专题6.3 三角形的中位线 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的中位线 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 三角形的中位线 考点梳理 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 典例引领 考向01 与三角形中位线有关的求解问题 【例1】如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（   ） A．6 B．8 C． D．3 【答案】D 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得且；再结合，确定线段的长即为点到的距离；最后在中，利用含角的直角三角形的性质设，则，再由勾股定理求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 是中点，是中点， 是的中位线． ，． ， ． ． 线段的长就是点到的距离． 在中，，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得(舍去负解)， ， ，即点到的距离是． 考向02 与三角形中位线有关的证明 【例2】如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 考向03 三角形中位线的实际应用 【例3】如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 对点提升 【对点1】若三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，因此三条中位线组成的三角形的周长为原三角形周长的一半，代入原三角形周长计算即可得到结果． 【详解】解：设原三角形三边长分别为，，，由题意得原三角形周长为， 根据三角形中位线定理，可得新三角形的三边长分别为，，， 因此新三角形的周长为：． 【对点2】在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 【对点3】如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】根据三角形中位线求解即可； 【详解】解：根据题意，得是的中位线， 故（米）； 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 2．如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别延长交于点，则可证得四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得为的中点，也是的中点，所以的运动轨迹是三角形的中位线，所以点到直线的距离为是一个定值， 问题得解． 【详解】解：如图， 分别延长交于点， ∵，分别是以，为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴为的中点， ∵的中点为， ∴从点运动到点时，始终为的中点， ∴运动的轨迹是三角形的中位线， 又∵， ∴到直线的距离为一定值， ∴与点移动的时间之间函数关系的大致图象是一平行于轴的射线， 3．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长． 【详解】解：是的中位线，， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 4．如图，在中，，，，点是边上一点．点为边上的动点（不与点重合），点分别为的中点，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可得，当时，最短，即最小，利用勾股定理和等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点分别为的中点， 是的中位线， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， 的最小值为． 5．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理求出，接着证明是等腰三角形，求出，然后根据即可求解． 【详解】解：点D，E分别是边的中点， 是的中位线． ， ，， 又为的平分线， ． ． ． 6．如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的性质、角平分线的定义和平行线的性质，解题关键是利用中位线定理得到线段平行与长度关系，再结合角平分线与等腰三角形的判定求解．先利用中位线定理求的长度，再利用平行线与角平分线的性质求的长度，最后计算． 【详解】解：已知是的中位线，根据中位线定理： ，且， 是的中点，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ， ， ． 7．如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】①先根据角平分线和平行四边形的性质推出，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 中，， ，故②正确； ③由②知：， ，故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ，故④错误； 8．如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为． 9．如图，在四边形中，对角线，交于点O．，，M，N分别为，的中点，连接分别交，于G，H，延长至点E，使得，连接．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，与交于点，根据三角形的中位线定理，推出为等边三角形，得到，证明为等边三角形，得到，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形，推出为等边三角形，根据三角形的三边关系，以及大边对大角，判断C，D即可. 【详解】解：如图1，取的中点，连接，，与交于点，则，，，， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴，∴A正确，B错误； 如图2，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ，即为等边三角形， 在中，， ，∴C正确； ， ， ，∴D正确． 10．已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题易证，得到，，再根据中点构造中位线，取中点G，易证为等边三角形，进而求出，由的面积求出的长度，即可得解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 如图，取中点G，连接、， ∵的中点为N，中点为M， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 2、 填空题 11．如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线 ， ∴． 12．如图，为的中位线，点F在上，已知，，且．若，则______． 【答案】35 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及，进而求出的长，结合D为中点可得，利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】为的中位线， 且， ，， D为中点， ， ， ． 13．如图，为等腰三角形，，点M，N分别为中点，点D、E在边上，且，连接，则图中阴影部分的面积为________________． 【答案】6 【分析】过点作，勾股定理求出的长，根据三角形的中位线定理，求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N分别为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 观察可知，阴影部分的面积等同于底边为，高为的三角形的面积， ∴阴影部分的面积． 14．如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    【答案】 2 【分析】连接，取的中点，连接，先由旋转的性质及等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得点的轨迹为射线，且，当时，最短，即可求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接，      线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等腰三角形， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 点的轨迹为射线，且， ∴当时，最短， 是边长为的等边三角形， ， 点为的中点， ， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为2． 15．如图，点为中边中点，为中点，交于，若，，，则的长为___________． 【答案】4 【分析】过点作交于点，作交于点，则四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，再证明，从而得出点是的中点，即是的中位线，由三角形中位线的性质可得，延长到点，令，则四边形为平行四边形，得出，，过点作于，结合勾股定理求出，过点作于点，则，得出，证明为等腰三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵点为中边中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 延长到点，令， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 过点作于，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 3、 解答题 16．如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【详解】证明：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是延长线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 17．如图，D是内一点，连接，，E，F，G，H分别是边上的中点，求四边形的周长． 【答案】22 【分析】先根据勾股定理求出，再说明是对应三角形的中位线，并求出它们的长度，则此题可解． 【详解】解：， ，， ，F，G，H分别是边上的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形的周长． 18．在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得出，，证明为的中位线，根据中位线的性质得出，，根据线段间的关系，即可证明结论． 【详解】证明：连接并延长，与的延长线交于点，如图所示： ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 19．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 20．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形的中位线 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 三角形的中位线 考点梳理 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 典例引领 考向01 与三角形中位线有关的求解问题 【例1】如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（   ） A．6 B．8 C． D．3 考向02 与三角形中位线有关的证明 【例2】如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 考向03 三角形中位线的实际应用 【例3】如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】若三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是______． 【对点2】在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【对点3】如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，，，点是边上一点．点为边上的动点（不与点重合），点分别为的中点，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 5．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 7．如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 8．如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 9．如图，在四边形中，对角线，交于点O．，，M，N分别为，的中点，连接分别交，于G，H，延长至点E，使得，连接．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 12．如图，为的中位线，点F在上，已知，，且．若，则______． 13．如图，为等腰三角形，，点M，N分别为中点，点D、E在边上，且，连接，则图中阴影部分的面积为________________． 14．如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    15．如图，点为中边中点，为中点，交于，若，，，则的长为___________． 3、 解答题 16．如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 17．如图，D是内一点，连接，，E，F，G，H分别是边上的中点，求四边形的周长． 18．在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 19．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 20．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $