柱的侧面积S＝（r是底面半径，h是圆柱的高），底面半径会随着高的变化而变化，且＝（一定），所以底面半径与高成反比例。 【详解】据分析，（1）错；（2）错；（3）错；（4）对；（5）对 故答案为：B 26．将一根木棒锯成4段需要6分钟，照这样计算，将这根木棒锯成7段需要（    ）分钟。 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】锯成4段，需要锯3次，所以锯一次的时间是2分钟，锯成7段，需要锯6次，所以需要12分钟。 【详解】4－1＝3（次） 6÷3＝2（分钟） 7－1＝6（次） 2×6＝12（分钟） 所以锯成7段需要12分钟 故答案为：B 【点睛】考查植树问题的相关知识，重点是要求出间隔数，计算每一次间隔的时间。 27．小明家住在8楼，他家的车位在﹣2楼，如果乘坐电梯每上一层楼需要3秒（电梯中途不停），那么他从﹣2楼乘坐电梯到8楼需要（    ）秒。 A．27 B．30 C．24 D．33 【答案】A 【分析】小明从﹣2楼乘坐电梯到8楼需要走（2＋8－1）个楼梯间隔，然后乘每上一层楼需要的时间即可求出需要的时间。 【详解】3×（2＋8－1） ＝3×9 ＝27（秒） 故答案为：A 【点睛】此题的解题关键是掌握植树问题中的处理方法，主要用到的知识点：楼梯间隔数＝层数－1。 28．在解决下面4个问题时都运用了（    ）。 ①用数对确定电影院每一位观众的座位 ②求两个数相差多少 ③画正比例图像时描点的过程 ④锯木头时，锯的段数和次数之间的关系 A．对应思想 B．假设思想 C．逆推策略 D．转化策略 【答案】A 【分析】对应的思想就是用“一一联系的观点”来解答各种数量之间的关系； 有些问题数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，可以根据问题的具体情况合理假设，找出差异的原因，使复杂问题简单化，数量关系明朗化； 解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫逆推策略； 在测量不规则物体的体积时，经常用到转化的思想，即把不规则物体的体积转化为求规则物体的体积。 【详解】由分析得： ①用数对确定电影院每一位观众的座位，运用了对应思想，符合题意； ②求两个数相差多少，运用了对应思想，符合题意； ③画正比例图像时描点的过程，运用了对应思想，符合题意； ④锯木头时，锯的段数和次数之间的关系，运用了对应思想，符合题意； 故答案为：A 【点睛】此题考查的对面是理解掌握“一一对应”数学思想的实际应用。 29．一根木头锯成3段需要12分钟，照这样计算，锯成6段需要（    ）分钟。 A．24 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【分析】一根木头锯成3段，需要锯2次，则每次的时间为12÷2＝6（分钟）；锯成6段需要锯5次，再乘每次需要的时间即可。 【详解】12÷（3－1）×（6－1） ＝6×5 ＝30（分钟）； 故答案为：C。 【点睛】本题考查了植树问题的灵活应用，明确锯的次数比段数少1是解答本题的关键。 30．把一根木头锯成2段需要分钟，如果要锯成6段，需要（    ）分钟。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，锯一次需要分钟，锯成6段需要锯（6－1）次，一共需要的时间＝锯一次需要的时间×一共锯的次数，据此解答。 【详解】×（6－1） ＝×5 ＝（分钟） 所以，需要分钟。 故答案为：B 【点睛】掌握锯木头问题中段数和次数之间的关系是解答题目的关键。 三、解答题 31．华兴镇在实施“生态美居”工程建设中，准备在A－B－C这条路上等距离安装路灯（A、B、C处都要安装）。这条路上最少需要安装多少盏路灯？ 【答案】18盏 【分析】根据题意，要在A－B－C这条路上等距离安装路灯（A、B、C处都要安装），要求这条路上最少需要安装路灯的数量，那么相邻两盏路灯之间最长的距离是630和560的最大公因数； 先求出630和560的最大公因数，再分别求出AB段、BC段里（不含A、B、C处）有几个这样的最大公因数，根据两端不栽的植树问题“棵数＝间隔数－1”，求出这两段安装路灯的数量，最后相加，并加上A、B、C三处的路灯数量，即是这条路上最少需要安装路灯的数量。 【详解】630＝2×3×3×5×7 560＝2×2×2×2×5×7 630和560的最大公因数是：2×5×7＝70 即每70米安装一盏路灯。 AB段安装（不包括A、B处）： 630÷70－1 ＝9－1 ＝8（盏） BC安装（不包括B、C处）： 560÷70－1 ＝8－1 ＝7（盏） 一共安装（含A、B、C处）： 8＋7＋3＝18（盏） 答：这条路上最少需要安装18盏路灯。 32．如图为一个三角形的绿化带，现在要沿着△ABC的边等距离植树，要求在点A、B、C处各植一棵树，求最少要植多少棵树？ 【答案】12棵 【分析】根据题意知道，只要求出24、32、40的最大公因数，就是最少植树时的两棵树之间的距离；再求最少需要的棵数。 24＝2×2×2×3，32＝2×2×2×2×2，40＝2×2×2×5，所以24、32、40的最大公因数是8，即每两棵树之间的距离最多是8米。 【详解】[24，32，40]＝8 （24＋32＋40）÷8 ＝96÷8 ＝12（棵） 答：最少要植12棵树。 33．如图，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧要等距离地安装路灯，要求在A、B、C处各安装一盏路灯，问这条街道最少要安装多少盏路灯？ 【答案】14盏 【分析】要使安装的路灯尽可能少，则路灯的间距需尽可能大。要求在A、B、C处各安装一盛路灯，因此求出两条路长的最大公因数是路灯间距，相当于植树问题的两端都植，棵数＝段数＋1，两条路的总长÷最大间距＋1＝安装的路灯数量，据此列式解答。 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】60＝2×2×3×5 96＝2×2×2×2×2×3 2×2×3＝12（米） （60＋96）÷12＋1 ＝156÷12＋1 ＝13＋1 ＝14（盏） 答：这条街道最少要安装14盏路灯。 34．如图，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂，它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米/秒”。小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中。只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下。请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？ 【答案】3只 【分析】先根据间隔数×间隔距离＝间隔总长，时间＝路程÷速度，求出每只蜜蜂到达B点需要的时间，再分析每个时间段，小偷可能会追上几只蜜蜂，且被几只蜜蜂追上，最后将几种可能比较即可。 【详解】1蜜蜂到达B点需要：5×100÷1＝500（秒） 2蜜蜂到达B点需要：4×100÷2＝200（秒） 3蜜蜂到达B点需要：3×100÷3＝100（秒） 4蜜蜂到达B点需要：2×100÷4＝50（秒） 5蜜蜂到达B点需要：1×100÷5＝20（秒） 7蜜蜂到达B点需要：11×100÷7≈157.1（秒） 8蜜蜂到达B点需要：10×100÷8＝125（秒） 9蜜蜂到达B点需要：9×100÷9＝100（秒） 10蜜蜂到达B点需要：8×100÷10＝80（秒） 11蜜蜂到达B点需要：7×100÷11≈63.6（秒） 如果小偷到达B点需要小于20秒，则小偷会被5只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要20~50秒，则小偷会被4只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要50~63.6秒，则小偷会被3只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要63.6~80秒，则小偷会被4只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要80~100秒，则小偷会被5只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要100~125秒，则小偷会被5只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要125~157.1秒，则小偷会被6只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要157.1~200秒，则小偷会被7只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要200~500秒，则小偷会被6只蜜蜂蜇到； 如果小偷到达B点需要500秒以上，则小偷会被5只蜜蜂蜇到； 3＜4＜5＜6＜7 答：小偷最少会被3只蜜蜂蜇到。 【点睛】解答本题的关键是明确被蜜蜂追上且追上蜜蜂都会被蜇。 35．潜江市博物馆是一座地方历史性综合博物馆，坐落在美丽的江汉平原明珠——潜江市章华南路27号，筹建于1984年，占地面积7000平方米，建筑面积4300平方米，是国家三级博物馆之一。在武汉读书的凡凡一家三人决定到潜江市博物馆一日游，如果乘坐D366次动车，8：03从汉口站出发到达潜江站的时间是8：54，凡凡在比例尺为3∶10000000的百度地图上，通过测量，从汉口站到潜江站的图上路线长约为4.02厘米。 （1）动车从汉口站到潜江站共行驶了多长时间？汉口站到潜江站的实际距离约是多少千米？ （2）凡凡一家到达博物馆后，排队扫码测温进入博物馆时，凡凡发现她所在的游客行进路线两侧的收缩护栏共有40根（两侧收缩栏根数同样多），相邻两个护栏之间的收缩带长0.8米，这段路线长多少米？ 【答案】（1）51分钟；134千米；（2）15.2米 【分析】（1）先根据到达时间与出发时间的差求出动车行驶的时间，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出汉口站到潜江站的实际距离。 （2）两侧的收缩护栏共有40根，每侧有20根；中间有19个间距，相邻两个护栏之间的收缩带长0.8米，19与0.8的积就是这段路线长。 【详解】（1）8时54分－8时3分＝51（分） 4.02÷＝13400000（厘米） 13400000厘米＝134千米 答：动车从汉口站到潜江站共行驶了51分钟，汉口站到潜江站的实际距离约是134千米。 （2）40÷2＝20 0.8×（20－1） ＝0.8×19 ＝15.2（米） 答：这段路线长15.2米。 【点睛】本题考查了时间的计算、用比例尺解决问题及植树问题，需灵活掌握计算方法。 36．在一条500米长的小路两旁种树，若每隔5米种一棵，两端都种，一共可以种多少棵树？ 【答案】202棵 【分析】这是一个植树问题，要从两方面考虑：一是两端都要植，棵数＝间隔数＋1，二是两旁都要植，总棵数＝一旁的棵数×2；间隔数是：500÷5＝（100）个，每侧有树：100＋1＝101（棵），两旁共有101×2＝202（棵），据此解答。 【详解】（500÷5＋1）×2 ＝（100＋1）×2 ＝101×2 ＝202（棵） 答：一共可以种202棵树。 【点睛】本题属于在直线上两端都要栽的植树问题，要考虑实际情况。知识点是：栽树的棵数＝间隔数＋1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数－1（两端都不栽）：植树的棵数＝间隔数＋1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。 37．人民广场新建了一个圆柱形花坛，花坛中间有一个底面周长是6.28m的圆柱形喷水池，准备在距喷水池边1m处栽一圈观赏树，如果沿着这一圈每隔1.57m栽一棵，一共要栽多少棵观赏树？ 【答案】8棵 【分析】根据植树问题可知，圆形水池的一周种一圈观赏树，这一圈观赏树形成一个圆形，它的半径为：水池的半径＋1米，树的棵数＝间隔数，用水池一周的长度，除以每个间隔的长度即可求解。 【详解】6.28÷3.14÷2＋1 ＝1＋1 ＝2（米） 3.14×2×2÷1.57 ＝6.28×2÷1.57 ＝12.56÷1.57 ＝8（棵） 答：一共要栽8棵观赏树。 【点睛】本题考查了植树问题，关键求出是圆形喷水池的半径，利用树的棵数＝间隔数，解决问题。 38．沿江有，，，，，号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。早晨有甲、乙两船从号码头出发，各自在这些码头间多次往返运货，傍晚，甲船停泊在号码头，乙船停泊在号码头，求证：甲、乙两船的航程不相等。 【答案】甲、乙两船的航程不相等 【分析】根据题意，从甲乙两船各自经过的码头间隔总数是奇数倍还是偶数倍去求证。 【详解】乙船从1号码头到1号码头是往返，无论中间经过哪些，都可以看作原路返回，所以经过的码头间隔是偶数，从1号码头出发回到1号码头它的航程是码头间距离的偶数倍。 同时甲船从1号码头到6号码头，经过了5个码头间的距离，然后从6号码头到6号码头又是往返，那么经过的码头间隔也是偶数，因为5是奇数，奇数＋偶数＝奇数，那么甲船经过的总码头间隔是奇数，从1号码头出发到6号码头它的航程是码头间距离的奇数倍。 所以，甲、乙两船的航程不相等。 【点睛】此题的解题关键是利用甲乙两船所行驶的码头间隔的倍数出发，一个是偶数倍，一个是奇数倍，进行解答。 39．汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？ 【答案】37辆 【详解】1小时＝60分钟 60÷3＋1＝21（辆） 60÷4＋1＝16（辆） 21＋16＝37（辆） 答：1小时共发37辆汽车。 40．奥运会男子110米栏共有10个栏架，每两个栏架间距离相等．其中第一个栏架距离起跑线为13.72米，最后一个栏架距离终点线为14.02米，那么每两个栏架之间的距离是多少米？（提示：在草稿纸上先画一下草图） 【答案】9.14米 【详解】 （110－14.02－13.72）÷9 ＝82.26÷9 ＝9.14（米） 答：每两个栏架之间的距离是9.14米。 41．已知相邻两根电线杆之间的距离是35米，从小洪家到学校门口有36根电线杆，再往前595米，共有多少根电线杆？ 【答案】53根 【分析】根据题意可知，再往前595米，属于只有一端有电线杆，此时，根数＝总长÷间隔长，依此计算出再往前595米有电线杆的根数，最后再加36根即可，依此解答。 【详解】595÷35＝17（根） 17＋36＝53（根） 答：共有53根电线杆。 【点睛】此题考查的是植树问题的计算，先计算出再往前595米有电线杆的根数，是解题的关键。 42．全民健身是使人们增强体魄、健康生活的基础和保障，是每一个人成长和实现幸福生活的重要基础。幸福公园进行升级改造，留出了一块长80米，宽60米的长方形场地。 （1）请你按1∶2000的比例尺画出这块长方形场地的平面图。 （2）设计师计划在这块场地上建造一个最大的圆形健身场地。算一算，这个圆形健身场地的实际占地面积是（    ）平方米；如果在该健身场地一周每隔2米插一面旗子，大约需要（    ）面旗子。 【答案】（1）见详解 （2）2826；94 【分析】（1）根据“图上距离实际距离比例尺”分别求出这个长方形场地的图上的长、宽，然后即可画图。 （2）在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，据此根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆形健身场地的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出健身场地的周长，再用周长除以2，即可求出需要旗子的面数。 【详解】（1）80米＝8000厘米；60米＝6000厘米 8000×＝4（厘米） 6000×＝3（厘米） 这块长方形场地的图上长是4厘米，宽是3厘米； 根据以上数据画图如下： （2）3.14×（60÷2）2 ＝3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方米） 3.14×60÷2 ＝188.4÷2 ≈94（面） 这个圆形健身场地的实际占地面积是2826平方米；如果在该健身场地一周每隔2米插一面旗子，大约需要94面旗子。 【点睛】解答本题的关键明确长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，进而进行解答。 43．某小学组织168名师生到岳麓山游玩，现有两种车可租：大客车可乘坐游客50人，租金为500元；小客车可乘坐游客10人，租金为120元。 （1）请设计一种最省钱的租车方案，并求出最省钱的租金为多少元。 （2）在爬山时，师生们排成人数相等的两列并排前行，相邻两人相隔0.2 m，则这支队伍有多长？ 【答案】（1）1740元； （2）16.6米 【分析】（1）大客车每人的租金为：500÷50＝10元，小客车每人的租金为120÷10＝12元，由此可知，大客车的单车租金贵，每人次租金便宜，小客车单车租金便宜，每人的租金贵，因此要尽量多租大客车，然后再根据余下的人数确定租几辆小车；168÷50＝3（辆）……18（人），如果租3辆大车的话，余18人，租2辆小客车还有2个空座。因此可租3辆大客车，然后再租两车小客车即可。 （2）排成人数相等的两列，每列168÷2人，共168÷2－1个间隔，每隔间隔0.2米，据此可得这支队伍有多长。 【详解】（1）168÷50＝3（辆）……18（人） 2辆小客车可乘坐20人，因此租3辆大车，2辆小客车 3×500＋2×120 ＝1500＋240 ＝1740（元） 答：租3辆大车，两车小客车最省钱，租金为1740元。 （2）（168÷2－1）×0.2 ＝83×0.2 ＝16.6（米） 答：这支队伍有16.6米长。 【点睛】（1）租车优化问题首先要使便宜的车满座，如果剩余的人数比较较多又接近满座，可以考虑剩下的人再租用同一种车，如果剩余的人数比较少可以通过调整租用其它载人少的车； （2）解答这类题目的关键是明确间隔数＝每队的人数－1。 44．四年级一班有60人，排成两队，每两个同学相隔1米，队伍前后长米？ 【答案】29米 【分析】由于是两队，所以用总人数除以2求出一队的人数，根据植树问题的知识，间隔数要比每队的人数少1，所以用一队的人数减去1就是间隔数，用间隔数乘1就是队伍的长度。 【详解】60÷2＝30（米）， （30－1）×1 ＝29×1 ＝29（米）。 答：队伍前后长29米。 【点睛】本题考查了植树问题，关键是明确棵树和段数的关系。 45．在一座电视发射塔下有一条环形路，环形路内侧周长是150米，外侧周长是200米，在路的内侧每隔3米栽一棵树，内外两侧一共栽树100棵．在外侧每隔几米栽一棵树？ 【答案】4米 【详解】100－150÷3＝50（棵） 200÷50＝4（米） 答：外侧每隔4米栽一棵树． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 植树问题 知识点01：植树问题： 在一条路线上等距离植树，路线长（全长）、植树的棵数（株数）及相邻两棵树之间的距离（株距）这三个量之间存在着特殊关系。在这三个量中，已知其中两个量，求另一个未知量的问题，叫作植树问题。 知识点02：植树问题的两种情况： （1）在非封闭的路线上植树： ①两端都植树 株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×（株数-1） 株距=全长÷（株数-1） ②只有一端植树： 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 ③两端都不植树： 株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×（株数+1） 株距=全长÷（株数+1） （2） 在封闭的路线上植树： 株数=段数=全长÷株距；全长=株距×株数；株距=全长÷株数 【例1】2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 1．在AC这条新铺的路上等距离安装路灯，要求在A、B、C处都要安装一盏路灯，一共至少需要安装多少盏路灯？ 2．园林工人沿着一段公路的两侧栽树，两端都栽，每隔18米栽一棵树，一共栽了486棵树。这段公路有多长？ 3．A、B两地原来每隔30米安装一根电线杆，现在改为每隔45米安装一根电线杆，在安装过程中，除了两端的电线杆外，还有10根不需要移动，那么A、B两地相距多少米？ 【例2】在公路两旁栽树，公路长120米，原来每隔3米栽一棵树，现在改为每隔4米栽一棵树，两端都不栽。 (1)每隔多远就有一棵树不用拔起？ (2)一共有多少棵树不用拔起？ (3)被拔起的树有多少棵？ 1．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 2．阳光小学里有一条长138米的宣传长廊，计划在其两侧每隔6米贴一张优秀学生画作，但两端不贴。一共需要贴多少张画作？ 3．幸福大街两侧每隔50米粘贴一张“社会主义核心价值观”宣传标语（两端都不贴），一共贴了58张宣传标语。幸福大街全长多少米？ 【例3】汕尾品清湖周边要修建一条景观大道，实际长度是12千米，在设计图上的长度是6厘米。 (1)如果景观大道上有一座桥梁，在设计图上的长度是2厘米，这座桥梁的实际长度是多少千米？ (2)如果要在景观大道一旁种植树苗（一端裁一端不栽），已知间距3米时，可种4000棵，若间距改为4米，可种多少棵？ 1．如图是一个长方形水池，现要在水池四周等距离安装路灯，但要求A、B、C、D处都要安装一盏路灯，至少需要安装多少盏路灯？ 2．回家路上，小明看到社区工人正在一条60米长的小路旁植树。工人叔叔每隔3米栽一棵树。 (1)如果小路两端都栽树，一共需要多少棵树苗？ (2)如果只有一端栽树，需要多少棵树苗？ (3)工人李师傅说：“我准备了25棵树苗，按照一端栽树的方式，刚刚好。”小明觉得李师傅说得不对。请写出小明的思考过程。 3．我会策划。 新能源电动汽车对环境保护和空气洁净十分有益，几乎是“零污染”，因此被大众喜爱。为了方便人们充电，政府准备在一段长50米的道路一旁安装一些充电桩，每两个充电桩之间间隔5米。如果请你来策划，你能提出几种方案？请把你的方案用喜欢的方法记录下来。（可画图、可文字表达、可计算……）。 【例4】某圆形滑冰场的周长是135m。如果沿着该滑冰场的一周每隔15m安装一盏灯，共用了2小时，那么平均安装一盏灯用了多少小时？（结果用分数表示） 1．学校在一个三角形（三边相等）的花坛边上摆兰花，每边等距离摆4盆（三个顶点各摆一盆），每两盆花之间相距4米。 (1)一共需要摆多少盆花？ (2)花坛的周长是多少米？ 2．环绕九龙湖的环湖路上，每隔100米放置1个小垃圾桶，一共放了30个，九龙湖的环湖路全长是多少千米？ 3．志愿者组织20名参与活动的居民在画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始时，每相邻两人之间的距离是3米。玩了一会后，有12名参与游戏者被淘汰，剩下的人继续玩。在不改变圆形场地的大小，且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为多少米？ 一、填空题 1．甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第__________层。 2．小明的家住在5楼，他从1楼到3楼需要30秒，如果他保持同样的速度，从1楼到5楼需要( )秒。 3．在庆祝建党100周年时，工人在公路一旁挂灯笼（两端都挂），共挂了25个。原来每相邻两个灯笼之间的距离是40m，现在要改成60m，比原来减少了________个灯笼。 4．学校进行春季团体操表演时用彩旗围了一个边长16米的正方形场地。如果每隔2米插一面彩旗，沿着场地的一周最多可以插________面彩旗。 5．把一根粗细均匀长4米的木料平均锯成5段，用时6分钟。每段长（    ）米，每段占这根木料总长的。假设每锯断一次所用的时间相等，每锯一段用的时间是总时间的。 6．晚饭过后，李老师到公园锻炼身体，他发现路边有规律地竖有一些标示牌。 (1)这条步道呈椭圆形，从起点到终点长1.2千米，如果按上面的规律设置标示牌，一共需要设立( )块这样的标示牌。 (2)李老师绕这条步道散步了3圈，一共消耗了( )卡路里。 (3)根据标示牌中的信息，请你判断：消耗的卡路里与步行的路程成( )比例关系。 7．大课间活动时，三年级同学站成一个正方形方阵做集体操。每行、每列的人数同样多，刘奇同学站在左起第13列，右起第9列，则三年级一共有( )人。 8．一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出，他从乙站到甲站用了( )分钟。 9．在周长为40米的圆形水池边每隔2米摆一盆花，需要摆( )盆花；每两盆花之间站3个学生，共需要( )个学生。 10．小红从第一层楼走到第三层楼用了30秒，那么以同样的速度往上走到第6层，还需要( )秒才能到达。 11．小智和小慧比赛爬楼梯，当小智爬到第5层时，小慧爬到第4层，照这样的速度，当小智爬到第21层时，小慧爬到第( )层。 12．豆豆陪爷爷在人行道上散步，从第1盏路灯走到第12盏路灯一共用了22分钟。当他们用同样的速度走了40分钟时，走到了第( )盏路灯旁。 13．为庆祝建党100周年，工人在公路一旁挂灯笼（两端都挂），一共挂了25个。原来每相邻两个灯笼之间的距离是40米，现在要改成60米，比原来减少了_____个灯笼。 14．四、五、六三个年级各有100名学生去春游，都分成2列（竖排）并列行进。四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别为1米、2米、3米，年级之间相距5米。他们每分钟都走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长___________米。 15．有一条小路，左边每隔5米种一棵桃树、右边每隔6米种一棵梨树，而且两端都种上树，共有5处桃树与梨树相对。这条路长( )米。 二、选择题 16．马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是（    ）。 A．3.5千米 B．3千米 C．2.8千米 D．2.6千米 17．在一条长400米的马路两边植树，两端都要种，每隔20米种一棵，一共需要种几棵树？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 18．从1980年到2000年，共有（    ）个闰年？（含1980年和2000年） A．6 B．7 C．8 D．9 19．2025年是抗战胜利80周年，张老师要在纪念活动之前完成以下工作。下面表述正确的有（    ）句。 ①做一个三角形的活动指引牌，已知其中两条边为4分米和8分米，第三条边一定大于4分米。 ②用6个圆心角是60°的扇形纸板，它们一定能拼成一个圆。 ③有1000元的活动资金买相同的纪念品，单价与数量之间成反比例关系。 ④在长15米的舞台正前方从头到尾每隔1米放一排盆栽，一共要放16盆。 A．1 B．2 C．3 D．4 20．将一根水管锯成2段需5分钟，照这样计算，锯成5段要用（    ）。 A．25 B．20 C．12.5 D．15 21．一根木棍锯成4段需要6分钟，如果锯成7段需要（    ）分钟。 A．6 B．7 C．12 D．14 22．为响应国家绿色家园的号召，公路两旁每隔8米栽一棵树（首尾都栽），一段公路长96米，这段公路需栽树（    ）棵。 A．13 B．22 C．24 D．26 23．某段公路长为440米，在公路两旁每隔8米种一颗樟树，两端都栽，共种（    ）棵。 A．56 B．110 C．112 D．220 24．一根2米长的钢管，锯成相等的若干段，5次锯完，每段占全长的（    ）。 A． B． C． D． 25．下列说法正确的个数是（    ）。 （1）任何自然数的倒数都比1小。 （2）水结成冰体积增加，那么冰化成水体积要缩小。 （3）一根木头锯成4段要付锯板费1.2元，若要锯成12段，则要付锯板费3.6元。 （4）两个完全相同的三角形一定能拼成一个平行四边形。 （5）圆柱的侧面积一定，其底面半径与高成反比例。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．将一根木棒锯成4段需要6分钟，照这样计算，将这根木棒锯成7段需要（    ）分钟。 A．10 B．12 C．14 D．16 27．小明家住在8楼，他家的车位在﹣2楼，如果乘坐电梯每上一层楼需要3秒（电梯中途不停），那么他从﹣2楼乘坐电梯到8楼需要（    ）秒。 A．27 B．30 C．24 D．33 28．在解决下面4个问题时都运用了（    ）。 ①用数对确定电影院每一位观众的座位 ②求两个数相差多少 ③画正比例图像时描点的过程 ④锯木头时，锯的段数和次数之间的关系 A．对应思想 B．假设思想 C．逆推策略 D．转化策略 29．一根木头锯成3段需要12分钟，照这样计算，锯成6段需要（    ）分钟。 A．24 B．20 C．30 D．36 30．把一根木头锯成2段需要分钟，如果要锯成6段，需要（    ）分钟。 A． B． C． D． 三、解答题 31．华兴镇在实施“生态美居”工程建设中，准备在A－B－C这条路上等距离安装路灯（A、B、C处都要安装）。这条路上最少需要安装多少盏路灯？ 32．如图为一个三角形的绿化带，现在要沿着△ABC的边等距离植树，要求在点A、B、C处各植一棵树，求最少要植多少棵树？ 33．如图，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧要等距离地安装路灯，要求在A、B、C处各安装一盏路灯，问这条街道最少要安装多少盏路灯？ 34．如图，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂，它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米/秒”。小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中。只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下。请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？ 35．潜江市博物馆是一座地方历史性综合博物馆，坐落在美丽的江汉平原明珠——潜江市章华南路27号，筹建于1984年，占地面积7000平方米，建筑面积4300平方米，是国家三级博物馆之一。在武汉读书的凡凡一家三人决定到潜江市博物馆一日游，如果乘坐D366次动车，8：03从汉口站出发到达潜江站的时间是8：54，凡凡在比例尺为3∶10000000的百度地图上，通过测量，从汉口站到潜江站的图上路线长约为4.02厘米。 （1）动车从汉口站到潜江站共行驶了多长时间？汉口站到潜江站的实际距离约是多少千米？ （2）凡凡一家到达博物馆后，排队扫码测温进入博物馆时，凡凡发现她所在的游客行进路线两侧的收缩护栏共有40根（两侧收缩栏根数同样多），相邻两个护栏之间的收缩带长0.8米，这段路线长多少米？ 36．在一条500米长的小路两旁种树，若每隔5米种一棵，两端都种，一共可以种多少棵树？ 37．人民广场新建了一个圆柱形花坛，花坛中间有一个底面周长是6.28m的圆柱形喷水池，准备在距喷水池边1m处栽一圈观赏树，如果沿着这一圈每隔1.57m栽一棵，一共要栽多少棵观赏树？ 38．沿江有，，，，，号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。早晨有甲、乙两船从号码头出发，各自在这些码头间多次往返运货，傍晚，甲船停泊在号码头，乙船停泊在号码头，求证：甲、乙两船的航程不相等。 39．汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？ 40．奥运会男子110米栏共有10个栏架，每两个栏架间距离相等．其中第一个栏架距离起跑线为13.72米，最后一个栏架距离终点线为14.02米，那么每两个栏架之间的距离是多少米？（提示：在草稿纸上先画一下草图） 41．已知相邻两根电线杆之间的距离是35米，从小洪家到学校门口有36根电线杆，再往前595米，共有多少根电线杆？ 42．全民健身是使人们增强体魄、健康生活的基础和保障，是每一个人成长和实现幸福生活的重要基础。幸福公园进行升级改造，留出了一块长80米，宽60米的长方形场地。 （1）请你按1∶2000的比例尺画出这块长方形场地的平面图。 （2）设计师计划在这块场地上建造一个最大的圆形健身场地。算一算，这个圆形健身场地的实际占地面积是（    ）平方米；如果在该健身场地一周每隔2米插一面旗子，大约需要（    ）面旗子。 43．某小学组织168名师生到岳麓山游玩，现有两种车可租：大客车可乘坐游客50人，租金为500元；小客车可乘坐游客10人，租金为120元。 （1）请设计一种最省钱的租车方案，并求出最省钱的租金为多少元。 （2）在爬山时，师生们排成人数相等的两列并排前行，相邻两人相隔0.2 m，则这支队伍有多长？ 44．四年级一班有60人，排成两队，每两个同学相隔1米，队伍前后长米？ 45．在一座电视发射塔下有一条环形路，环形路内侧周长是150米，外侧周长是200米，在路的内侧每隔3米栽一棵树，内外两侧一共栽树100棵．在外侧每隔几米栽一棵树？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $