单元过关(十六)计数原理-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

·数学· 参考答案及解析 所以3人中恰有2人喜欢篮球的概率约为（售） 350 350+150=10,女生喜欢羽毛球的概率为P女 x-》+C×号x-)×号-器 (8分) 250 5 250+50-6, (3)p>1 (17分) 所以高一年级喜欢羽毛球的人数约为500×0十 7 理由如下： 350+250 3 p0=350+150+250+504' 400X5 ≈683， 设该校总人数为a,则该校喜欢羽毛球的人数约 故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率] 4a-683 2732 3a-3 3 a-900 4(a-900) 4(a-900)=4 由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为P男= o.综上p0>p1· 2025一2026学年度单元过关检测（十六） 数学·计数原理 一、选择题 能的灯光组合数为4×(1×3+3X2)=36. 1.B【解析】由x-2)” 的展开式的二项式系数和 6.C【解析】将5名志愿者分为1,2,2三组，且甲、乙 两名志愿者不被安排到同一个场地，则不同的安 为32，可得2m=32,所以n=5,令x=1,得 (1-2)5=-1. 群方法有CCA+CCA=72种 2.D【解析】让3个班去选择景点，每个班有6种选 将5名志愿者分为1,1,3三组，且甲、乙两名志愿 择，所以不同的选法种数是6×6X6=6. 者不被安排到同一个场地，则不同的安排方法有 3.B【解析】若甲是特等奖，则乙有4种情况，而丙、 A+C2CA=42种， 丁、戊有1种情况，所以有4×1=4种； 则不同的安排方法共有72十42=114种. 若甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况， 7.C【解析】(1一x)5的展开式的通项公式为T,+1 而丙、丁、戊有1种情况，所以有3×3×1=9种， =C515-r(-x)'=(-1)C5x, 所以这5人奖项的所有情况的种数是4十9=13种. 又(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 4.A【解析】甲、乙两人去听同一个讲座，方法数有 所以a2=(-1)2C号=10，a4=(-1)4C=5, 4种，丙、丁两人去听不同的讲座，方法数有2×3 所以a2十a4=15, =6种，所以恰好只有甲、乙两人去听同一个讲座 的种数为4×6=24种. 8.C【解析】由题意，二项式（兮-x)”的晨开式的 5.D【解析】根据题意可知，1至5号无人机的颜色 有4种选择， 通项公式为T=C(份》广(-x)=(一1D 当6、7号无人机的颜色与1至5号无人机的颜色 Cx2a-r, 相同时，8号无人机的颜色有3种选择； 5 当6、7号无人机的颜色与1至5号无人机的颜色 因为展开式中第9项是常数项，故2m一2×8=0， 不同时，6、7号无人机的颜色有3种选择，8号无 解得n=10,故第r十1项系数的绝对值为 人机的颜色有2种选择， 由分类加法和分步乘法计数原理计算可得所有可 ·21· A 真题密卷 单元过关检测 设展开式中第r十1项系数的绝对值最大，则有 令x十1=t,则x=t-1,所以(2t-3)°=a十 份》”c≥》 C1①， a1t十a2t2+…十agt°，因为二项式(2t-3)9的展 开式的通项公式为T,+1=C(2t)9-r(-3)',r= 11 0,1,2,…,9,所以a5=C425(一3)4=7×66，故C 错误； 0可得2×，1,0-产0+19-万 10 10! 令=得a,++2+…+ 29=一2°，所 1 1 1 19 即2×10，产，中解得≥3 以号十+…十”=8-2，故DE角， 10! 1 10! 由@可得，1·0-万产2×g-1D1·a1- 三、填空题 即111 22 12.24【解析】由题意知在1,2,3,4,5中，能组成“有 ,≥2×1，解得r≤3， 缘数”的组合为：1,2,3；1,3,4；1,4,5；2,3,5，共4 南号≤r≤号又因为rEN,此r=71,即第8项 种组合.由1,2,3组成的三位数为123,132,213， 3 231,312,321,共6个；同理，由1,3,4；1,4,5；2， 系数的绝对值最大. 3,5组成的三位数各有6个，所以三位数为“有缘 二、选择题 数”的情况共4×6=24种. 9.AC【解析】对于A,B,每名同学均有3种报法，根 13.2【解析】假设一个正四面体四个顶点分别为A, 据分步乘法计数原理可得，共有34种结果，故A B,C,D,则A作底面顶，点时，通过旋转，除底面 正确，B错误； 外三个面的朝向有3种，如图所示： 对于C,D,每个社团有且只有一名同学报名，则第 一个社团有4种选择，第二个社团有3种选择，第 三个社团有2种选择，根据分步乘法计数原理可 得，共有4×3×2=24种方法，故C正确，D错误. 10.ABC【解析】不妨设两个钉子间的距离为1. 对于A,由图知，边长为1的正方形有3×3=9 同理，B,C,D作底面顶点时，除底面外三个面的 个，边长为2的正方形有2×2=4个，边长为3 朝向也分别有3种，一共有12种，即一个正四面 的正方形有1个，边长为√2的正方形有2×2=4 体可以通过旋转得到12种朝向， 因为四种颜色的排列数有A=24种，所以一共 个，边长为√5的正方形有2个，共有20个，故A 24 正确； 有22种不同的上色模式。 对于B,由图知，宽为1的长方形有3×3=9个， 14.2【解析】设f(x)=(a+2x)(1+x)4的展开式 宽为2的长方形有4×2=8个，宽为3的长方形 中x的偶数次幂项的系数之和为A,奇数次幂项 有5个，宽为√2的有2个，共有24个，故B正确； 的系数之和为B, 对于C,由图知，可以围成C36一10C一4C=516 A+B=f(1), 则 个不同的三角形，故C正确； A-B=f(-1), A-3f)+f(-1D] 对于D,由图知，不存在等边三角形，故D错误. =8(a+2),由A=32,得8(a+2)=32,解得a 11.ABD【解析】令x=-1,得a0=(-3)9=-3,故 =2. A正确； 四、解答题 令x=0,得ao十a1十a2十a3十…十ag=一1，所以 15.解：(1)(1+2x)7的展开式中第4项是T3+1= a1十a2十a3十…十ag=39-1,故B正确； C(2x)3=280x3, (4分) A ·22· ·数学· 参考答案及解析 所以(1+2x)7的展开式中第4项的系数是280. 依题意可得4”-2=992，即(2+31)(2m-32)=0, (6分) 又2m>0,所以2=32，解得n=5. (8分) 2)-) 的展开式的通项公式是T,+1= (2)(x+3x2)°的展开式的通项公式为T,+ =C(x)5-(3x2)yr=3rC5x,r∈{0,1,2， cx() =(-1)rC5x9-2, (8分) 3,4,5}, (11分) 令9-2r=3,得r=3, (10分) 所以当r=2或r=3时，二项式系数最大，(13分) 所以x3的系数为(-1)3C=-84,x3的二项式 所以二项式系数最大的项为T,=32Cx2= 系数为C8=84. (13分) 90x9和T,=3Cxt=270x号， (17分) 16.解：因为A1UA2=A,对A1分以下几种情况讨论： 19.(1)解：由题意得∑ig(i)=g(1)+2g(2)十3g(3) 若A1=☑，则必有A2={a1,a2,a3},共1种分拆； (2分) 十4g(4)+5g(5)+6g(6)+7g(7) 若A1-{a1},则A2-{a2,a3}或{a1,a2,a3},共 ≤1+g4)]+22+g2]+3+g8)]2 2 2 2种分拆； 同理A1={a2},{a3}时，各有2种分拆；(6分) 4+[g4)]+5+[g(5)]2+6+[g(6)] 2 2 2 若A1={a1,a2},则A2={a3}或{a1,a3}或{a2, +72+g(7] a3}或{a1,a2,a3},共4种分拆； 2 同理A1={a1,a3》,{a2,aa}时，各有4种分拆； 2+2g(] =1 三1 (10分) 2 =2=140: (5分) 若A1={a1,a2,aa},则A2=☑或{a1}或{a2}或 当且仅当g(1)=1,g(2)=2,…,g(7)=7时取 {aa}或{a1,a2}或{a1,aa}或{a2,a3}或{a1,a2, 等号， a3},共8种分拆 (13分) (7分) 所以共有1+2×3+4×3十8=27种不同的分拆. 即2ig()的最大值为140. (15分) (2)解：由题意知g(1)<g(2)<g(3)<g(4)< g(5), 1.解：1)（反-2） 的展开式的通项公式为 从集合M中任取5个数，则这5个数顺序确定， Tk+1=C2(-2)x6-2, 共有C种取法，然后剩余的两个数全排列，故共 令6- k=8,解得及=2。 (4分) 有CA=42个满足条件的g(x). (10分) (3)证明：g(x)的函数关系如表所示： 故展开式中含x3项的系数为C2(-2)2=264. 4 5 6 7 (6分) (2)因为第3k项和第k十2项的二项式系数相 g (x) 等，所以C1=C结1， (10分) g1(1)=2,g2(1)=g(2)=3,g8(1)=g(3)=1, 故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12,(12分) g4(1)=g(1)=g1(1), 解得k=1或k=3. (15分) 故g(x)为“3阶闭环函数”； (13分) 18.解：(1)(x2+3x2)”的展开式中各二项式系数的 又g1(4)=5,g2(4)=g(5)=6,g3(4)=g(6)= 和为2， 7,g4(4)=g(7)=4,g5(4)=g(4)=g1(4), 令x=1,可得各项系数的和为(1十3)”=4”， 故g(x)也为“4阶闭环函数”， (4分) 故原命题得证 (17分) ·23· A青春蓄力，未来可期 2025一2026学年度单元过关检测（十六）》 A.12 B.18 C.24 D.36 班级 卺题 6.运动会期间，将甲，乙等5名志愿者安排到A,B,C三个场地参加志愿服务，每名志愿者 数学·计数原理 只能去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲，乙两名志愿者不被安排到同一 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 个场地，则不同的安排方法种数为 ) A.72 B.96 C.114 D.124 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 7.若(1一x)5=a0十a1x十a2x8十十a5x5,则a2十44= 是符合题目要求的。 A.-16 B.10 C.15 D.16 题号 1 答案 &已知兮-)厂的展开式中第9项是容数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是 1.在二项式x )的展开式中，二项式系数和为32，则所有项的系数和为 () A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 A.-10 B.-1 C.1 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 2.3个班分别从6个景点中选择一处游览，不同的选法种数为 ( 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 A.9 B.18 C.35 D.63 题号 9 10 11 3.我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖， 答案 共五种奖项.甲、乙、丙、丁，戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 9.有四名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”， A.每名同学都要报名且只报名其中一个社团，则不同的报名方法共有3种 根据以上信息，这5人奖项的所有情况的种数是 () B.每名同学都要报名且只报名其中一个社团，则不同的报名方法共有43种 A.12 B.13 C.24 D.26 C.每个社团有且只有一名同学报名，则不同的报名方法共有24种 4.甲、乙、丙、丁去听同时举行的四个讲座，每人可自由选择去听其中一个讲座，则恰好只 D.每个社团有且只有一名同学报名，则不同的报名方法共有3'种 有甲、乙两人去听同一个讲座的种数为 () 10.如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的是（不 A.24 B.18 C.12 D.8 同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同) () 5.在无人机光影秀中，有8架无人机按如图所示的顺序排列，每架无人机均可以发出4种 不同颜色的光，1至5号无人机的颜色必须相同，6、7号无人机的颜色必须相同，8号无 人机与其他无人机的颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，所有可能的灯光组合 ●●● 的种数为 () A.可以围成20个不同的正方形 B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等） C.可以围成516个不同的三角形 D.可以围成16个不同的等边三角形 单元过关检测（十六）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第2页（共8页） A 11.若(2x-1)°=a。+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a(x+1)9,则 () 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A.a。=-3 B.a1十a2+a3+…+ag=39-1 15.(13分)(1)求(1十2x)7的展开式中第4项的系数： C.a3=-7X6 n2++…+-3-2 (2)求-广的展开式中P的系数及二项式系数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134 等).一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,若a,b,c∈(1,2,3,4,5)， 且a,b,c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的情况共种. 13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模其上色，要求每个正四面体四 个面的颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个 变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式，那么不同的上色模式 共有 种 14.在(a+2x)1+x)的展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为32，则a= A 单元过关检测（十六）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第4页（共8页） 16.(15分)若集合A:,A:满足A:UA2=A,则称(A:,A:)为集合A的一个分拆，并规定： 当且仅当A1=A:时，(A1,A:)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，求集合A 175分根器二项式丘一引}的展开式，国答下列同题 (1)求展开式中含x3项的系数； {a1,a2,a,}的不同分拆的种数. (2)如果第3k项和第k十2项的二项式系数相等，求k的值. 单元过关检测（十六）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知(+3x2)”的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992，求： 19.(17分)若函数f(x)的定义城、值域都是有限集合A=(a1,a2,…,a.},n∈N°，则定义 (1)n的值； f(x)为集合A上的有限完整函数.已知函数g(x)是定义在有限集合M= (2)展开式中二项式系数最大的项. (1,2,3,4,5,6,7}上的有限完整函数. (1)求g(i)的最大值. (2)当i=1,2,3,4时，均有g()<g(i+1),求满足条件的g(x)的个数. (3)对于集合M上的有限完整函数g(x),定义“闭环函数”：g1(x)=g(x),对k∈N”, 且k≤6，g+1(x)=g(g:(x).若3x∈M,m∈N,g1(x)=g+m(x),则称 g(x)为“m阶闭环函数”.证明：存在一个“闭环函数”g(x)既是“3阶闭环函数”，也 是“4阶闭环函数”（用列表法表示g(x)的函数关系）. A 单元过关检测（十六）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第8页（共8页）