17.1 第3课时 平行四边形的性质定理3-课件--2025--2026学年北师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 17.1 第3课时 平行四边形的性质定理3 第17章 平行四边形 17.1 第3课时 平行四边形的性质定理3 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，OA=6cm，OB=8cm，利用平行四边形性质定理3，求对角线AC和BD的长度。 解析：平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点平分两条对角线，故OA=OC，OB=OD。已知OA=6cm，OB=8cm，则AC=2×OA=2×6=12cm，BD=2×OB=2×8=16cm。答：对角线AC=12cm，BD=16cm。 2. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=14cm，BD=18cm，求OA、OB、OC、OD的长度。 解析：根据平行四边形性质定理3，平行四边形的对角线互相平分，即点O是AC和BD的中点。因此OA=OC=AC÷2=14÷2=7cm，OB=OD=BD÷2=18÷2=9cm。答：OA=7cm，OB=9cm，OC=7cm，OD=9cm。 3. 已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3x-2，OC=x+4，OB=2x+1，求x的值及BD的长度。 解析：由平行四边形性质定理3可知，OA=OC。列方程：3x-2=x+4，移项得3x-x=4+2，解得x=3。将x=3代入OB=2x+1，得OB=2×3+1=7cm。又∵OB=OD，∴BD=2×OB=2×7=14cm。答：x=3，BD=14cm。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AB、CD于点E、F，求证：OE=OF。（提示：结合平行四边形性质定理3，利用全等三角形证明） 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，根据性质定理3，对角线互相平分，∴OA=OC。又∵AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF（内错角相等）。在△AOE和△COF中，\(\begin{cases}∠OAE=∠OCF \\ OA=OC \\ ∠AOE=∠COF（对顶角相等）\end{cases}\)，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF（全等三角形对应边相等）。答：OE=OF。 注意：解答本课时题目时，需牢记核心定理——平行四边形的性质定理3（对角线互相平分）；解题时要明确“对角线互相平分”的含义（交点平分两条对角线，即OA=OC、OB=OD），计算时结合方程思想，证明时可搭配全等三角形，确保步骤清晰、逻辑严谨。 我们学习了平行四边形的哪些性质？ A B D C ①平行四边形的对边平行且相等. ②平行四边形的对角相等. ③平行四边形的邻角互补. O 我们知道： 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？ 将 □ ABCD 绕点 O 旋转 180°得到的图形与原图形重合. 猜 想 A B D C O 小明同学的猜想是：OA = OC，OB = OD，你觉得他的猜想对吗？ 任意画几个平行四边形，量量看，是否都是这样. 动手操作 通过测量我们得到平行四边形的性质定理： 平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分. O O O 已知：如图，□ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. 演绎推理 A B D C O 通过证明三角形全等来得到对应边相等. 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AB∥CD， ∴ ∠BAC = ∠ACD，∠ABD = ∠BDC， ∴ △ABO ≌ △CDO（ASA）， ∴ OA = OC，OB = OD. 例 5 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，那么对角线 AC 与 BD 的和 是多少？ A B D C 解 在 □ ABCD 中， ∵AB = 6，AO + BO + AB = 15， ∴AO + BO = 15－6 = 9. 又∵AO = OC且BO = OD（平行四边形的对角线互相平分）， ∴AC + BD = 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18. O 1. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AO ＝ 4，BO ＝ 3，则 AC + BD 等于 (　　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 4 3 D 2. 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O． 若 AC ＝ 6，BD ＝ 8，则 AB 的长可能是 (　　) A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 3 4 ？ D 3. 如图，在□ABCD 中，AB ⊥ AC，若 AB ＝8，AC ＝12， 则 BD 的长是_______. 8 6 10 20 例 6 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与边 AB、CD 分别相交于点 E 和点 F. 求证：OE = OF. 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD (平行四边形的对角线互相平分). 又∵ AB // DC， ∴ ∠EBO = ∠FDO . 又∵∠BOE = ∠DOF， ∴△BEO ≌ △DFO. ∴OE = OF . A B C D O E F 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？ A B C D O E F 思 考 A B C D O E F 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等. 1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AE ⊥ BC，垂足为点 E. 若 AB = 3，AO = 2，BC = 5， 则 AE 的长为_______. 3 4 5 S△ABC = AB·AC = BC·AE AE = = 2. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， E 为边 AD 上任意一点．若 △AOB 的面积为 6， 则 △BCE 的面积为_______. S△OAB = S△OCB S△ABC = S△EBC 12 中考考法 14 中考考法 15 返回 【答案】A 中考考法 16 返回 11．如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝45°，将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B′落在原图所在平面上，连结B′D．若B′D＝2，则BO的长度为________． 中考考法 17 12．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE． 中考考法 18 (1)求证：DE⊥BE． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD. ∵OB＝OE，∴OE＝OD，∠OBE＝∠OEB. ∴∠OED＝∠ODE. ∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED＝180°， ∴∠OEB＋∠OED＝90°.∴DE⊥BE. 中考考法 19 (2)设CD与OE相交于点F，若OF2＋FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求线段CF的长． 【解】由(1)知OE＝OD， 又∵OF2＋FD2＝OE2， ∴OF2＋FD2＝OD2. ∴△OFD为直角三角形，且∠OFD＝90°. 中考考法 20 返回 中考考法 21 这节课我们学习了平行四边形对角线的哪些性质？ 平行四边形对角线的性质 平行四边形对角线互相平分. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等 课堂小结 10．如图，已知点A(0，8)，B(0，－2)，E(0，5)，F(－5，0)，C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是(　　) A．2 B．4 C．5 D．2 【点拨】设CD，AB交于点G，如图所示．∵四边形ACBD是平行四边形，∴CG＝GD，AG＝GB.∵A(0，8)，B(0，－2)，∴AB＝10.∴GB＝AB＝5.∴G(0，3)． 当CG取得最小值时，CD取得最小值，且当CG⊥EF时，CG取得最小值．∵E(0，5)，F(－5，0)，∴OE＝OF＝5，EG＝2.∴△OEF是等腰直角三角形．易得此时△CGE是等腰直角三角形，且EG是斜边．∵EG＝2，∴易得CG＝.∴▱ACBD的对角线CD长度的最小值是2.故选A. 在Rt△CED中， ∵∠CED＝90°，CE＝3，DE＝4， ∴CD＝＝5.∵∠OFD＝90°， ∴∠CFE＝90°，CD·EF＝CE·DE.∴EF＝. 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得CF＝. $