2026届高考数学百分练（十六）（7+2+2+3）

**基本信息** 聚焦高考高频考点，以7+2+2+3结构模拟真题，覆盖三角、数列等核心模块，三轮冲刺针对性强。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/47分|集合、向量、正态分布、双曲线等|第5题正态分布结合实际数据，体现数据观念| |填空题|2/10分|直线与圆、异面直线所成角|第11题直三棱柱问题，考查空间观念| |解答题|3/43分|独立性检验、导数应用、立体几何翻折|12题独立性检验分析身高与性别关联，培养应用意识；14题翻折问题论证线面平行及线面角，发展几何直观与推理能力|

2026高考数学·百分卷（十六） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若，则A的真子集个数为(   ) A.3 B.4 C.7 D.8 2.已知平面向量，，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 3.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有(   ) A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 4. 若函数在上单调递减，则的取值范围是(   ) A. B. C. D. 5.已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为(   ) A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 6. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为(   ) A. B. C. D. 7．已知实数，若且，则(   ) A．9 B．21 C．27 D．30 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．已知复数，则下列结论正确的有(   ) A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则(   ) A． B．． C．可能为锐角 D．三点共线 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． 11．在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 （1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ （2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 13．已知函数，其中e为自然对数的底数， （1）当时，求在处的切线； （2）若为实数，，求的最小值； （3）已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 14．如图，等腰梯形中，，，，现将沿翻折，使得点到点处，得四棱锥，若点，分别在，上，且． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学·百分卷（十六） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若，则A的真子集个数为(   ) A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】A 【解析】因为，所以，所以A的真子集个数为. 2.已知平面向量，，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，解得. 3.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有(   ) A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】D 【解析】因为2位老师不能分开，故将2位老师捆绑在一起，看成一个人， 则共有4人排成一排，其中不排首尾，所以共有种排列法，又因为2位老师的排列法共有种，所以共有种排法. 4. 若函数在上单调递减，则的取值范围是(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递减，令，又因为单调递减，则在上单调递增，则，所以实数的取值范围是. 5.已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为(   ) A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 【答案】C 【解析】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以， 所以得分在区间内的人数约为. 6. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为(   ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 由题知，所以的离心率为. 7．已知实数，若且，则(   ) A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【解析】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．已知复数，则下列结论正确的有(   ) A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】BD 【解析】，的虚部是，故A错误； 在复平面内对应的点，在第二象限，故B正确；故C错误； ，故D正确． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则(   ) A． B．． C．可能为锐角 D．三点共线 【答案】ABD 【解析】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 从而有，选项A正确； 对于选项B，设准线与轴交于点， 由，，所以为的中位线， 从而，又，从而，选项B正确； 对于选项C，由题意，直线的斜率存在，故可设，，直线， 联立：，化简整理得，， 从而有，由，，得， 则，，， 则不可能为锐角，选项 C错误； 对于选项D，直线的斜率， 由，可得直线的斜率， 由，得，从而， 则三点共线，选项D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． 【答案】 【解析】令，得，即,令，得，即, 圆心，，所以，直线经过圆心， ,所以,. 11．在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】作，因为，所以是的中点，过作，由直三棱柱性质得面，如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，，可得，， 设异面直线与所成角为，则. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 （1）依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ （2）若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）， 依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． （2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率 13．已知函数，其中e为自然对数的底数， （1）当时，求在处的切线； （2）若为实数，，求的最小值； （3）已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； （2）∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； （3）当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 14．如图，等腰梯形中，，，，现将沿翻折，使得点到点处，得四棱锥，若点，分别在，上，且． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）在上取一点，使得，连接， 因为分别在和上，且， 在中，可得，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，可得，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以 平面； （2）因为，且，平面， 所以平面，则即为二面角的平面角，所以， 以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，可得，，，， ，则，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 又由，可得，， 设，， 可得且， 解得，，，，，，所以， 设与平面所成的角为，其中， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $