圆锥曲线中特殊几何特征的代数转化课件-2026届高三数学三轮冲刺

圆锥曲线中特殊几何特征的代数转化 　　解析几何中用代数方法研究几何问题是中学数学的重要分支，解题的 第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问题；第 二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量大，一直 是学生的“痛点”. 高中总复习·数学（创新版） 平行四边形 已知点A，B的坐标分别是（－ ，0），（ ，0），动点M （x，y）满足直线AM和BM的斜率之积为－3，记M的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； 解： kAM·kBM＝ · ＝ ＝－3，（y≠0） 化简得曲线E的方程： ＋ ＝1，（y≠0）. 高中总复习·数学（创新版） （2）直线y＝kx＋m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R， 使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围. 解：设P（x1，y1），Q（x2，y2） 联立 得（3＋k2）x2＋2kmx＋m2－6＝0， x1＋x2＝－ ，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝ ， Δ＝（2km）2－4（3＋k2）（m2－6）＝－12m2＋24k2＋72＞0，即－m2＋ 2k2＋6＞0，　① 高中总复习·数学（创新版） 若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点， 所以R点的坐标为（－ ， ）， 又点R在曲线E上，故 ＋ ＝1，化简得2m2＝k2＋3，② 将②代入①得，m2＞0，所以m≠0， 由②得2m2≥3， 所以m≥ 或m≤－ ， 所以m的取值范围为（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　圆锥曲线中平行四边形的证明方法：（1）利用斜率证明两组对边分 别平行；（2）证明对角线的中点重合；（3）利用平面向量四边形法则 证明. 高中总复习·数学（创新版） 垂直弦问题 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）经过点P（2，1），且双 曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为 . （1）求双曲线C的方程； 高中总复习·数学（创新版） 解：已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）经过点P（2，1），则 － ＝1， 右顶点为（a，0），不妨取渐近线为y＝－ x，即bx＋ay＝0，则 ＝ ， 从而可解得a2＝2，b2＝1，所以双曲线C的方程为 －y2＝1. 高中总复习·数学（创新版） （2）过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两 点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：y＝kx＋m（k≠0），试 求k和m之间满足的关系式. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消y得（1－ 2k2）x2－4kmx－2m2－2＝0，则x1＋x2＝ ， x1x2＝ ，则y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝ ， 高中总复习·数学（创新版） y1y2＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝ ， ＝（x1－2，y1－1）， ＝（x2－2，y2－1）， 因为PA⊥PB，则 · ＝0， 即（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝0， 即x1x2－2（x1＋x2）＋y1y2－（y1＋y2）＋5＝0， 故 － ＋ － ＋ ＝0， 整理得m2＋12k2＋8km＋2m－3＝0， 所以k和m之间满足的关系式为m2＋12k2＋8km＋2m－3＝0. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 解决垂直弦问题的步骤 （1）设线（或设点）：转化垂直条件.若弦过定点，优先设“点斜式” （需讨论斜率不存在的情况）； （2）联立方程：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x或y，得到一元 二次方程，利用根与系数的关系求出“弦端点坐标的和、积”； （3）结合目标，化简求结论. 高中总复习·数学（创新版） 三点共线 〔一题多解〕已知椭圆 ＋ ＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x 轴的交点为E，过点F的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的 中点. （1）若直线l1的倾斜角为45°，求△ABM的面积； 高中总复习·数学（创新版） 解：易得直线l1的方程为y＝x－1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 消去x得9y2＋8y－16＝0， 则y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ， S△ABM＝ ｜FM｜｜y1－y2｜＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学（创新版） （2）过点B作BN⊥l于点N，求证：A，M，N三点共线. 解：证明：法一　当l1⊥y轴时，易得A，M，N三点都在x轴上，故A， M，N三点共线； 当l1不与y轴垂直时，设其方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 消去x并整理得（4m2＋5）y2＋8my－16＝0， 易得Δ＞0，则y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ . ＝（x1－3，y1），因为N（5，y2），所以 ＝（2，y2）， 高中总复习·数学（创新版） 要证A，M，N三点共线，只需证 与 共线， 即证（x1－3）y2＝2y1，即（x1－3）y2－2y1＝0， 也即（my1＋1－3）y2－2y1＝0， 故只需证my1y2－2（y1＋y2）＝0， 而my1y2－2（y1＋y2）＝m·（－ ）－2·（－ ）＝0， 所以A，M，N三点共线. 法二　当l1⊥y轴时，易得A，M，N三点都在x轴上，故A，M，N三点 共线； 当l1不与y轴垂直时，设其方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 高中总复习·数学（创新版） 联立 消去x并整理得（4m2＋5）y2＋8my－16＝0， 易得Δ＞0，则y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ . 由题意知N（5，y2），所以kAM－kMN＝ － ＝ ＝ ＝ ， 而2（y1＋y2）－my1y2＝2·（－ ）－m·（－ ）＝0， 故kAM－kMN＝0，即kAM＝kMN，所以A，M，N三点共线. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　解析几何证明三点共线的方法：（1）直接证明其中一点在过另两点 的直线上；（2）证明过其中一点和另两点所连两条直线的斜率相等； （3）证明过其中一点和另两点所连的两个向量共线. 高中总复习·数学（创新版） 四点共圆 （2026·四川凉山期末）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的 左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A（－ ，0），且离心率为 . （1）求C的方程； 解：由题意知 解得a2＝2，b2＝1，c＝1，所以C的方程为 ＋ y2＝1. 高中总复习·数学（创新版） （2）直线y＝kx（k≠0）交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交 于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆. 解：证明：设点E（x0，y0）（不妨设x0＞0），则点F（－x0，－y0）， 由 消去y得x2＝ ， 所以x0＝ ，y0＝ ， 所以直线AE的方程为y＝ （x＋ ）. 高中总复习·数学（创新版） 因为直线AE与y轴交于点M，令x＝0得y＝ ， 即点M（0， ），同理可得点N（0， ）. 所以 ＝（1， ）， ＝（1， ）， 所以 · ＝1＋ ＝0，所以F1M⊥F1N， 同理F2M⊥F2N， 则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，即M，F1，N，F2四点共圆. 综上所述，M，F1，N，F2四点共圆. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　证明四点共圆的一般方法：（1）证明四边形一组对角互补；（2） 证明某一点到四点距离相等；（3）利用圆幂定理的逆定理. 高中总复习·数学（创新版） 1. （2026·重庆渝中模拟）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心 率为 ，且过点（－ ，1）. （1）求椭圆C的方程； 解：由题意可得 解得 因此，椭圆C的方程为 ＋ ＝1. 高中总复习·数学（创新版） （2）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M是直线x＝2上不与B点重 合的任意一点，O是坐标原点，与直线OM垂直的直线BP与C的另一个交 点为P. 求证：A，P，M三点共线. 解：证明：设点M的坐标为（2，m），其中m≠0，易知点A（－2，0），B（2，0），kOM＝ ，则直线BP的方程为y＝－ （x－2）， 联立 可得 即点P（ ， ）， 高中总复习·数学（创新版） ∵kAP＝ ＝ ，kAM＝ ＝ ，则kAP＝kAM， 因此，A，M，P三点共线. 高中总复习·数学（创新版） 2. （2026·福建厦门期中）已知A，B是双曲线E：x2－ ＝1上的两点， 点P（－1，2）是线段AB的中点. （1）求直线AB的方程； 解：依题意，直线AB的斜率必定存在，设其斜率为k，A（x1，y1）， B（x2，y2）， 所以 － ＝1， － ＝1，所以（x1＋x2）（x1－x2）－ ＝0， 高中总复习·数学（创新版） 又 ＝－1， ＝2，所以k＝ ＝ ＝－1， 故直线AB的方程为y－2＝－1×（x＋1），即y＝－x＋1，经检验，符合 题意，所以直线AB的方程为x＋y－1＝0. 高中总复习·数学（创新版） （2）若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，证明：A，B， C，D四点共圆. 解：证明：由 得x2＋2x－3＝0， 解得x＝1或x＝－3，所以A（－3，4），B（1，0）. 线段AB中垂线CD的方程为：y＝x＋3， 设C（x3，y3），D（x4，y4）， 高中总复习·数学（创新版） 由 得x2－6x－11＝0， 所以x3＋x4＝6，x3x4＝－11， 故CD的中点M（3，6），所以｜CD｜＝ × ＝4 ， ｜MA｜＝｜MB｜＝ ＝2 ＝ ｜CD｜， 所以A，B，C，D在以M为圆心，2 为半径的圆上， 所以A，B，C，D四点共圆. 高中总复习·数学（创新版） 3. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且椭圆C经过点A（－ 1， ），B（2，0）. （1）求C的标准方程； 解：设椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），因为椭圆C经过点A（－1， ），B（2，0），所以 解得 所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1. 高中总复习·数学（创新版） （2）已知F是C的右焦点，P是C上一点（P在第一象限），且PF垂直 于x轴，直线4x＋4y－7＝0与C交于M，N两点，求证：四边形PMFN是 平行四边形. 解：证明：由（1）知F（1，0），所以PF所在直线方程为x＝1， 则P（1， ）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立 整理可得28x2－56x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝ ， 高中总复习·数学（创新版） 因为kMF＝ ＝ ，kNP＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝kMF，所以MF∥NP， 又因为kNF＝ ＝ ，kMP＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝kNF， 所以NF∥MP， 所以四边形PMFN是平行四边形. 高中总复习·数学（创新版） 4. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），O是坐标原点，F是C的焦点，M 是C上一点，｜FM｜＝4，∠OFM＝120°. （1）求抛物线C的标准方程； 解：由｜FM｜＝4，∠OFM＝120°，可得M（ ＋2，±2 ）， 代入C：12＝2p（ ＋2）＝p2＋4p， 解得p＝2或p＝－6（舍）， 所以抛物线的方程为y2＝4x. 高中总复习·数学（创新版） （2）设点Q（x0，2）在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA，QB，分 别交C于A，B两点（异于Q点），证明：直线AB恒过定点. 解：证明：由（1）可得Q（1，2），直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x＝my＋n，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 得y2－4my－4n＝0，Δ＝16m2＋16n＞0， 则 高中总复习·数学（创新版） 所以x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2n＝4m2＋2n， x1x2＝（my1＋n）（my2＋n）＝m2y1y2＋mn（y1＋y2）＋n2＝n2， 因为 ⊥ ， 所以 · ＝（x1－1）（x2－1）＋（y1－2）（y2－2）＝0， 故x1x2－（x1＋x2）＋1＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝0， 整理得n2－4m2－6n－8m＋5＝0，即（n－3）2＝4（m＋1）2，从而n－ 3＝2（m＋1）或n－3＝－2（m＋1）， 即n＝2m＋5或n＝－2m＋1. 高中总复习·数学（创新版） 若n＝－2m＋1，则x＝my＋n＝my－2m＋1＝m（y－2）＋1，过定点 （1，2），与Q点重合，不符合题意； 若n＝2m＋5，则x＝my＋n＝my＋2m＋5＝m（y＋2）＋5，过定点 （5，－2）. 综上，直线AB过异于Q点的定点（5，－2）. 高中总复习·数学（创新版） $