9.1.1·正弦定理【知识梳理+8个核心题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教B版必修第四册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【9.1.1·正弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正弦定理求三角形的边长与夹角】 【练方法】 知识梳理 1正弦定理核心公式：（为外接圆半径） 2适用场景：已知两角及一边或两边及其中一边的对角求其他边或角 3三角形内角和： 解题方法 1已知两角及一边：先用内角和求第三角再用正弦定理求其他边 2已知两边及对角：用正弦定理求另一角的正弦值再用大边对大角判断角的大小 3注意事项：正弦定理求角时需结合三角形内角范围判断是否存在两解 （25-26高一下·福建莆田·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】由正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则为锐角，所以． （湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求的值. 【详解】由，有，得， 因为，所以，所以或， 又，所以应舍去，则. 又，解得. （2026·云南昆明·模拟预测）已知中，角所对应的边分别为，且，则边长__________．小试牛刀1 【答案】或3 【分析】利用正弦定理求得，从而求得，对进行分类讨论，由此求得. 【详解】由正弦定理得：， 因为，所以， 故或； 当时，； 当时，，所以，所以. 故或. （25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，则，故， 由正弦定理得， 由于，故或. （25-26高一下·山东淄博·月考）在中，，则角的大小为（    ）小试牛刀3 A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由正弦定理可得：，即， 由于，故，又，则或. 【题型2：正弦定理在边角互化的应用】 【练方法】 知识梳理 1边化角： 2角化边： 3齐次式结论：若条件为边的齐次式可直接用边化角；若为角的正弦齐次式可直接角化边 解题方法 1边化角：将条件中的边全部替换为对应角的正弦再用三角恒等变换化简 2角化边：将条件中的正弦全部替换为对应边转化为边的关系再因式分解或配方 3秒杀技巧：齐次式直接消去简化计算 （25-26高一下·安徽安庆·期中）在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理把换为，代入式子约分得到，再结合求出外接圆直径，即可算出原式结果. 【详解】在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. 由此可得，. 将其代入，得：. 因为是不等边三角形，所以，即，. 化简得，又由正弦定理. 已知，，则，故. 综上，. （25-26高一下·海南·月考）已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即， 由，所以， 因为，则， 所以，而，则，且， 所以，则得. （25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）记内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的有（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于， 又因三角形中大边对大角，故等价于，故A正确； 对于B，因为，所以或， 即或，故错误； 对于C，由正弦定理，结合条件得， 所以，所以. 又，则，即，故C正确； 对于D，由正弦定理，结合条件得， 所以，即，又，， 所以或（舍去），所以，故D正确. （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（   ）小试牛刀2 A．1∶4∶9 B．1∶2∶3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，， 所以 （25-26高一下·河南郑州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则___________．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解. 【详解】由，由正弦定理得 ， 又 ， 所以， 又由，所以， 所以， 所以 ，即， 解得或． 又因为，且， 所以，所以，即． 【题型3：正弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 知识梳理 1已知两边及其中一边的对角（如）判断解的个数的核心依据 2常考结论（为锐角）： ：无解 ：一解（直角三角形） ：两解 ：一解 3为钝角或直角时： ：一解 ：无解 解题方法 1先计算的值与比较大小 2结合的类型（锐角/钝角/直角）判断解的个数 3用大边对大角验证：若求出的角大于或不满足三角形内角和则无解 （2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______.经典例题1例题 【答案】2 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. （25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________.经典例题2例题 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. （25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. （2025高三上·安徽六安·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________．小试牛刀2 【答案】或. 【分析】根据题意，结合正弦定理，分类讨论，即可求解. 【详解】由中，，，要使得存在且唯一确定， 当时，如图（1）所示，则满足； 当时，如图（2）所示，则满足. 故答案为：或.    （24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．小试牛刀3 【答案】3(答案不唯一) 【分析】要使得满足条件的有两个，需结合三角形解的个数来分析. 【详解】解：要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足： 代入，,得， 所以，. 因此，可以取3(也可取2到4之间的任意数） 故答案为：3(答案不唯一) 【题型4：正弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 知识梳理 1核心思路：通过边角互化将条件转化为边的关系或角的关系 2常见结论： 若则或（舍去）三角形为等腰三角形 若则三角形为直角三角形 若则三角形为直角三角形 解题方法 1边化角法：将边全部转化为角的正弦再用三角恒等变换化简得到角的关系 2角化边法：将正弦全部转化为边再因式分解或配方得到边的关系 3特殊值法：取特殊角或特殊边验证三角形的形状 （25-26高一下·福建莆田·期中）已知在中，，则的形状为（   ）经典例题1例题 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理化边为角可判断答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以，即， 所以或，即或， 的形状为等腰三角形或直角三角形. （25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，已知，试判断的形状是（    ）经典例题2例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 化简得，即， 因为，所以，所以是等腰直角三角形. （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ）小试牛刀1 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，再结合和角公式化简，推出，从而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. （25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（   ）小试牛刀2 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】由，利用二倍角公式得到，再利用正弦定理求解. 【详解】由， 得，即， 由正弦定理得， 即，因为， 所以，解得， 所以一定为直角三角形. （25-26高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 【题型5：正弦定理求三角形外接圆的半径/周长面积】 【练方法】 知识梳理 1外接圆半径公式： 2周长公式： 3面积公式：或 解题方法 1求外接圆半径：已知一边及对角直接用计算 2求周长：用正弦定理将边转化为角的正弦再用三角恒等变换化简 3求面积：已知三边和外接圆半径用；已知外接圆半径和角用 （25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，求得，结合正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 设外接圆的半径为，因为，可得， 所以，即外接圆的半径为. （25-26高一下·上海浦东新·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.经典例题2例题 【答案】1 【详解】∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴. （25-26高一下·江苏·月考）已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出，最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径即可. 【详解】在中，，则， ， ，同理求得， ， 设外接圆的半径为R，则， 故由的面积为1，得， 即，解得. （25-26高一下·重庆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____小试牛刀2 【答案】5 【分析】利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 故外接圆的半径为5. （25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ）小试牛刀3 A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理可得==， 所以，解得， 所以外接圆的半径为8. 【题型6：正弦定理求三角形的周长】 【练方法】 1周长表达式： 2用正弦定理转化： 3内角和关系：可将代入化简周长表达式 解题方法 1已知一边及对角：用正弦定理将另两边表示为角的函数再用和差化积化简周长 2已知外接圆半径：用再结合三角恒等变换化简 3注意事项：需结合三角形内角范围确定周长的取值范围 （25-26高二下·贵州贵阳·期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.经典例题1例题 (1)求角B； (2)，，求△ABC的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案； （2）先求出，由正弦定理求出a、c，即可求出的周长 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以. （2）因为，，所以， ， 由正弦定理可得：， 所以，解得：，. 所以求的周长为. （2026·北京丰台·一模）在中，，，分别为内角，，所对的边，．经典例题2例题 (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件①②，周长为；选择条件③，三角形不存在 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，进而可求； （2）选择条件①：利用正弦定理可求得，利用三角恒等变换求得，进而利用正弦定理求得，进而可求周长. 选择条件②：利用三角恒等变换求得，进而利用正弦定理求得，进而可求周长. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知. 选择条件①：因为，，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． ． 由正弦定理，所以，解得． 所以三角形的周长． 选择条件②：． 因为， 所以． 由正弦定理，所以， 解得， 所以三角形的周长. 择条件③：因为，，， 由正弦定理，则， 解得，故不存在. （2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示．小试牛刀1 (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由图象可得，求出，求出周期进而求出，由，求出，得解； （2）由求出，由求得，再根据由正弦定理求出，得解. 【详解】（1）由图知：，解得：，； 又，即，则，； 由，得，又，则； 故的解析式为：. （2）因为，即，又，解得； 所以，则或（舍去）； 在中，由正弦定理知：，故； ； 则， 故的周长为. （25-26高三上·福建厦门·期中）已知的内角的对边分别为，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，即，即可求解； （2）根据题意，由正弦定理和正弦的倍角公式，化简求得，得到，求得，再由正弦定理，分别求得和，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以，可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，可得， 因为，可得，所以，所以， 又因为， 可得， 又由正弦定理， 可得，， 所以的周长为. （25-26高三上·云南曲靖·期中）在中，角､､所对的边分别为､､，，.小试牛刀3 (1)求函数的最大值及对应的值； (2)若，，，求的周长. 【答案】(1)的最大值为，此时 (2)的周长为 【分析】（1）根据角A的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的性质，分析可得当时，有最大值，计算即可得答案. （2）根据（1），结合题意，可得角A的大小，根据正弦定理，结合条件，可得的值，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，即时，， 所以的最大值为，此时. （2）由（1）得，因为， 所以，解得， 又，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长为. 【题型7：正弦定理求三角形的面积】 【练方法】 知识梳理 1面积公式： 2外接圆半径形式： 3结合正弦定理： 解题方法 1已知两边及夹角：直接用计算 2已知一边及对角：用正弦定理表示其他边和角再代入面积公式 3已知外接圆半径：用计算 （25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，若，，.经典例题1例题 (1)求边和角； (2)求的面积. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）直接用正弦定理解三角形可得； （2）由（1）解析中两种情况分别求面积可得. 【详解】（1）因为中，，，，由正弦定理得， 又因为，所以或. 当时，， ， 由正弦定理； 当时，， ， 由正弦定理； 所以或. （2）由（1）知或. 当时，，所以三角形面积； 当时，，所以三角形面积； 所以或. （25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，已知.经典例题2例题 (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的面积. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得结果； （2）由题意可得，利用两角和差公式可得，进而可得面积. 【详解】（1）由正弦定理，可得， 因为，所以或. （2）因为为锐角三角形，则， 则， 所以的面积 . （25-26高一下·山东菏泽·期中）在中，，，，则的面积是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，所以的面积. （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和与两角和的正弦公式，推导出角为直角，再结合直角三角形的面积公式求解. 【详解】由三角形内角和得，故， 即， 结合题设，可得， 因，，故，即， 因此为直角三角形，面积. 代入，得. （25-26高一下·湖北荆州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理即可求解. 【详解】由题意得，代入得， 由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 代入，得，故D正确. 【题型8：正弦定理求三角形的周长面积的最值】 【练方法】 知识梳理 1固定一边及对角：由正弦定理周长和面积均可表示为角的函数 2周长最值：等腰三角形时周长最大 3面积最值：当角为固定值时两边乘积最大时面积最大等腰三角形时两边乘积最大 解题方法 1周长最值： 用正弦定理将周长表示为角的函数再用三角恒等变换化为单一三角函数求值域 结论：固定一边及对角时等腰三角形周长最大 2面积最值： 用正弦定理表示两边的乘积再用基本不等式求最大值 结论：固定一边及对角时等腰三角形面积最大 3验证：需结合三角形内角范围确保最值能取到 （25-26高一下·甘肃·期中）记的内角的对边分别为，已知为的外心.经典例题1例题 (1)求； (2)求的面积； (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理可求出外接圆半径，再利用圆周角定理与面积公式计算即可得解； （3）法一：借助正弦定理将边化为角后，利用三角恒等变换公式计算即可得解.法二：借助余弦定理及基本不等式可得周长最大值，结合三角形三边关系即可得周长范围. 【详解】（1）由余弦定理得， 又，所以； （2）为的外心，则由正弦定理得， 所以，又， 所以； （3）由（1）及正弦定理得， 则， 记的周长为，则， 又，则， 则， 因为，所以， 所以，所以. 方法二： 由，得， 因为，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 因为，所以，所以， 即周长的取值范围为. （25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.经典例题2例题 (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. （2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且．小试牛刀1 (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积 ， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. （25-26高一下·吉林四平·月考）在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】首先根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，然后根据面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立， 故. 因此，面积的最大值为. （25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足.小试牛刀3 (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合题干和正弦定理建立方程求解. 【详解】在中由正弦定理，可得： 已知，则，且， 代入上式：，解得. 2．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，且，则必为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，根据三角形内角范围得到两角相等，从而判断三角形为等腰三角形。 【详解】由已知及正弦定理得：， 所以，又， 所以，所以，所以， 所以（舍去）．故三角形为等腰三角形． 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，其中为外接圆半径， 所以， 而，因此． 4．（25-26高三下·河南周口·月考）已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得. 所以. 5．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，以及条件变形，结合三角函数恒等变换，即可求解. 【详解】由条件可知，，， 所以，根据正弦定理得， ， 因为，所以. 6．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，在中，，则（    ）      A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】在和中，利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得：①， 在中，由正弦定理得：②， 又，所以， 由①②得：. 7．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得及，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为 由正弦定理，可得. 8．（25-26高一下·浙江·期中）在中，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理得，再结合得. 【详解】因为在中，，即， 所以由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以. 9．（25-26高一下·湖南长沙·期中）在中，角的对边分别为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由求出再求出，由正弦定理求出. 【详解】∵A，C是三角形内角，∴. 又∵，∴，，， 由正弦定理得，故. 二、多选题 10．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，则（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．已知，，若，则有两解 D．若为锐角三角形，则 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理解三角形判断A，利用正弦定理结合二倍角公式判断B，利用三角形性质可判断C，利用正弦函数性质结合同角三角函数的基本关系判断D即可. 【详解】对A，若，由正弦定理，得，所以，所以A正确； 对B，因为，由正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确； 对C，已知，， 当且仅当时，有两解，所以C错误； 对D，因为为锐角三角形，所以，即， 又因为在上为增函数， 且，，所以， 又因为，所以，同理， ，， 即， 所以， 整理得：，所以D正确. 11．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若，则符合条件的有且仅有一个 D．对任意的，都有 【答案】ABD 【分析】根据正余弦定理及三角形的性质依次判断即可求解. 【详解】对于A，由三角形中大角对大边的性质，若，则， 由正弦定理，其中为外接圆的半径， 可得，因此，即，故A正确； 对于B，由余弦定理可得，代入， 则有，又因为，所以， 由于是的内角，，所以，故B正确； 对于C，已知，因为且， 即，所以符合条件的有两个，故C错误； 对于D，在中，且，所以，， 因此有，，则由和差化积公式有，故D正确. 12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，，，则符合条件的△ABC有两个 D．若△ABC为锐角三角形，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由诱导公式知，错误； 对于B，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对于C，若，，，则， 即，所以符合条件的△ABC有两个，正确； 对于D，∵，∴，∴，正确. 13．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由正弦定理计算求解判定各个选项. 【详解】由正弦定理，得， 又，，B正确；A错误；C错误； 由， 得，D正确． 故选：BD. 三、填空题 14．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【分析】借助正弦定理计算可得，再由圆的面积公式即可得. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 15．（25-26高三上·北京·月考）在中， ，，则 ________ ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得答案. 【详解】由正弦定理，，结合 ，， 则. 故答案为：. 四、解答题 16．（2026·天津和平·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得， 故. （2）由（1）可知，则角为锐角，因为，， 求得，，同理解得，， 因为，所以 ， 则. （3）由，故， ，， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【9.1.1·正弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正弦定理求三角形的边长与夹角】 【练方法】 知识梳理 1正弦定理核心公式：（为外接圆半径） 2适用场景：已知两角及一边或两边及其中一边的对角求其他边或角 3三角形内角和： 解题方法 1已知两角及一边：先用内角和求第三角再用正弦定理求其他边 2已知两边及对角：用正弦定理求另一角的正弦值再用大边对大角判断角的大小 3注意事项：正弦定理求角时需结合三角形内角范围判断是否存在两解 （25-26高一下·福建莆田·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________．经典例题1例题 （湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·云南昆明·模拟预测）已知中，角所对应的边分别为，且，则边长__________．小试牛刀1 （25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．或 D． （25-26高一下·山东淄博·月考）在中，，则角的大小为（    ）小试牛刀3 A． B．或 C． D．或 【题型2：正弦定理在边角互化的应用】 【练方法】 知识梳理 1边化角： 2角化边： 3齐次式结论：若条件为边的齐次式可直接用边化角；若为角的正弦齐次式可直接角化边 解题方法 1边化角：将条件中的边全部替换为对应角的正弦再用三角恒等变换化简 2角化边：将条件中的正弦全部替换为对应边转化为边的关系再因式分解或配方 3秒杀技巧：齐次式直接消去简化计算 （25-26高一下·安徽安庆·期中）在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·海南·月考）已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）记内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的有（   ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（   ）小试牛刀2 A．1∶4∶9 B．1∶2∶3 C． D． （25-26高一下·河南郑州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则___________．小试牛刀3 【题型3：正弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 知识梳理 1已知两边及其中一边的对角（如）判断解的个数的核心依据 2常考结论（为锐角）： ：无解 ：一解（直角三角形） ：两解 ：一解 3为钝角或直角时： ：一解 ：无解 解题方法 1先计算的值与比较大小 2结合的类型（锐角/钝角/直角）判断解的个数 3用大边对大角验证：若求出的角大于或不满足三角形内角和则无解 （2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______.经典例题1例题 （25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________.经典例题2例题 （25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________.小试牛刀1 （2025高三上·安徽六安·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________．小试牛刀2 （24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．小试牛刀3 【题型4：正弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 知识梳理 1核心思路：通过边角互化将条件转化为边的关系或角的关系 2常见结论： 若则或（舍去）三角形为等腰三角形 若则三角形为直角三角形 若则三角形为直角三角形 解题方法 1边化角法：将边全部转化为角的正弦再用三角恒等变换化简得到角的关系 2角化边法：将正弦全部转化为边再因式分解或配方得到边的关系 3特殊值法：取特殊角或特殊边验证三角形的形状 （25-26高一下·福建莆田·期中）已知在中，，则的形状为（   ）经典例题1例题 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 （25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，已知，试判断的形状是（    ）经典例题2例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ）小试牛刀1 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 （25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（   ）小试牛刀2 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 （25-26高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【题型5：正弦定理求三角形外接圆的半径/周长面积】 【练方法】 知识梳理 1外接圆半径公式： 2周长公式： 3面积公式：或 解题方法 1求外接圆半径：已知一边及对角直接用计算 2求周长：用正弦定理将边转化为角的正弦再用三角恒等变换化简 3求面积：已知三边和外接圆半径用；已知外接圆半径和角用 （25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________.经典例题1例题 （25-26高一下·上海浦东新·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.经典例题2例题 （25-26高一下·江苏·月考）已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________．小试牛刀1 （25-26高一下·重庆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____小试牛刀2 （25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ）小试牛刀3 A．4 B．2 C．8 D．16 【题型6：正弦定理求三角形的周长】 【练方法】 1周长表达式： 2用正弦定理转化： 3内角和关系：可将代入化简周长表达式 解题方法 1已知一边及对角：用正弦定理将另两边表示为角的函数再用和差化积化简周长 2已知外接圆半径：用再结合三角恒等变换化简 3注意事项：需结合三角形内角范围确定周长的取值范围 （25-26高二下·贵州贵阳·期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.经典例题1例题 (1)求角B； (2)，，求△ABC的周长. （2026·北京丰台·一模）在中，，，分别为内角，，所对的边，．经典例题2例题 (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示．小试牛刀1 (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． （25-26高三上·福建厦门·期中）已知的内角的对边分别为，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若，，求的周长. （25-26高三上·云南曲靖·期中）在中，角､､所对的边分别为､､，，.小试牛刀3 (1)求函数的最大值及对应的值； (2)若，，，求的周长. 【题型7：正弦定理求三角形的面积】 【练方法】 知识梳理 1面积公式： 2外接圆半径形式： 3结合正弦定理： 解题方法 1已知两边及夹角：直接用计算 2已知一边及对角：用正弦定理表示其他边和角再代入面积公式 3已知外接圆半径：用计算 （25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，若，，.经典例题1例题 (1)求边和角； (2)求的面积. （25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，已知.经典例题2例题 (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的面积. （25-26高一下·山东菏泽·期中）在中，，，，则的面积是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C．1 D． （25-26高一下·湖北荆州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：正弦定理求三角形的周长面积的最值】 【练方法】 知识梳理 1固定一边及对角：由正弦定理周长和面积均可表示为角的函数 2周长最值：等腰三角形时周长最大 3面积最值：当角为固定值时两边乘积最大时面积最大等腰三角形时两边乘积最大 解题方法 1周长最值： 用正弦定理将周长表示为角的函数再用三角恒等变换化为单一三角函数求值域 结论：固定一边及对角时等腰三角形周长最大 2面积最值： 用正弦定理表示两边的乘积再用基本不等式求最大值 结论：固定一边及对角时等腰三角形面积最大 3验证：需结合三角形内角范围确保最值能取到 （25-26高一下·甘肃·期中）记的内角的对边分别为，已知为的外心.经典例题1例题 (1)求； (2)求的面积； (3)求周长的取值范围. （25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.经典例题2例题 (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. （2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且．小试牛刀1 (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． （25-26高一下·吉林四平·月考）在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________.小试牛刀2 （25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足.小试牛刀3 (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，且，则必为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河南周口·月考）已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，在中，，则（    ）      A．3 B．2 C． D． 7．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，已知，则（    ） A． B． C．3 D． 8．（25-26高一下·浙江·期中）在中，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 9．（25-26高一下·湖南长沙·期中）在中，角的对边分别为，则（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 10．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，则（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．已知，，若，则有两解 D．若为锐角三角形，则 11．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若，则符合条件的有且仅有一个 D．对任意的，都有 12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，，，则符合条件的△ABC有两个 D．若△ABC为锐角三角形，则 13．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 15．（25-26高三上·北京·月考）在中， ，，则 ________ ． 四、解答题 16．（2026·天津和平·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $