精品解析：江苏盐城市鹿鸣路初级中学等学校2025-2026学年下学期期中考试九年级数学试卷

盐城市鹿鸣路初级中学2025-2026学年度第二学期期中考试 初三数学试卷 （2026.4） （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） “春假” 期间，小鸣与同伴踏青，下面请跟随小鸣从数学的角度重温这次踏青之行！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026首个春假，小鸣出门踏青，2026的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 火车上，小鸣合理利用时间学习数学下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了测量踏青时一处被花坛隔开的，两点间的距离，小鸣在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 小鸣看到如下几何体，其中俯视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 7. 江苏省城市足球联赛热度空前，小鸣调查了2026赛季盐城足球队全体队员的年龄得到下表： 年龄/岁 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 29 31 33 35 人数 1 3 4 4 5 8 7 3 1 7 2 1 2 2 则该足球队队员年龄的众数是（ ） A. 21岁 B. 22岁 C. 25岁 D. 8人 8. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于5，则的值等于（ ） A. 2.5 B. 10 C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式：＝__________. 10. 若关于的方程的解是，则的值为______． 11. 小鸣了解到2025年“苏超”各场比赛吸引现场总观众人数超2400000人次．将2400000用科学记数法表示为______． 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是_____． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为________． 14. 如图，折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为，此时弧的长是____． 15. 如图，点O为正方形的中心，以为边向左侧作一个正五边形交边于点E，则的度数是______ 16. 如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 21. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．我校计划开展“春晚机器人•科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： ．机器人控制；B．人工智能； ．智能算法；．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，小鸣随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且只能选择其中一项），根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图如下． “春晚机器人•科技向未来”主题日学生研学意向调查结果统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数为 人，并补全条形统计图； （2）学校有800名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下表可知，、、三场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排、两场讲座，在①②处补全此次活动日程表，并通过计算说明理由． “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C ② ① 设备检修暂停使用 22. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ． （2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率． 23. 2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． （1）王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） （2）请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 24. 如图，在中，，点是上一点，且 （1）尺规作图：请用无刻度的直尺与圆规，在的延长线上找一点，使得 （2）在（1）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，连接，请判断与的位置关系，并说明理由． 25. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图1是小鸣同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图1抽象成右侧示意图2，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且上于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 26. 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．在综合与实践课上，老师让同学们准备了正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形的边上任选一点，将沿折叠使点落在点处； 操作二：将边沿过点的直线折叠使与重合，折痕交于点，展开纸片，折痕与正方形的对角线交于点 （1）根据以上操作，得的度数为 【迁移探究】 （2）如图1，若，，试求线段的长： 【拓展提升】 （3）同学们在操作一后得到如图，延长交于点，过作于点，在经历多次操作后，小鹿认为四边形 与四边形的周长存在确定的比值关系，小鸣认为四边形 与四边形的面积存在确定的比值关系．小鹿与小鸣中只有一位同学的说法是正确的，你认为谁的说法正确？请说明理由． 27. 在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 （1）直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； （2）若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； （3）对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （4）二次函数的表达式为（），点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图象只有一个公共点，直接写出的值或取值范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市鹿鸣路初级中学2025-2026学年度第二学期期中考试 初三数学试卷 （2026.4） （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） “春假” 期间，小鸣与同伴踏青，下面请跟随小鸣从数学的角度重温这次踏青之行！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026首个春假，小鸣出门踏青，2026的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数为． 2. 火车上，小鸣合理利用时间学习数学下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项判断选项A；根据同底数幂的除法判断选项B；根据同底数幂的乘法判断选项C；根据幂的乘方判断选项D． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 3. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4. 如图，为了测量踏青时一处被花坛隔开的，两点间的距离，小鸣在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵两边中点的距离， ∴是的中位线 ∴． 5. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ． 6. 小鸣看到如下几何体，其中俯视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从上面看的图形，据此结合几何体的形状可得答案． 【详解】解：A、四棱锥的俯视图是四边形，中间有一点，不符合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，不符合题意； C、正方体的俯视图是正方形，不符合题意； D、圆柱的俯视图是圆，符合题意． 7. 江苏省城市足球联赛热度空前，小鸣调查了2026赛季盐城足球队全体队员的年龄得到下表： 年龄/岁 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 29 31 33 35 人数 1 3 4 4 5 8 7 3 1 7 2 1 2 2 则该足球队队员年龄的众数是（ ） A. 21岁 B. 22岁 C. 25岁 D. 8人 【答案】A 【解析】 【分析】找出出现次数最多的数据即可得到答案． 【详解】解：∵众数的定义为：一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 由表格可知，年龄为21岁的队员人数最多，为8人． ∴该足球队队员年龄的众数是21岁． 8. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于5，则的值等于（ ） A. 2.5 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：轴，的面积等于5， ， ∵图象在第二象限，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 10. 若关于的方程的解是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， ∴． 11. 小鸣了解到2025年“苏超”各场比赛吸引现场总观众人数超2400000人次．将2400000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率问题．先分别计算整个图形的面积为，阴影部分面积为，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得图中整个图形的面积为， 阴影部分面积为， ∴向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是． 故答案为： 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：． 14. 如图，折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为，此时弧的长是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为， ∴弧的长是． 15. 如图，点O为正方形的中心，以为边向左侧作一个正五边形交边于点E，则的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，利用正多边形内角和公式求得正五边形其中一个内角的度数，最后利用四边形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：∵点O为正方形的中心， ∴， 由题意知，正五边形的内角， ∴． 16. 如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，且，，构造矩形，证明，推出，则，当A，N，E三点共线时等号成立，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作，且，，连接， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． 在和中， ， ， ， ，当A，N，E三点共线时等号成立，连接 ，，， ， 的最小值为． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】原式分别计算，，，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将的分子、分母因式分解，再变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 21. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．我校计划开展“春晚机器人•科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： ．机器人控制；B．人工智能； ．智能算法；．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，小鸣随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且只能选择其中一项），根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图如下． “春晚机器人•科技向未来”主题日学生研学意向调查结果统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数为 人，并补全条形统计图； （2）学校有800名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下表可知，、、三场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排、两场讲座，在①②处补全此次活动日程表，并通过计算说明理由． “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C ② ① 设备检修暂停使用 【答案】（1） 40；补全统计图如下： （2） 解：补全此次活动日程表如图所示，计算说明如下： “春晚机器人•科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（250座） 2号多功能厅（150座） D A C B E 设备检修暂停使用 B的学生人数为（人）， E的学生人数为（人）， ， B场次安排在2号多功能厅，E安排在1号多功能厅． 【解析】 【分析】（1）根据A的人数及其人数占比求得总人数，进而求出D的人数即可补全条形统计图； （2）分别求出意向B、E的人数，再补全此次活动日程表即可． 【小问1详解】 解：人， ∴本次调查所抽取的学生人数为40人， ∴D的人数为人， 【小问2详解】 略 22. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ． （2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的结果有种， ∴两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率为． 23. 2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． （1）王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） （2）请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 【答案】（1）方式一：元；方式二：元； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出总价，再根据方式一和方式二的促销方式计算即可； （2）根据方式一的费用比方式二的费用少列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（）， ∴购买徽章个， ∵玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元， ∴总价为元， 方式一：元； 方式二：元； 【小问2详解】 解：∵选择方式一购买更划算， ∴， 解得：， ∵， ∴． 24. 如图，在中，，点是上一点，且 （1）尺规作图：请用无刻度的直尺与圆规，在的延长线上找一点，使得 （2）在（1）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，连接，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两个交点作直线，该直线与的延长线的交点即为点P； （2） 解：与相切，理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是的半径， 与相切． 【解析】 【分析】（1）线段的垂直平分线与的延长线的交点即为点P，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角得； （2）由可得，由可得，结合，，可得，根据切线的判定定理可得与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图1是小鸣同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图1抽象成右侧示意图2，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且上于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）如图，延长，交于点，由正弦函数求得，得四边形是矩形，求得，，再解直角三角形求出，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， ， ， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ，， ， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 26. 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．在综合与实践课上，老师让同学们准备了正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形的边上任选一点，将沿折叠使点落在点处； 操作二：将边沿过点的直线折叠使与重合，折痕交于点，展开纸片，折痕与正方形的对角线交于点 （1）根据以上操作，得的度数为 【迁移探究】 （2）如图1，若，，试求线段的长： 【拓展提升】 （3）同学们在操作一后得到如图，延长交于点，过作于点，在经历多次操作后，小鹿认为四边形 与四边形的周长存在确定的比值关系，小鸣认为四边形 与四边形的面积存在确定的比值关系．小鹿与小鸣中只有一位同学的说法是正确的，你认为谁的说法正确？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 小鹿的说法正确，小鸣的说法不正确； 理由：如图2，连接并延长交于Q，交于P， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 由折叠可知，即， ∴, ∵, ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴小鹿的说法正确， ∵小鹿与小鸣中只有一位同学的说法是正确的， ∴小鸣的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）由折叠可得，，然后根据列式计算即可； （2）设，则，，在中，利用勾股定理求出x，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可得答案； （3）连接并延长交于Q，交于P，证明，可得，则，证明，可得，求出即可得出结论． 【小问1详解】 解：由折叠可得：，， ∴ ； 【小问2详解】 解：在正方形中，，， ∴， 设，则， 由折叠得：，，，， ∴E、G、F三点共线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：略． 27. 在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 （1）直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； （2）若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； （3）对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （4）二次函数的表达式为（），点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图象只有一个公共点，直接写出的值或取值范围 ． 【答案】（1） （2）或 （3） 不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，，可求出当时，；当时，，可求出当时，；在中，当时，可求出；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为，则，解得（舍去，）；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值，则，解得（舍去，）或（舍去）；据此可得结论； （4）当时，，当时，，分别求出函数和函数与线段只有一个交点时a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：当时，， 当时，； 如图所示，当恰好经过点M时，则， 解得； 如图所示，当，时，则 ∴当时，函数与线段只有一个公共点； 如图所示，当函数的顶点恰好在线段上时，则； 如图所示，当函数恰好经过点N时，则， 解得； 在中，当时，， 解得或， ∴当时，函数的顶点在直线下方，且在对称轴左侧一定与线段只有一个交点，即此时满足函数与线段只有一个交点； 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $