9.1.1 第1课时 正弦定理的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理这一核心知识点，以三角形面积公式为基础推导正弦定理，梳理其变形公式（如边化角、角化边），并系统应用于解三角形（已知两角及一边、两边及其中一边的对角），构建从基础到应用的学习支架。 该资料通过“测量河对岸距离”情境导入，引导学生用数学眼光观察现实问题，结合锐角、钝角三角形分类证明培养数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 新课导入 学习目标 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式． 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 3．能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题． 第1课时　正弦定理的概念 [知识梳理] 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝ab_sin_C＝ac_sin_B＝bc_sin_A． [例1] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．2 C．2 D． (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则c＝________． 【解析】　(1)因为cos A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝2.故选C. (2)因为S△ABC＝bc sin A， 所以×2c×sin ＝， 解得c＝3. 【答案】　(1)C　(2)3 三角形面积的求法 在应用三角形面积公式时，要注意根据已知条件中的边角选择合适的形式，若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A. [跟踪训练1] 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，若△ABC的面积为，则C＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选C.因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝，所以sin A＝1. 因为0°<A<150°，所以A＝90°，所以C＝60°. 思考1　在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，则有sin A＝，sin B＝.从这两个式子能得到关于A，B，a，b怎样的定量关系？ 提示　＝. 思考2　在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c, ＝＝是否成立？如何证明呢？ 提示　 如图，若△ABC为锐角三角形，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝a sin C＝c sin A，所以＝.同理可得＝.因此＝＝. 若△ABC为钝角三角形，仿照上述方法，同样可得＝＝. [知识梳理] 1．正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.　 2．正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (5)＝2R. 3．解三角形：我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 角度1　已知两角及一边解三角形 [例2] 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 【解】　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2＋2. 已知两角及一边解三角形的一般步骤 [跟踪训练2] (1)在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝(　　) A．5 B．10 C．10 D．5 解析：选A.由正弦定理＝， 得b＝＝＝5. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos B＝，a＝10，则b＝____________． 解析：因为cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝.又sin A＝，a＝10， 所以由正弦定理＝， 得＝，解得b＝. 答案： 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例3] (对接教材例2)在△ABC中，已知B＝45°，b＝，a＝，解三角形． 【解】　由正弦定理＝， 知sin A＝＝， 因为b<a，所以A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 母题探究　若本例中，“B＝45°”改为“A＝60°”，其他条件不变，解三角形． 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝， 因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角； (3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论． [跟踪训练3] (多选)在△ABC中，a＝3，b＝4，sin A＝，则sin C＝(　　) A．1 B． C．－ D． 解析：选AB.由正弦定理＝， 知sin B＝＝＝. 又a＝3，b＝4，所以b>a，所以B>A，所以A一定为锐角， 所以cos A＝＝＝. 当B为锐角时，cos B＝＝＝， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝1； 当B为钝角时， cos B＝－＝－＝－， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝. 综上，sin C＝1或sin C＝. 1．(教材P7练习AT1改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A＝，C＝，则b＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 解析：选C.因为A＝，C＝，所以B＝π－A－C＝，因为＝，所以b＝＝＝＝2.故选C. 2．(多选)在△ABC中，a＝4，b＝6，S△ABC＝6，则C＝(　　) A．135° B．45° C．60° D．120° 解析：选AB.△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝×4×6sin C＝6，所以sin C＝，又0°<C<180°，故C＝45°或C＝135°. 3．(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　) A．a>b sin A B．a sin B＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A 解析：选BD.在△ABC中，由正弦定理＝，得a sin B＝b sin A，所以a＝，因为B∈(0，π)，所以sin B∈(0，1]，所以a＝≥b sin A，所以A不一定成立，C不成立，B，D一定成立．故选BD. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，且b sin 2A＝a sin B (1)求A； (2)若sin B＝，求c. 解：(1)由b sin 2A＝a sin B，则2sin B sin A cos A＝sin A sin B， 在△ABC中，有sin A>0，sin B>0，故cos A＝，A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为sin B<sin A，所以B<A＝， 所以cos B＝＝， 因为A＋B＋C＝π， 所以sinC＝sin (A＋B)＝×＋×＝， 由正弦定理可得c＝＝3××＝. 1．已学习：正弦定理及其变形公式、利用正弦定理解三角形． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及其变形公式实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及其中一边的对角解三角形时一般要分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $