江苏南京师范大学附属中学秦淮科技高中2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学学科试题

南师附中秦淮科技高中高二年级第二学期期中考试 数学学科 2026．4 （考试时间为120分钟，试卷满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每题给出的四个选项中只有一项是正确的． 1. 计算（ ） A. 42 B. 36 C. 21 D. 20 2. 若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 5. 现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是（ ） A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 6. 已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（ ） A. B. C. D. 的图象关于对称 7. 已知存在使不等式成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与面交于点，则 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥与的外接球体积之比为 11. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个彩票盒中装有12张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有2张，奖金为300元的二等奖彩票有3张，奖金为100元的三等奖彩票有7张，从中随机抽出3张彩票，则抽出的3张彩票的奖金总额不高于700元的概率是____________． 13. 已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________． 14. 在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． （1）证明：面平面； （2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值． 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． （1）求的概率分布列，并求出数学期望； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 18. 吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是，其中与都是正整数，且． （1）证明：，； （2）化简：； （3）证明：当时，. 19. 已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若对恒成立，求整数的最小值； （3）当，证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点． 南师附中秦淮科技高中高二年级第二学期期中考试 数学学科 2026．4 （考试时间为120分钟，试卷满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每题给出的四个选项中只有一项是正确的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【16题答案】 【答案】（1） 由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，， 由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ， 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 1 2 3 4 5 6 7 （2）小明同学不能盈利. 【18题答案】 【答案】（1）证明： 当，，即得证. （2）； （3）证明：当时， 等式左边第一部分： 等式左边第二部分： 综上得， 【19题答案】 【答案】（1） 若，则，构造函数， 当时，， 在上单调递增， ，即， ，故，即， 当时，． （2）3 （3） 由，可得， 令，可得， 当时，在上递增， 而，， 存在，使得 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 存在，使得， 在上递减，在上递增， 又当时，， 在上递增， 在上单调递减，在上单调递增， 是在上的唯一极小值点； 此时，， 存在，即上存在唯一零点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $