三角函数中ω的取值范围问题课件-2026届高三数学三轮冲刺

三角函数中ω的取值范围问题 B B B D C B C D 类型 前期准备 方法指导 利用对称性 利用三角函数相关公式将函数的解析式写成f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b或f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋b或f(x)＝A tan (ωx＋φ)＋b的形式 利用函数图象的对称性得到含有参数的表达式，根据参数的取值范围确定整数k的取值进而求解 利用奇偶性 利用函数的奇偶性得到含有参数的表达式，根据参数的取值范围确定整数k的取值进而求解 利用单调性 首先明确已知的单调区间应为函数单调区间的子集，其次确定已知函数的单调区间，从而利用两个区间之间的关系进行求解 探究点1　对称性与ω的取值范围 【例1】（2024·大庆模拟）若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( ). A．(5，8)　　　 B．(5，8] C．（5，11]　　　 D．[5，11) 【解析】由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，ω>0，因为x∈，所以<ωx＋<(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，所以ω的取值范围为（5，8]. 【变式】已知函数f(x)＝2sin cos ＋2sin2－1(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为( ). A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 探究点2　最值（值域）与ω的取值范围 【例2】若函数f(x)＝sin (ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】因为ω>0，所以当x∈时，ωx－∈.又因为函数f(x)＝sin (ω>0)在上的值域是，所以≤－≤，解得≤ω≤3.故选B． 【变式】已知函数f(x)＝cos (ω>0)且f＝f，若f(x)在区间上有最大值，无最小值，则ω的最大值为( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】因为函数f(x)＝cos (ω>0)且f＝f，所以直线x＝×＝为函数f(x)＝cos (ω>0)的图象的一条对称轴，且x＝时函数f(x)取得最大值，所以ω·－＝2kπ，k∈Z，所以ω＝k＋，k∈Z.又ω>0，且f(x)在区间上有最大值，无最小值，所以T≥－＝，即≥，所以ω≤12，所以当k＝4时，ω取最大值＋＝. 探究点3　单调性与ω的取值范围 【例3】已知函数f(x)＝A tan (ω>0)，若f(x)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( ). A．　　　 B． C．∪　　　 D．∪ 【解析】因为f(x)在区间上单调递减，所以A<0，y＝tan (ω>0)在区间上单调递增，由kπ－<ωx＋<kπ＋，k∈Z，得－<x<＋，k∈Z，所以y＝tan (ω>0)的单调递增区间为，k∈Z.由题意得⊆，k∈Z，所以k∈Z， 所以2k－≤ω≤k＋，k∈Z，由2k－≤k＋得k≤，由0<ω≤k＋得k>－，所以－<k≤且k∈Z，所以k＝0或k＝1，当k＝0时，－≤ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，当k＝1时，≤ω≤.综上所述，ω∈∪. 【变式】将函数f(x)＝cos (ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上单调递减，则ω的最大值为( ). A．　　　 B． C．　　　 D．1 【解析】将f(x)＝cos 的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos 的图象．因为x∈，所以<ωx－＋<ωπ＋.因为g(x)在上单调递减，所以ωπ＋≤π，即0<ω≤，所以ω的最大值为. 探究点4　零点与ω的取值范围 【例4】（2025·北京卷）设函数f(x)＝sin (ωx)＋cos (ωx)(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为( ). A．8　　　 B．6 C．4　　　 D．3 【解析】由题意得f(x)＝sin ，又f(x＋π)＝f(x)恒成立，所以k·＝π，即ω＝2k，k∈N*，当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin ，因为x∈，所以2x＋∈，f(x)>0，故k＝1不符题意；当k＝2时，ω＝4，f(x)＝sin ，此时f(0)＝sin ＝1>0，f＝sin ＝－1<0，所以f(0)f<0，所以f(x)在上存在零点，故ω的最小值为4. 【变式】（2025·山东师大附中检测）已知函数f(x)＝2sin (ω>0)，当x∈时，方程f(x)＝1有4个实数根，则ω的取值范围为( ). A．　　　 B． C．　　　 D． $