精品解析：江苏南京市中华中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

南京市中华中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：王慧慧 审题：李雅洁 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，则复数（ ） A. -1 B. i C. D. 1 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 5. 在中，角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若为钝角三角形，则 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则符合条件的只有一个 6. 已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cos∠BAC＝（ ） A. B. C. － D. 7. 在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 半径为2的圆O上有三点A、B、C满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为-2 10. 设是复数，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为3 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为_____. 13. 若，则________． 14. 已知是的外心（外接圆圆心），，若，且，则的面积为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的虚部以及 16. 如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. （1）若，求及的值； （2）若，求的值. 17. 已知分别为内角的对边，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 18. 某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块三角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界的距离分别为，（为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点到点的距离； （2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：王慧慧 审题：李雅洁 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，则复数（ ） A. -1 B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算即可求解. 【详解】. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】首先利用诱导公式化简. ，可得. 将代入计算，. 所以. 3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，故， 又， 所以. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥，棱台，棱锥的定义及结构特征，逐一分析判断各个选项得解. 【详解】对于A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故A错误； 对于B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故B错误； 对于C，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故C错误； 对于D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥， 由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故D正确. 故选：D. 5. 在中，角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若为钝角三角形，则 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则符合条件的只有一个 【答案】D 【解析】 【详解】，则，只能说明A为锐角， 不能说明B和C的大小，故不能得到是锐角三角形，故A错误； 若为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角， 若角A为锐角，则，所以 若角A为钝角，则，所以，故B错误； ，由正弦定理得：，即， 所以或，故或， 则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 因为，所以，所以，故符合条件的只有1个，D正确. 6. 已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cos∠BAC＝（ ） A. B. C. － D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件两边平方，利用向量的数量积运算得到关于的不等式恒成立，然后由可得的值. 【详解】因为，，且关于的不等式恒成立， 所以， 所以， 整理得对于任意实数恒成立， 所以， 所以，， 故选：C. 7. 在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解 【详解】题中已知 由半角公式得 化简得 再化简得，即， 解得或，因为，所以， 是的角平分线，点在上，， ， ，，， ， 化简得，即， 将代入得：，那么， 由余弦定理： 得，即，所以. 8. 半径为2的圆O上有三点A、B、C满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点，由题意可得四边形是菱形，利用菱形的性质以及数量积的运算性质可得，由即可求解. 【详解】 如图：设与交于点，由可得 可得四边形是平行四边形，因为 可得四边形是菱形，且， 所以，， 由图知：，，， 所以， 同理：，，， 所以， 可得， 所以点是圆内一点，所以，所以， 即的取值范围为， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为-2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合余弦函数的范围求出最小值. 【详解】，A错误； 由知，，结合， 故在的平分线上，而，故E为弧的中点， 又，由平行四边形法则可知则，故，B正确. 由知，， 设，则 解得故，C正确. ，， 所以当时，取得最小值，D正确. 10. 设是复数，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的相关性质逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，设，， 根据复数模的计算公式可得：，， 已知，则， 两边同时平方可得：， 又因为， 所以​​，A选项正确， 在B选项中，若取，，则， ，则满足， 但，，，B选项错误， 在C选项中，对两边同时平方可得： ，展开可得： ， 化简得：，即， 设，，则， 并不一定有，C选项错误， 在D选项中，说明对应复平面上单位圆， 表示单位圆上的点到点的距离， 原点到的距离为，因此最大距离为，D选项正确. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 则或，即或， 因为三角形为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 且，则， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，， 则， 令， 由可得，则， 所以，故， 且， 所以， 当时，取得最大值， 当或时，最小值为， 所以，故D正确； 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为_____. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解. 【详解】因为不能作为一组基， 所以存在实数λ，使得， 即， 则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8. 故答案为： 13. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】应用商数关系、差角余弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即可. 【详解】由题意可知， . 故答案为：1. 14. 已知是的外心（外接圆圆心），，若，且，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用外心的性质和向量数量积求出，进而求出，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】若是的外心，所以在方向上的投影为， 根据向量数量积的几何意义可得：， 因为，则 ， 同理，所以在方向上的投影为， 所以，已知， 所以 ， 又因为，所以两边同时点乘， 即 ， 即 ， 整理得： ，又因为 ， 所以两式相减得： ，因为，故， 又因为是三角形内角，所以， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的虚部以及 【答案】（1）； （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据复数的分类即可求解，由复数的乘法运算即可求解， （2）根据纯虚数的定义即可求解即可根据模长公式求解. 【小问1详解】 ∵是实数， ∴， ∴；. 【小问2详解】 ∵是纯虚数， ∴且，故， 故的虚部为，. 16. 如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. （1）若，求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算和数量积公式求解； （2）利用余弦定理、正弦定理以及向量的运算求解. 【小问1详解】 当时，，则为的中点， 所以，即 ， 所以， 【小问2详解】 在△中，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，即，解得， 因为，所以，所以， 因为，所以， ，解得或（舍去）， 故. 17. 已知分别为内角的对边，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）先根据余弦定理及，求出，再根据三角形面积公式求解 （3）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理有 即 展开化简得, ，，， ，, , ，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由余弦定理：得， 又，，即，联立 解得，所以. 【小问3详解】 由正弦定理， ∴. ∴   . ∵为锐角三角形，， 可得 ，解得：， ∴，∴ ∴，∴， ∴的范围是. 18. 某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块三角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界的距离分别为，（为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点到点的距离； （2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】（1）（m） （2）时，三角形区域面积最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）连接，由四边形内角和得，结合余弦定理即可求得，由余弦定理求得的值，进一步结合诱导公式得，再一次，利用正弦定理得，最终在中，由勾股定理列式即可求解； （2）由三角形面积的两种表示方法得，结合基本不等式得的范围，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，在四边形中， 因为，所以. 在中，由余弦定理可得 ，所以（m）. 因为，所以是四边形外接圆的直径， 所以. . 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时等号成立， 因此，. 所以当时，三角形区域面积最小，最小值为. 19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 【答案】（1）最大值为，的取值集合为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若，，则， 当时，即，，函数有最大值， 函数的最大值为，对应的取值集合为； 【小问2详解】 ， 令，所以， 所以，， 即，，所以； 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以 ， 此时存在满足，，， 当且仅当时等号成立， 所以， 即，， 所以成立， 且， 则， ， 当时有最小值， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $