1.1 三角形内角和定理 第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

这是一份初中数学同步教学课件，共34页，聚焦“多边形的内角和”。通过广场图案等生活实例导入，引导学生用分割法将多边形转化为三角形，从四边形、五边形到n边形逐步探究，归纳内角和公式，并配套例题、跟踪练习及中考真题。 资料突出转化与从特殊到一般思想，用现实情境培养数学眼光，通过分割多边形推导公式发展推理能力，结合正多边形计算、剪角问题等实例提升应用意识。助力学生构建逻辑思维，为教师提供系统教学支架，提升课堂效率。

第一章 三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第3课时 多边形的内角和 1 素养目标 1.掌握多边形的内角和公式． 2.通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何证明中的运用，让学生体会从特殊到一般的思想方法． 3.会从不同的角度探索多边形的内角和公式． 重点：探索多边形的内角和公式． 难点：把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式． 2 导入新课 观察广场图案、水立方外观、蜂巢结构,能发现它们都包含着不同的多边形,它们的内角和是多少呢? 今天我们就来探索多边形的内角和规律. 3 新知探究 活动一:探究四边形的内角和 我们已经知道三角形三个内角的和是180°,那么四边形的内角和是多少呢? 请各小组用测量、拼角、分割等不同方法探索四边形的内角和,并尝试得出结论. 4 新知探究 ①测量法:用量角器测量四边形的四个内角的度数后求和,但因测量工具精度、操作误差,测量结果会接近360°但不完全一致,由此可知测量法具有局限性. ②拼角法:将四边形的四个内角剪下后,能直观拼合成周角360°,但剪纸、拼合的操作精度有限. 是否还有其他的方法能够探索四边形的内角和? 分割法 5 新知探究 四边形的内角和是多少呢? 如图,连接四边形的一条对角线,把四边形分成两个三角形,利用“三角形三个内角的和等于180°”,推导出四边形的内角和为2×180°=360°. 6 新知探究 活动二:探究五边形、六边形的内角和 问题1:这个广场中心的边缘是一个五边形, 你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴进 行交流. 你能否类比探索四边形内角和的方法,求出五边形的内角和? 测量法和拼角法. 运用分割法求五边形的内角和. 你是如何进行分割的呢? 7 新知探究 问题2:小明、小亮分别利用图1和图2求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗? 小明、小亮的方法都是把五边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题. 8 小明是将五边形的五个内角分割在3个三角形中，3个三角形的内角和即为五边形的内角和. 小亮是将五边形分割成5个三角形，用5个三角形的内角和减去 360°即得五边形的内角和. 你还有其他的方法吗? 五边形内角和等于 这四个三角形的内角和减去在点P处的一个平角. P 分割 五边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 转化思想 计算五边形内角和： 五边形的内角和为540° 新知探究 尝试·思考 (1)按照教材图1-11的方法,六边形能分成多少个三角形?n(n是大于或等于3的自然数)边形呢?你能确定n边形的内角和吗? (2)按照教材图1-12的方法再试一试. 12 新知探究 四边形从一个顶点出发,能引出1条对角线,分成2个三角形; 五边形从一个顶点出发,能引出2条对角线,分成3个三角形. 那么六边形从一个顶点出发,能引出几条对角线?这些对角线把六边形分成了多少个三角形? 六边形从一个顶点出发,能引出3条对角线,将六边形分成了4个三角形. 13 多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和 3 4 5 6 …… …… …… …… n 0 1 1×180°=180° 1 2 2×180°=360° 2 3 3×180°=540° 3 4 4×180°=720° (n-3) (n-2) (n-2)·180° 新知探究 活动三:归纳多边形内角和公式 n(n是大于或等于3的自然数)边形呢?请以表格的形式呈现. 从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形． 从而得出多边形内角和定理： n边形的内角和等于(n－2)·180°.　　　 新知探究 跟踪练习（2025·云南）一个六边形的内角和等于（　C　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° [变式] 如果一个多边形的内角和是900°，那么这个多边形 是 边形. C 七　 例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系? 解：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°= 360°， ∴ ∠B+∠D =360°-(∠A+∠C) =360°-180° =180°. B 说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补. A C D 新知探究 活动四:运用新知，例题讲解 新知探究 问题:(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度? 正三角形的内角和等于180°,且各内角相等,所以正三角形的每个内角分别是180°÷3=60°; 正四边形的内角和等于(4-2)× 180°=360°,且各内角相等,所以正四边形的每个内角分别是360°÷4=90°; 正五边形的内角和等于(5-2)× 180°=540°,且各内角相等,所以正五边形的每个内角分别是540°÷5=108°; 18 新知探究 问题:(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度? 正八边形的内角和等于(8-2)× 180°=1 080°,且各内角相等,所以正八边形的每个内角分别是1 080°÷8=135°. (2)怎样计算正多边形每个内角的度数? n边形的内角和等于(n-2)·180°,n为边数,n是大于或等于3的自然数,且正多边形的各内角相等,所以正多边形每个内角的度数为(n-2)·180°÷n. 19 跟踪练习 正十边形的每一个内角的度数为（　D　） A. 120° B. 135° C. 140° D. 144° [变式]如果一个多边形的每一个内角都等于140°，那么这个多 边形的边数是 ⁠. D 9　 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形? 思考·交流 它的内角和是多少度? 剪掉一个角后，分以下3种情况： (1) 纸片剩下5个角，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°； (2) 纸片剩下4个角，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°； (3) 纸片剩下3个角，得到的三角形的内角和为180°. 跟踪练习 一个多边形去掉一个内角后，其余各内角的和为760°，则去掉的这个内角的度数是（　C　） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° [变式] 一个多边形切去一个角后，形成了一个内角和为1 080° 的多边形，则原多边形的边数是 ⁠. C 7或8或9　 1. 下列多边形中，内角和等于 的是( ) B A. B. C. D. 课堂练习 24 2.[2025长沙中考]如图，五边形中， ， ， ，则_____ 。 205 【解析】 五边形的内角和为 ， ， ， ， ， 。 25 3.[2025扬州中考]若多边形的每个内角都是 ，则这个多边形的边数为 ___。 9 【解析】 设这个多边形的边数为，由题意，得 ， 解得 ，所以这个多边形的边数为9。 26 4.[2025吉林中考]如图，正五边形 的边 ，的延长线交于点，则 的大小为____ 度。 36 【解析】 五边形 是正五边形， ， ， 。 27 5. （2025·湖南）传统建筑中的一种窗格如图1所示，其窗框的 示意图如图2所示，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接 AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB的度数为 ⁠. 45°　 6.[2025德阳一中月考]已知两个多边形的内角和为 ,且边数之比为 ,求这两个多边形的边数。 解：设这两个多边形的边数分别为, , 则 ，解得, , , 这两个多边形的边数分别是4和10。 29 7. 如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把 这样的图形称为“8字形”，在这一个简单的图形中，到底隐 藏了哪些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智，解决以下 问题： （1）在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之 间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，计算∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F 的度数. 解：（1）∠A＋∠D＝∠B＋∠C. 理由如下： ∵在△AOD中，∠AOD＝180°－∠A－∠D， 在△BOC中，∠BOC＝180°－∠B－∠C， ∠AOD＝∠BOC， ∴180°－∠A－∠D＝180°－∠B－∠C， ∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C. 解：（2）如图2，连接AD， 则∠BAD＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°. 根据“8字形”数量关系， 得∠E＋∠F＝∠EDA＋∠FAD， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°. 课堂总结 1.多边形内角和公式是如何推导的? 2.多边形内角和定理是什么? 3.运用多边形内角和定理能解决哪些问题? 33 多边形内角和定理 证明思路：将n边形的内角和问题化归为三角形的内角和问题 正n边形的每个内角的度数为 n边形的内角和等于(n-2)·180° (n是大于或等于3的自然数) 课堂总结 $