9.1.1 第1课时 正弦定理的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）
9．1 正弦定理与余弦定理
9．1.1 正弦定理
新课导入 | 学习目标 |
在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ | 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式． 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 3．能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题． |
第1课时 正弦定理的概念
[知识梳理]
一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝
ab_sin_C＝ac_sin_B＝bc_sin_A．
[例1] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cos A＝
，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为( )
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A．1 B．2
C．2
D．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝
，b＝2，且△ABC的面积为
，则c＝________．
【解析】 (1)因为cos A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝
bc sin A＝2.故选C.
(2)因为S△ABC＝bc sin A，
所以×2c×sin 
＝，
解得c＝3.
【答案】 (1)C (2)3
三角形面积的求法
在应用三角形面积公式时，要注意根据已知条件中的边角选择合适的形式，若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A.
[跟踪训练1] 在△ABC中，AB＝
，AC＝1，B＝30°，若△ABC的面积为
，则C＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C.因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝，所以sin A＝1.
因为0°<A<150°，所以A＝90°，所以C＝60°.
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思考1 在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝
，则有sin A＝
，sin B＝
.从这两个式子能得到关于A，B，a，b怎样的定量关系？
提示 
＝
.
思考2 在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c, 
＝
＝
是否成立？如何证明呢？
提示
如图，若△ABC为锐角三角形，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝a sin C＝c sin A，所以＝
.同理可得＝.因此＝＝.
若△ABC为钝角三角形，仿照上述方法，同样可得＝＝.
[知识梳理]
1．正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝
＝.
2．正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
(1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A.
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
(3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.
(4)sin A＝
，sin B＝
，sin C＝
.
(5)
＝2R.
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