精品解析：山东济南稼轩学校2025-2026学年下学期七年级5月阶段性测试数学试题

济南稼轩学校七年级5月阶段性测试数学试题 2026.5 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若是一个完全平方的展开形式，则k的值为（　　） A. 9 B. 3或 C. D. 9或 4. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 7. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 9. 在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　） A. 25° B. 25°或40° C. 25°或 35° D. 40° 10. 如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 12. 如果，那么的值为______． 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的8个黄球和4个黑球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球______个． 14. 如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_________个． 15. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）（用乘法公式简便运算）； 17. 化简求值：，其中，． 18. 补全下面推理过程： 如图，点E在上，点F在上，已知，，求证：． 证明：∵（已知），又， ∴（①______），∴②______（③______）， ∴（④______）， ∵（已知），∴⑤______（⑥______）， ∴， ∴． 19. 已知：如图，，．求证：． 20. 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为l，请直接写出的面积 ； （3）利用网格线在l上找一点P，使得的长度最小． （4）利用网格线在l上找一点Q，使得． 21. 某文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中发现，其中混入了若干支“HB”铅笔，店员进行统计后发现，每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据如下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 （1）用等式表示，之间满足的数量关系_____________； （2）从20盒铅笔中任意选取1盒． ①“盒中没有混入‘’”铅笔是_____________事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） ②若“盒中混入1支‘’”铅笔的概率为，求和的值． 22. 如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． （1）如图1，若，求的值； （2）过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 23. 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1．________________；图2．_____________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求的值；（写出过程） 【解决问题】 （4）如图4，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【知识迁移】 （5）若，则_______．（直接写出结果） 24. 如图1，在中，为锐角，点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果，， ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2，线段、所在直线的位置关系为___________，线段、的数量关系为___________； ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点D在线段上，当满足什么条件时，（点C、F不重合），并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校七年级5月阶段性测试数学试题 2026.5 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形．”进行判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示小于1的正数，一般形式为，其中，为正整数．熟练掌握其形式，确定的值是解题关键．确定的值时，根据把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： ， 用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 若是一个完全平方的展开形式，则k的值为（　　） A. 9 B. 3或 C. D. 9或 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方的展开形式， ∴， 解得：或， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘运算法则计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据去括号法则计算并判定C；根据合并同类项法则判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、没有同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题老查同底数幂相乘，积的乘方，去括号，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 7. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 8. 如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 9. 在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　） A. 25° B. 25°或40° C. 25°或 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先画出图形，再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案． 【详解】当50°为底角时， ∵∠B=∠ACB=50°， ∴∠BCD=90°﹣50°=40°； 当50°为顶角时， ∵∠A=50°， ∴∠B=∠ACB=65°， ∴∠BCD=90°﹣65°=25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用． 10. 如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故选：C． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 12. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运用，根据同底数幂除法的逆运算直接计算即可，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的8个黄球和4个黑球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到红球的频率稳定于0.4，得到摸到红球的概率为0.4，设红球的个数为个，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，摸到红球的概率为0.4，设红球的个数为个， 则：， 解得：； 故答案为：8． 14. 如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故答案为：． 15. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：平分，PB平分， ，， ，故①正确； ∵平分， ∴P到，的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分 (三线合一)，故③正确； ∵与的平分线相交于点P， ∴点P到，的距离相等，点P到，的距离相等， ∴点P到，的距离相等， ∴点P也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故④正确； 由④得：， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）（用乘法公式简便运算）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再按顺序进行加减运算． （2）先将式子变形为平方差公式的形式，再用完全平方公式展开． （3）依次计算积的乘方、单项式的乘法、幂的乘方，最后合并同类项． （4）将变形为平方差公式的形式，进行简便运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 化简求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项后计算多项式除以单项式，最后把，代入计算即可得到答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 补全下面推理过程： 如图，点E在上，点F在上，已知，，求证：． 证明：∵（已知），又， ∴（①______），∴②______（③______）， ∴（④______）， ∵（已知），∴⑤______（⑥______）， ∴， ∴． 【答案】同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换 【解析】 【详解】证明：∵（已知），又， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴， ∴． 19. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据证明，得，进而可得结论． 【详解】略 20. 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为l，请直接写出的面积 ； （3）利用网格线在l上找一点P，使得的长度最小． （4）利用网格线在l上找一点Q，使得． 【答案】（1） 如图，直线l即为所求． （2）3 （3） 如图，点P即为所求． （4） 如图，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）结合轴对称的性质，作线段的垂直平分线即为所求的直线 （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接，交直线l于点P，则点P即为所求． （4）结合线段垂直平分线的性质，作线段EF的垂直平分线，交直线l于点Q，则点Q即为所求． 本题考查作图轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 21. 某文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中发现，其中混入了若干支“HB”铅笔，店员进行统计后发现，每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据如下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 （1）用等式表示，之间满足的数量关系_____________； （2）从20盒铅笔中任意选取1盒． ①“盒中没有混入‘’”铅笔是_____________事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） ②若“盒中混入1支‘’”铅笔的概率为，求和的值． 【答案】（1） （2）①随机；②， 【解析】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率， （1）根据，求解即可； （2）①根据事件的分类进行解答即可； ②利用概率公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①“盒中没有混入‘’铅笔”是随机事件， 故答案为：随机； ②∵“盒中混入支‘’铅笔”的概率为， ∴， ∴， ∴， 则，． 22. 如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． （1）如图1，若，求的值； （2）过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）60； （2） ①与的位置关系是平行 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的外角， ∴ ∴ ∴； ②E在A的左侧，；E在A的右侧，． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的应用，解题关键是利用平行线性质（内错角、同旁内角等关系）和角平分线定义，结合三角板角度，通过角度转化推导结论． （1）利用直角三角板性质得，由得．因平分，故．依据，内错角相等，，即． （2）①由得．结合三角板角度和角的和，算出．利用三角形外角性质，求得，因，根据内错角相等，判定结论．②由得，结合角平分线得，算出（在左侧）或（在右侧）．因平分，分别算出（在左侧）或（在右侧）．再依据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直角三角板的角顶点A在直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ∵， ∴， ∵的度数为， 的值为60； 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∵∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ， 当E在A的左侧，如图： ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 当E在A的右侧，如图 ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 23. 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1．________________；图2．_____________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求的值；（写出过程） 【解决问题】 （4）如图4，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【知识迁移】 （5）若，则_______．（直接写出结果） 【答案】（1）；；（2）； （3）根据（2）可知， ∴； （4）20；（5）13． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据（2）所求关系求解即可得到答案； （4）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （5）结合和（1）所求关系求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积：； 图2阴影的面积：； （2）图3阴影的面积：； （3） 略 （4）由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； （5）∵，， ∴， ． 24. 如图1，在中，为锐角，点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果，， ①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2，线段、所在直线的位置关系为___________，线段、的数量关系为___________； ②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点D在线段上，当满足什么条件时，（点C、F不重合），并说明理由． 【答案】（1）①，； ②当点D在的延长线上时①的结论仍成立． ∵中，，， ． ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ． （2） 当时，（如图）． 理由：过点A作交的延长线于点G， 则， ，， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，， ， （同角的余角相等）， ， ， ，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得，，，根据 证明，则可得，，由此可得，即． ②当点D在的延长线上时①的结论仍成立．理由同小问①． （2）过点A作交的延长线于点G，易证， ，同小问（1），根据 证明，则可得，则，即． 【小问1详解】 ①∵中，，， ． ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ． ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $