精品解析：江苏省南通市第一初级中学2025-2026学年下学期中考数学模拟练习试题

江苏省南通市第一初级中学2025—2026学年度中考数学 模拟练习试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果水位上升 记作，那么水位下降 记作（ ） A. B. C. D. 2. 根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜（）发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一．数据2807万条用科学记数法表示为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个正n边形的每一个内角都是 ，则n的值为（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 若， 面积比为， 则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 7. 若扇形的半径为 ，圆心角是，则此扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线 ﹣运动到点B停止，过点D作 ，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当 变化时，正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若 ，的面积为16，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题：本题共6小题，第11-12小题，每小题3分；第13-14小题，每小题4分，共22分． 11. 计算：的结果是__________. 12. 分解因式：___________． 13. 已知点在反比例函数的图像上，则 _______． 14. 一元二次方程的两个实数根分别为，则____________． 15. 如图，在矩形中， ，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 16. 如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接 ，交对角线 于点E，作 的外接圆 ，交 于点F．连接，则的度数为_______；若，则 ______． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算与化简 （1） （2） 18. 解答题 （1）已知：如图，点在一条直线上，，，．求证： ． （2）已知函数．设，是该函数图象上任意两点，且．求证：． 19. 从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． （1）任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是_______． （2）请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 20. 智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 ________， ________，________； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； （3）上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 21. 如图1，在中，， ． （1）尺规作图：作正方形 ，使得点E，G分别在，上，点F，H在 上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长．（如需画草图，请使用图2） 22. 如图，点C为 上一点，连接并延长至点A，使 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为 的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； （2）在（1）的条件下，设 的半径为5，求的长度． 23. 红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值． 24. 综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为 的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线 分别交折痕于点 、点、点，知； 步骤3：连接 延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折 得到； 步骤3：沿翻折 ，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点 与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： （1）在方案1中，求证：点为的三等分点； （2）在方案2中，求与的比值； （3）在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 25. 平面直角坐标系中，点， 是反比例函数（ ）图象上两点，点和点关于点 对称．设点， 的横坐标分别为 ，（ ）． （1）如图1，若 ，，求的面积； （2）如图2，当时，求 的值； （3）如图3，过点作直线 的垂线，垂足为 ，并交轴于点 ，直线 交 轴于点，连接 ，若以，及 为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市第一初级中学2025—2026学年度中考数学 模拟练习试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果水位上升 记作，那么水位下降 记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，理解题意是解决本题的关键． 利用正负数表示具有相反意义的量，上升记为正，则下降记为负，据此判断即可． 【详解】解：∵水位上升 记作，上升与下降是具有相反意义的量， ∴水位下降 记作， 故选B． 2. 根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜（）发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界第一．数据2807万条用科学记数法表示为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2807万． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意； B．，即选项B错误，不符合题意； C． ，即选项C错误，不符合题意； D． ，即选项D正确，符合题意． 4. 一个正n边形的每一个内角都是 ，则n的值为（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正边形的一个外角度数，再根据多边形外角和为，用除以一个外角度数即可得到边数． 【详解】解：∵正边形的每个内角都是 ， ∴每一个外角为， ∴． 5. 明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼 元/斤，根据题意得， ． 6. 若， 面积比为， 则 与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】， 面积比为， ∴ 与的相似比是 ， ∵相似三角形的周长之比等于相似比， ∴ 与的周长比为 ． 故选：B． 7. 若扇形的半径为，圆心角是，则此扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵扇形的半径为，圆心角是， ∴此扇形的弧长为． 8. 如图1， 中，，，．点D从点A出发沿折线 ﹣运动到点B停止，过点D作 ，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．根据勾股定理求出 ，再分别求出 和 时的D，的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可． 【详解】解∵，，， ∴， 当 时，点P在 边上，如图所示， 此时 ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，，， ∴ 当时，， ∴， ②当 时，点D在边上，如图所示， 此时 ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，正方形 的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形 面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，过 作于点交于点 ，过 作于点交于点，根据正方形的性质可证明，，得 ，，再由勾股定理得即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过 作于点交于点 ，过 作于点交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴ ，， ∴， ∵， ∴, ， ， 当，有最小值，即当变化时，正方形 面积的最小值为， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形 是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若 ， 的面积为16，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出的面积，再根据 求出的面积；设点 坐标，利用相似三角形性质表示出点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：连接， 四边形 是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形， ∴点 为的交点， ∴ ， ．  ， ． 过点 作轴于 ，过点 作轴于 ， ，  ，  ． 设，则，，  ，即点 的纵坐标为． 点 在反比例函数上，  点 的横坐标为．  ．  ， ，即，  ， 解得． ． ， ， ， ． ， ． 二、填空题：本题共6小题，第11-12小题，每小题3分；第13-14小题，每小题4分，共22分． 11. 计算：的结果是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式=. 【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键. 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 13. 已知点在反比例函数的图像上，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 14. 一元二次方程的两个实数根分别为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再把通分变形，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴； 故答案是：． 15. 如图，在矩形 中， ，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，延长交于点，证明和以及，分别求得， ，，据此计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，延长交于点，如图， ∵矩形 ， ， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，点P是边长为1的正方形 的边上一动点，连接 ，交对角线 于点E，作 的外接圆 ，交 于点F．连接，则的度数为_______；若，则 ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点 ，延长交于点 ，证明四边形 为矩形，得出 ，证明，得出 ，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，，再证明，求出，再结合，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形 为正方形， ∴，， ，， 连接， ∵， ∴； 连接， ∵ 为 的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点 ，延长交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算与化简 （1） （2） 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用绝对值、乘方、立方根、负整数指数幂化简，再进行加减； （2）利用分式的性质进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解答题 （1）已知：如图，点在一条直线上，，，．求证： ． （2）已知函数．设，是该函数图象上任意两点，且．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，再由“ ”即可证明 ． （2）分别把，代入函数关系式，得出、再作差证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 证明：、在函数的图像上， ，， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴． 19. 从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． （1）任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是_______． （2）请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出树状图，得到从甲地到丙地的所有等可能结果，以及选择的结果数，最后利用概率公式直接计算即可． 【小问1详解】 解：∵从甲地到乙地有、、三条路线， ∴任选一条从甲地到乙地的路线，一共有3种等可能的情况，其中选择的情况有1种， ∴选择的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中选择的情况有1种， ∴选择的概率是． 20. 智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 ________， ________，________； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； （3）上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 【答案】（1）20；15；1.4 （2） 解：购买 型智能机器人合适．理由如下： 从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适； （3） 解：条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等； 表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可； （2）从众数、中位数、平均数三个方面分析； （3）根据条形统计图和表格统计的特点解答即可． 【小问1详解】 解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有 台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是 ， ， 故中位数 ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图1，在 中，， ． （1）尺规作图：作正方形 ，使得点E，G分别在，上，点F，H在上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）如图，正方形 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，分别交、于点、，与交于点 ，以 为圆心， 为半径画弧，交于点 、，连接，则四边形 是正方形，即为所求； （2）过点 作于点，求得 ，；过点 作，交的延长线于点 ，则，证明，得，，，，过点 作 于点，分别证明，，运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点 作于点， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴， 过点 作，交的延长线于点 ，则， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点 是的中点， ∴； 过点 作 于点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，； ∵， ， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，点C为 上一点，连接并延长至点A，使 ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为 的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； （2）在（1）的条件下，设 的半径为5，求的长度． 【答案】（1） 解：如图，以点C为圆心，为半径画弧交 于点B，连接即可． 证明：连接，， 根据题意可得 ， ∴是等边三角形， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵是 的半径， ∴为 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧交 于点B，连接即可； （2）根据弧长公式即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据（1）可得 ， ∵ 的半径为5， ∴的长 ． 23. 红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值． 【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4． 【解析】 【分析】（1）分和 两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件”即可得函数关系式，再根据 求出的取值范围； （2）在（1）的基础上，根据“月利润 （月销售单价 成本价） 月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得； （3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润 （月销售单价 成本价 ） 月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）由题意，当时，， 当 时，， ， ， 解得， 综上，； （2）设该产品的月销售利润为万元， ①当时，， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90， 因为， 所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元； （3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， ， 设该产品捐款当月的月销售利润为万元， 由题意得：， 整理得：， ， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 因此有， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． 24. 综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线 分别交折痕于点、点 、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折 得到； 步骤3：沿翻折 ，使得D与重合，点为折痕与 的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点 与点 重合，点 与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： （1）在方案1中，求证：点为的三等分点； （2）在方案2中，求与 的比值； （3）在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形 中， ，则 ， ， ， ， ， 即， 在正方形 中，，则， 点为的三等分点； （2） （3） 解：存在，理由如下： 如图所示： 不妨令正方形 的边长为，则， 沿翻折，使得点 与点 重合，则 ，， 设 ，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 则， 解得， ， 则，即， 点是线段的三等分点． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质，结合三角形相似的判定与性质求证即可； （2）设正方形 的边长为，，表示出，再由折叠性质及勾股定理列式得到，表示出与 的比值求解即可； （3）令正方形 的边长为，由折叠性质及勾股定理求出的直角边长度，再由相似三角形的判定与性质求出长度，最后得到长度，得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 设正方形 的边长为，， 则，， 沿翻折 得到，沿翻折 ，使得D与重合， ， 在正方形 中，，则由勾股定理可得， ， 则， ； 【小问3详解】 略 25. 平面直角坐标系中，点 ， 是反比例函数（ ）图象上两点，点 和点关于点 对称．设点 ， 的横坐标分别为 ，（ ）． （1）如图1，若 ，，求的面积； （2）如图2，当时，求 的值； （3）如图3，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，并交轴于点，直线 交 轴于点，连接 ，若以 ，及 为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：直角三角形； 理由如下：方法1：作点 关于轴的对称点，连接，，， ， ， 的坐标为， 点和点关于 轴对称， ，与也关于 轴对称， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 和点关于轴对称， 轴， ， ，即， 以，及为边组成三角形是直角三角形． ∴以 ，及为边组成三角形是直角三角形． 方法2：过点 作轴，过点作轴 ， 设直线，将和代入， 求得， 点坐标为． ∵， 所以， ，即， 化简得， ． ， ， ， ， 以 ，及为边组成三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，以及的坐标，进而求得直线的解析式 ，过点 作 轴，交于点 ，过点 作，过点作，求得，根据，即可求解； （2）方法1：连接，过点 作轴，过点 作轴，根据勾股定理分别表示出，根据，得出，化简即可求解．方法2：过点 作轴，分别过点 ，，作，，证明，根据相似三角形的性质列出关系式，化简即可求解； （3）方法1：作点 关于轴的对称点，连接，，，证明，即可求解；方法2：过点 作轴，过点作轴，先证明得出则，分别表示出，根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：当 ，时，，， ． 设直线，代入 ∴ ，解得：， ∴ ， 过点 作 轴，交于点 ，过点 作，过点作， 当 时，， 点， ， ． 【小问2详解】 连接，过点 作轴，过点 作轴， ，， 中，， 中，， ，化简得， ， ， ． 方法2： 过点 作轴，分别过点 ，，作，， ∴，则 ∴， ，即， 化简得， ， ， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $