周测卷(十六) 椭圆、双曲线、抛物线-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十六)　椭圆、双曲线、抛物线 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为1的直线l与该抛物线交于A，B两点，则线段AB的中点M到准线的距离为(　　) A．3 B. 4 C. 5 D. 6 2．设F1，F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上且＝，则△PF1F2的面积为(　　) A．5 B. 10 C. D. 20 3．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　) A．＝1 B. －y2＝1 C．＝1 D. ＝1 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为(　　) A．3 B. 4 C. 5 D. 6 5．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　) A．1 B. 2 C. 3 D. 4 6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点．直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－，则椭圆C的长轴长为(　　) A．3 B. 6 C. 2 D. 4 7．(2024·河南省豫西北教研联盟(许洛平)质量检测)过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的长度取最小值时，直线l恰有两条，则双曲线C的离心率为(　　) A． B. C. 2 D. 8．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，M，N分别为椭圆C的左、右顶点，若在椭圆C上存在一点H，使得kMH·kNH∈，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　) A． B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·河北唐山模拟)若C：＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则(　　) A．m＝1 B．C的离心率为 C．曲线y＝ln (x－1)经过C的一个顶点 D．双曲线y2－＝1与C有相同的渐近线 10．已知方程＝1表示曲线C，则(　　) A．当1<t<4时，曲线C一定是椭圆 B．当t>4或t<1时，曲线C一定是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t>4 11．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为A，C，直线x＝t(－4<t<4)与该椭圆相交于点B，D，则(　　) A．当t＝0时，△ABD的面积为12 B. 不存在t，使△ABC为直角三角形 C．存在t，使四边形ABCD的面积最大 D. 存在t，使△ABD的周长最大 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．椭圆＝1的焦距为4，则m＝________． 13．已知双曲线C：－y2＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为________． 14．已知抛物线C：y2＝8x及圆M：(x－2)2＋y2＝1，过(2，0)的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|＋4|BQ|的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设F1，F2分别为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且F2也为抛物线y2＝8x的焦点，若点P(0，2b)，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝. 16.(15分)已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点到左焦点的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，已知点P，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，E，F两点都在x轴上方，且∠APE＝∠OPF.证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 17．(15分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 18.(17分)已知圆C1过点(－3，0)，(－1，2)，(1，0)，抛物线C2：y2＝2px(p>0)过点A. (1)求圆C1的方程以及抛物线C2的方程； (2)过点A作抛物线C2的切线l与圆C1交于P，Q两点，点B在圆C1上，且直线BP，BQ均为抛物线C2的切线，求满足条件的所有点B的坐标． 19．(17分)(2025·福建厦门模拟)已知椭圆Γ：＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点为F1(－2，0)． (1)求Γ的方程； (2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1，使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测卷(十六)　椭圆、双曲线、抛物线 1．B　2.A　3.D　 4．C　由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，过点P作y轴的垂线，垂足为N，因为OF∥PN，所以＝4|FO|＝4，所以点P到准线l的距离为4＋1＝5.故选C. 5．B　如图，记抛物线的准线与x轴交于点D，由题知， ＝2， 解得，所以∠AOD＝，因为OD＝，所以AD＝OD·tan ，所以S△AOB＝，解得p＝2.故选B. 6．B　椭圆的面积S＝πab＝6π，即ab＝6，①.因为点P为椭圆C的上顶点，所以P(0，b)．因为直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，不妨设A(m，n)，则B(－m，－n)且＝1，所以m2＝a2－.因为PA，PB的斜率之积为，所以，把m2＝a2－代入整理化简得，②.①②联立解得a＝3，b＝2.所以椭圆C的长轴长为2a＝6.故选B. 7．A　过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的直线l与C交于A，B两点， 若A，B两点均在双曲线的右支时，即l⊥x轴时，线段AB的长度取最小值，即为通径，此时为即直线l与x轴重合时，线段AB的长度取最小值，即为实轴，此时为＝2a.若线段AB的长度取最小值时，直线l恰有两条，则＝2a，即a＝b，则双曲线C的离心率e＝＝ ，故选A. 8．A　由题意，椭圆C：＝1(a>b>0)，可得M(－a，0)，N(a，0)，设H(x0，y0)，代入椭圆的方程，可得，则kMH· kNH＝∈，即＝e2－1∈，即e2∈.又0<e<1，所以e∈.故选A. 9．ACD　由题得，解得m＝1，A正确；C的离心率为，B错误；C的顶点为(±2，0)，因为ln (2－1)＝0，所以曲线y＝ln (x－1)经过C的一个顶点(2，0)，C正确；令y2－＝0，则y＝±x，即y2－＝1的渐近线方程为y＝±x，D正确． 10．BD　对于A，当t＝时，曲线C是圆，故A错误；对于B，当t>4时，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，当t<1时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1<t<，故C错误；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得t>4，故D正确．故选BD. 11．AC　由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝＝4.根据题意作出图形，如图所示． 对于A，当t＝0时，S△ABD＝×6×4＝12，A正确；对于B，∵b<c，∴以AC为直径的圆与椭圆必有交点，则存在t，当B，D为以AC为直径的圆与椭圆的交点时，△ABC为直角三角形，B错误；对于C，∵当t＝0时，S△ABC取得最大值，其最大值为×2c×b＝12，∴四边形ABCD面积的最大值为2(S△ABD)max＝2×12＝24，C正确；对于D，由椭圆的定义得：|AB|＋|AD|＋|BD|＝(2a－|BC|)＋(2a－|CD|)＋|BD|＝4a＋|BD|－|BC|－|CD|，又|BC|＋|CD|≥|BD|，∴|BD|－|CD|－|CB|≤0(当BD过点C时，等号成立)，∴|AB|＋|AD|＋|BD|＝4a＋|BD|－|BC|－|CD|≤4a，即当直线x＝t过椭圆的右焦点时，△ABD的周长最大，此时t＝4，但－4<t<4，∴不存在t使得△ABD的周长最大，D错误．故选AC. 12．解析：因为＝1表示椭圆，所以m＞－2且m≠13，又椭圆＝1的焦距为4，所以2c＝4，即c＝2，当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝15，b2＝2＋m，所以15＝2＋m＋22，即m＝9；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝2＋m，b2＝15，所以2＋m＝15＋22，即m＝17. 答案：9或17 13．解析：因为双曲线C：－y2＝1，可知右焦点为F＝，又双曲线C：－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以点P的纵坐标为，即△OPF的高为，所以△OPF的面积为. 答案： 14．解析：如图所示，圆心M(2，0)即为抛物线C的焦点F.所以|AP|＋4|BQ|＝(|AF|－1)＋4(|BF|－1)＝|AF|＋4|BF|－5，由抛物线的定义，|AF|＝xA＋＝xA＋2，|BF|＝xB＋＝xB＋2，所以|AP|＋4|BQ|＝(xA＋2)＋4(xB＋2)－5＝xA＋4xB＋5，又易知：xAxB＝＝4， 所以xA＋4xB＋5≥＋5＝13，当且仅当xA＝4xB，即时等号成立．所以|AP|＋4|BQ|的最小值为13. 答案：13 15．解：(1)抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，所以c＝2，即F1(－2，0)，F2(2，0)，又点P(0，2b)，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点，所以2b＝2，即b＝1，又c2＝a2＋b2，所以a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1. (2)依题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2＋3x－6＝0， Δ＝32－4××(－6)＝15>0，所以x1＋x2＝－12，x1x2＝－24， 所以|AB|＝. 16．解：(1)由得所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)证明：当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意． 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 所以x1＋x2＝. 因为∠APE＝∠OPF，所以kPE＋kPF＝0， 即＝0， 整理得2kx1x2＋·(x1＋x2)－＝0，化简得m＝－6k， 所以直线l的方程为y＝kx－6k＝k(x－6)， 所以直线l过定点(6，0)． 17．解：(1)由题设可知可得则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM>0. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， 由Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，且4k2－1≠0得4k2＝m2＋1. 则x1＋x2＝－， 则xM＝>0，即km<0， 则>4，即xM>2，∴此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的距离的最小值为2. 18．解：(1)设圆C1：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 故解得故圆C1：x2＋y2＋2x－3＝0， 将A代入y2＝2px中，解得p＝2，故抛物线C2的方程为y2＝4x. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设切线lBP：x－x1＝t1(y－y1)，lBQ：x－x2＝t2(y－y2)． 过抛物线C2上点A的切线方程为y＝2x＋， 即lPQ：x＝，记t0＝.① 设过点P的直线x－x1＝t1(y－y1)与抛物线C2相切，代入抛物线方程y2＝4x， 得y2－4t1y＋4t1y1－4x1＝0， 则Δ＝－16(t1y1－x1)＝0，即－y1t1＋x1＝0，所以＋t1＝y1， t1＝2x1＝y1－，所以2y1＝4x1＋1，② 同理可得t2＝2x2， 所以切线lBP：x－x1＝2x1(y－y1)，lBQ：x－x2＝2x2(y－y2)． 联立两式消去y，可得xB＝2x1x2·＝4x1x2，③ 代入lBP可得yB＝，④ 代入②得yB＝2(x1＋x2)． 联立lPQ：x＝与圆C1可得，5x2＋4x－＝0. 所以x1＋x2＝－， 分别代入③，④可得xB＝－， (xB＋1)2＋＝2＋2＝4，即切线BP，BQ的交点B在圆C1上， 所以B. 19．解：(1)由题意设焦距为2c，则c＝2，由离心率，得a＝2，则b2＝a2－c2＝4， 所以Γ的方程为＝1. (2)不存在． 理由如下：假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合，直线PM的斜率为0，不符合题意．不妨设PM：y＝k1x＋2(k1≠0)，PN：y＝，N(x2，y2)，圆F1的半径为r， 则圆心到直线PM的距离为＝r，到直线PN的距离为＝r，则k1，k2是关于k的方程(r2－4)k2＋8k＋r2－4＝0的两异根，此时k1k2＝1， 联立消y得x2＋8k1x＝0， 所以xP＋xM＝，即xM＝，得yM＝. 所以M，同理N. 由k2＝，得N， 由题意，得PM⊥MN，即kMN＝－， 即kMN＝ ＝，因为k1≠0，所以方程无解，故不存在圆F1，使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $