椭圆 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，覆盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，对接高考评价体系，分析离心率、焦点三角形、最值问题等高频考点权重，通过2022全国甲卷、2023新课标Ⅱ卷等真题归纳选择、填空、解答常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题训练+方法突破+素养培养”，如2022全国甲卷离心率题用方程思想推导，2023新课标Ⅱ卷面积比问题用数形结合分析，培养数学思维与数学语言表达能力。提供易错点警示和解题模板，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

高三一轮复习：椭圆 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点 焦距 椭圆 线段F1F2 空集 知 识 梳 理 知识点一　椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的______________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________. 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若a＞c，则集合P为________； (2)若a＝c，则集合P为_____________； (3)若a＜c，则集合P为________. 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为______；短轴B1B2的长为______ 焦距 |F1F2|＝_____ 离心率 e＝______∈(0,1) a、b、c的关系 ____________________ 2a 2b 2c　 c2＝a2－b2 归 纳 拓 展 1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值． 5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P115T6)(2026·河北衡水中学模拟)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹方程为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(多选题)(选择性必修1P115T4)长轴长是短轴长的3倍；且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为(　　) [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 第一课时 考点突破 · 互动探究 椭圆的定义及应用——自主练透 1．(2025·四川成都三模)已知动圆C与圆(x＋1)2＋y2＝1外切，同时与圆(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆C的圆心轨迹方程为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 注：求两线段和、差的最值或范围问题，常借助“三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边”求解．一般两线段共线时取得最值． 【变式训练】 (2026·吉林省吉林地区模拟)已知复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 椭圆的标准方程——师生共研 1．(2026·山西太原模拟)已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m,1)，则椭圆C的标准方程是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为____________. 名师点拨： 1．求椭圆方程的常用方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． 注意常数2a>|F1F2|这一条件． (2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： ①作判断：根据条件判断焦点的位置； ②设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； ③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； ④求解，得方程． 可概括为先“定位”，再“定量”． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 A．若1<t<3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t<1 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 椭圆的几何性质——多维探究 [答案]　D 角度1　椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：研究椭圆几何性质的步骤 (1)将所给方程化成椭圆的标准形式． (2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上． (3)准确求出a，b进而求出椭圆的其他特征值． 角度2　求椭圆的离心率 [答案]　A [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度3　求椭圆离心率的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：求椭圆离心率取值范围的方法 一般借助几何量的取值范围(如|x|≤a，|y|≤b，0<e<1)建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系求解，或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解． 【变式训练】 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 与椭圆有关的最值问题 [答案]　B [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]本例2中|PM|的取值范围为____________. 名师点拨：与椭圆有关的最值问题的解法 1．利用数形结合，利用椭圆的性质或直线与椭圆的位置关系求解． 2．利用基本不等式求解． 3．构造函数，利用椭圆方程消元，化为二次函数求解．注意自变量的取值范围． 【变式训练】 (多选题)(2026·湖南部分学校联考)已知椭圆C：3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则(　　) B．△PF1F2的周长为12 C．|PF1|的最小值为3 D．|PF1|·|PF2|的最大值为16 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4A． 4．e＝.离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆． 6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 7．若M、N为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－. (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) [答案]　＋＝1 [解析]　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4，所以a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，故动点P的轨迹方程为＋＝1. A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．x2＋＝1 D．＋＝1 [解析]　若P为长轴的端点，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若P为短轴的端点，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为＋＝1. 题组三　走向考场 4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [解析]　A(－a,0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)x1≠±a，则kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝·＝＝，又＋＝1，则y＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　将直线y＝x＋m与椭圆联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2，设F1到AB的距离d1，F2到AB的距离d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－或－3(舍去)，故选C． A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 [解析]　设圆(x＋1)2＋y2＝1圆心C2且与圆C切于点P，圆(x－1)2＋y2＝25圆心C1与圆C切于点Q，由题意得|C1C|＝5－|CQ|，|C2C|＝1＋|CP|，其中|CQ|＝|CP|，所以|C1C|＋|C2C|＝5－|CQ|＋1＋|CP|＝6>2＝|C1C2|，由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，设＋＝1，则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8，故动圆圆心C的轨迹方程为＋＝1.故选A． 2．(2026·江苏南京外国语学校调研)设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是__________. [答案]　[4－，4＋] [解析]　＋＝1，F为C的右焦点，F(2,0)，左焦点F1(－2,0)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF1|＝4＋|PA|－|PF1|，－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|⇒－≤|PA|－|PF1|≤，|PA|＋|PF|∈[4－，4＋]． [引申]本例2中，若F1为椭圆的左焦点，则|PA|＋|PF1|的最大值为________，|PF1|·|PF|的最大值为________，若直线PF交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为________，若∠F1PF＝60°，则S△PFF1＝________，若H为PF的中点且|OH|＝，则|PF|＝________. [答案]　4＋1　8　8　　3 [解析]　|PA|＋|PF1|＝4＋|PA|－|PF|≤4＋|AF|＝4＋1.(当且仅当P、A、F共线时取等号)，即|PA|＋|PF1|的最大值为4＋1，|PF1|·|PF|≤2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF|即P为椭圆与y轴交点时取等号)，∴|PF1|·|PF|的最大值为8，△F1PQ的周长＝|PF1|＋|PF|＋|FQ|＋|F1Q|＝4a＝8，由|PF1|＋|PF|＝4得|PF1|2＋|PF|2＋2|PF1|·|PF|＝32①，由∠F1PF＝60°知|PF1|2＋|PF|2－|PF1||PF|＝4②，由①②知|PF1||PF|＝，∴S△PF1F＝|PF1||PF|sin 60°＝，由O为F1F2的中点，得|OH|＝|PF1|＝，∴|PF1|＝，∴|PF|＝2a－|PF1|＝3. [解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z＋2|＋|z－2|＝6，所以＋＝6，其几何意义为任意一点(x，y)到点(2,0)与(－2,0)的距离和为6，又点(2,0)和(－2,0)之间的距离小于6，符合椭圆定义，所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆．故选C． A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [解析]　依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由P(4,3)在C上，得＋＝1，显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1，而＝(2a＋2c)×1＝a＋c，又＝×2c×3＝3c，于是a＝2c，b2＝a2－c2＝a2，因此＋＝1，解得a2＝28，b2＝21，所以椭圆C的标准方程是＋＝1. 2．经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点的椭圆的标准方程为____________. [答案]　＋＝1 [解析]　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，∴解得m＝，n＝.故椭圆方程为＋＝1. 3．(2026·山西大同模拟)过点(2，－)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为____________. [答案]　＋＝1或＋＝1 [解析]　解法一：椭圆＋＝1的离心率是e＝，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)，∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∴解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 解法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，∴所求方程为＋＝1.综上可知椭圆方程为＋＝1或＋＝1. [答案]　＋＝1 [解析]　设椭圆的标准方程为＋＝1，则＋＝1，解得λ＝±2，又3＋λ>0，∴λ＝2，故椭圆标准方程为＋＝1. 2．椭圆系方程的应用 (1)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的离心率椭圆系方程为＋＝λ(λ>0)． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 1．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是(　　) [解析]　若C为椭圆则则1<t<2或2<t<3.∴A错；若C为焦点在y轴上的椭圆则t－1>3－t>0，则2<t<3，∴B对；显然t＝2时，曲线C是圆．∴C对；若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，则t>3或t<1.∴D错．故选BC． 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 [解析]　因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B为上顶点，所以B(0，b)．所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆的方程为＋＝1.故选B. (2025·安徽蚌埠质检)若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．6 B．或2 C．2 D．2或2 [解析]　当焦点在y轴时，由e＝＝，解得m＝，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2；当焦点在x轴时，由e＝＝，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2＝2.故选D. 1．(2026·山东德州开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆经过点F1，且与y轴正半轴交于点A，若线段AF1的中点在C上，则C的离心率是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－1 [解析]　设F2(c,0)(c>0)，由题知圆F2的半径为2c，且|AF1|＝|AF2|＝2c，得△AF1F2为等边三角形，则∠AF1F2＝，设线段AF1的中点为B，则AF1⊥BF2，且|BF2|＝|BF1|＝c，因为点B在C上，所以|BF1|＋|BF2|＝2a得(＋1)c＝2a，即e＝＝－1，即C的离心率为－1.故选A． 2．(2026·广东深圳光明区调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线与C交于A，B两点，且＝2，BF1⊥AB，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． [解析]　设|AF2|＝x，因为＝2，所以|BF2|＝2x，由椭圆的定义可得|AF1|＝2a－x，|BF1|＝2a－2x，因为BF1⊥AB，在△BAF1中由勾股定理得9x2＋(2a－2x)2＝(2a－x)2，解得x＝，所以|BF1|＝，|BF2|＝，在△BF1F2中由勾股定理得a2＋a2＝4c2，从而可得e＝.故选A． 3．(2025·山西大同调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝2，||＝4||，则椭圆C的离心率为________. [答案]　 [解析]　因为＝2，＝2所以F2N∥F1M，且|F2N|＝|F1M|，延长MF1交椭圆于点Q，则由对称性可设|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，因为|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝.则由|QM|＝a，|F2M|＝，|F2Q|＝，得∠QMF2＝90°，在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2可得5a2＝9c2，∴离心率e＝. 名师点拨：求椭圆离心率的方法 (1)由已知条件列方程组，求出a，c(或a，b)的值，由e＝求解． (2)由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．注意e∈(0,1)． 1．(2026·河南许昌中学定位考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. [答案]　{e|－1<e<1} [解析]　在△PF1F2中，由正弦定理知＝.因为＝，椭圆离心率e＝，所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|①.又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入可得|PF2|＝.又a－c<|PF2|<a＋c，所以两边同除以a得1－e<<1＋e.又0<e<1，所以{e|－1<e<1}． 2．(2026·湖北部分学校测试)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则椭圆C2离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　由对称性可知，∠APB＝2∠APO，因为sin∠APO＝＝≥，∠APO∈，所以当点P位于长轴端点时∠APO最小，由题可知，在椭圆C2上存在一点P，使得∠APB＝，只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤，即≤，故e＝≥，又0<e<1，所以椭圆C2离心率的取值范围为.故选B. 1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝，则C的长轴长为(　　) A．2 B．2 C．2＋ D．2＋2 [解析]　椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，则c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos ，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×，解得a＝1＋，a＝1－(舍去)，∴2a＝2＋2，故选D. 2．(角度2)(2026·广东三校模拟)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　) A． B． C． D． [解析]　∵·＝0，∴FB⊥AB，∴|FB|2＋|AB|2＝(a＋c)2，即b2＋c2＋a2＋b2＝(a＋c)2，整理得2ac－2b2＝0，即ac＝a2－c2，∴＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，求得e＝，∵e>0，∴e＝，故选B. 3．(角度3)(2026·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∴c≥b，即c2≥a2－c2⇔e2＝2≥⇔e≥.又e∈(0,1)，∴≤e<1.故选D. 1．(2026·浙江数海漫游模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，B两点，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，则椭圆长轴长的最小值是(　　) A．4 B．3＋2 C．6 D．4＋2 [解析]　设|AF2|＝t，则|AB|＝t＋1，|BF1|＝2a－1，|AF1|＝2a－t，由AF1⊥AB得(t＋1)2＋(2a－t)2＝(2a－1)2，则2a＝>0，有t>1，所以2a＝＝(t－1)＋＋3≥3＋2＝3＋2，当且仅当(t－1)＝，即t＝1＋时取等号．则椭圆长轴长的最小值是3＋2.故选B. 2．(2025·山东威海一模)已知F为椭圆C：＋＝1的上焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋y2－8x＋15＝0上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为(　　) A．1＋2 B．3＋2 C．5＋2 D．7＋2 [解析]　由圆M方程得：圆心M(4,0)，半径r＝×＝1；由椭圆C方程得a＝3，c＝2，设椭圆C下焦点为F′，则F′(0，－2)，由椭圆定义知：|PF′|＋|PF|＝2a＝6，∴|PQ|＋|PF|＝6＋|PQ|－|PF′|；∵|PQ|≤|PM|＋r(当且仅当P，M，Q三点共线时取等号)，∴|PQ|＋|PF|＝6＋|PQ|－|PF′|≤7＋|PM|－|PF′|，又|PM|－|PF′|≤|MF′|(当且仅当M，P，F三点共线时取等号)，∴|PQ|＋|PF|≤7＋|MF′|＝7＋＝7＋2，即|PQ|＋|PF|的最大值为7＋2. 3．(2026·河南郑州部分学校质检)设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为焦点，∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝θ，θ∈，则椭圆离心率的最大值为________. [答案]　 [解析]　如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝θ，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝2c·cos θ，|PF2|＝2c·sin θ.所以e＝＝＝＝＝.又θ∈⇒θ＋∈，所以sin≥.所以e≤＝. [答案]　[，] [解析]　设P(3sin θ，cos θ)，则|PM|＝＝＝，由－1≤sin θ≤1知≤|PM|≤. 4．椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到定点距离的最值问题，可用三角换元法求解，即令x＝acos θ，y＝bsin θ，将其化为三角函数最值问题求解． A．C的离心率为 [解析]　椭圆C：3x2＋4y2＝48即＋＝1，故a＝4，b＝2，c＝＝2，对于A，e＝＝，故A错误；对于B，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正确；对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，故C错误；对于D，|PF1||PF2|≤2＝2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，故D正确，故选BD. $