6.3三角形的中位线 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦“三角形中位线定理”核心知识点，系统梳理定理内容（中位线平行于第三边且等于第三边的一半）及几何语言表述，衔接三角形中点性质、平行四边形判定等前置知识，为后续梯形中位线、复杂几何证明等内容搭建学习支架。 资料通过12道选择、8道填空及2道解答题覆盖基础应用到综合拓展，如测量池塘距离、工件内槽宽等实际情境题培养数学眼光，证明题与动点问题发展推理意识，课中助力分层教学，课后可通过多样题型帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第6章第3节 三角形的中位线 题型1 三角形中位线定理 ▉题型1 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 1．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝6，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【解答】解：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6， ∴，OB＝OD， ∵CE＝1， ∴OE＝OC﹣CE＝3﹣1＝2， ∵OB＝OD，EF＝DE， ∴OE是△DBF的中位线， ∴BF＝2OE＝4． 故选：D． 2．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　） A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm 【答案】D 【解答】解：连接BC， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∴BC＝2DE， ∵DE＝40cm， ∴BC＝80cm， ∴B，C两点的距离为80cm． 故选：D． 3．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　） A．30米 B．32米 C．36米 D．48米 【答案】B 【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝16米， ∴AB＝32米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B． 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④，其中说法正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2DO． ∵BD＝2AD， ∴DO＝AD． ∵E为OA中点， ∴ED⊥CA． 故①正确． ②∵ED⊥CA，G是CD中点， ∴． ∵E、F分别是OA、OB中点， ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD． ∴EF＝EG． 故②正确． 如图所示，连结FG和BE． ③如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵E、F分别是OA、OB中点， ∴AB∥EF． ∴CD∥EF，即EF∥DG． ∵，， ∴EF＝DG． ∴四边形EFGD是平行四边形． ∴． 故③正确． ④∵四边形EFGD是平行四边形， ∴S△EFD＝S△EDG， 又∵G为CD的中点， ∴，故④正确 故选：D． 5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵BC＝10，BF＝4， ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣4＝6， ∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEFC6＝3． 故选：B． 6．如图，在四边形ABCD中，点M是AD上动点，点N是CD上一定点，点E、F分别是BM、NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（　　） A．线段EF的长度逐渐减小 B．线段EF的长度逐渐增大 C．线段EF的长度不改变 D．线段EF的长度不能确定 【答案】C 【解答】解：连接NB，如图所示， ∵点E、F分别是BM、NM的中点， ∴， ∵点N是CD上一定点，B是定点，BN的长度不变， ∴EF的长度不改变， 故选：C． 7．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝12，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，AB＝10，BC＝12， ∴，， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB＝5， ∴EF＝DE﹣DF＝6﹣5＝1； 故选：A． 8．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设BD的中点为M，连接EM，FM，如图所示： ∵点E，F分别是AD，BC边的中点， ∴ME是△ABD的中位线，NF为△BCD的中位线， ∴MEAB，ME∥AB，MFCD，MF∥CD， ∵AB＝2，CD＝2， ∴ME，MF， ∵ME∥AB，MF∥CD， ∴∠EMD＝∠ABD，∠DMF+∠BDC＝180°， 又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°， ∴∠EMD＝30°，∠DMF＝60°， ∴∠EMF＝∠EMD+∠DMF＝90°， 在Rt△MEF中，由勾股定理得：EF2√2． 故选：A． 9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴， ∵BC＝8， ∴DE＝4． 故选：A． 10．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB＝10，BC＝16， ∴DE为△ABC的中位线， ∴， ∵∠AFB＝90°，点D为AB的中点， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3， 故选：B． 11．如图，点D是△ABC内一点，且BD⊥CD，连接AD．若点E、F、G、H分别为线段AB、AC、CD、BD的中点，且AD＝13，CD＝6，BD＝8，则图中阴影部分的周长为（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】A 【解答】解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 由勾股定理得：BC10， ∵点E、F、G、H分别为线段AB、AC、CD、BD的中点， ∴EF、FG、GH、EH分别为△ABC、△ADC、△BDC、△ABD的中位线， ∴EFBC＝5，FGAD，GHBC＝5，EHAD， ∴阴影部分的周长为：EF+FG+GH+EH＝5523， 故选：A． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值， 理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∴AC•BC， ∴， ∴CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM， 即DE的最小值是， 故选：B． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵D、E分别为CA、CB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴∠DFA＝∠FAB， ∵AF平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DF＝ADAC3． ∴EF＝DE﹣DF＝1， 故答案为：1． 14．如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝6，若E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，AD＝7，BC＝6， ∴，． ∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC． ∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝7+6＝13． 故答案为：13． 15．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至点F，使，若BC＝8，则DF的长为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC8＝4， ∵EFDF， ∴DEDF， ∴DF＝6． 故答案为：6． 16．如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点．经测得CD＝5.5cm，则该工件内槽宽AB的长为　11　 cm． 【答案】11 【解答】解：∵把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点，CD＝5.5cm， ∴CD是△OAB的中位线， ∴AB＝2CD＝2×5.5＝11（cm）． 故答案为：11． 17．如图，为了测量池塘B，C两地的距离，圆圆在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并分别取AB，AC的中点M，N，连接MN．若测得MN的长为5米，则池塘B，C两地的距离为 　10　 米． 【答案】10． 【解答】解：∵M、N分别是AB、AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴BC＝2MN＝2×5＝10（米）， 故答案为：10． 18．如图，在△ABC中，BD垂直平分AC，点F在BC，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若AB＝9，BF＝DE，则DE的长为 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：∵BD垂直平分AC， ∴AB＝BC＝9，且D为AC中点． ∵E为AF的中点， ∴DE是△ACF的中位线， ∴CF＝2DE， ∵BF＝DE， ∴BC＝BF+CF＝DE+2DE＝9， ∴DE＝3． 故答案为：3． 19．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　5　 ． 【答案】5 【解答】解：延长BP与AC相交于D， 因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP 所以△ABP≌△APD（ASA）， 于是AB＝AD＝12，BP＝PD 又∵M是BC边的中点 故PM∥AC 所以PM＝DC10＝5 故MP的长为5． 故答案为5． 20．如图，在△ABC中，AB＝6，点D、E分别是AB、AC的中点，点M在DE上，且ME，当AM⊥BM时，则BC的长为　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵AM⊥BM， ∴∠AMB＝90°， ∵点D是AB的中点，AB＝6， ∴DMAB6＝3， ∵MEDM， ∴ME＝1， ∴DE＝DM+ME＝3+1＝4， ∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝8， 故答案为：8． 21．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC； 【应用】连接BD，如图所示， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°； 【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）， 同理可得NH∥BD且NHBD． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 22．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DHDC， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝22． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章第3节 三角形的中位线 题型1 三角形中位线定理 ▉题型1 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 1．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝6，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 2．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　） A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm 3．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　） A．30米 B．32米 C．36米 D．48米 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④，其中说法正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在四边形ABCD中，点M是AD上动点，点N是CD上一定点，点E、F分别是BM、NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（　　） A．线段EF的长度逐渐减小 B．线段EF的长度逐渐增大 C．线段EF的长度不改变 D．线段EF的长度不能确定 7．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝12，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 8．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．如图，点D是△ABC内一点，且BD⊥CD，连接AD．若点E、F、G、H分别为线段AB、AC、CD、BD的中点，且AD＝13，CD＝6，BD＝8，则图中阴影部分的周长为（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为　　 ． 14．如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝6，若E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 　　 ． 15．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至点F，使，若BC＝8，则DF的长为 　　 ． 16．如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点．经测得CD＝5.5cm，则该工件内槽宽AB的长为　　 cm． 17．如图，为了测量池塘B，C两地的距离，圆圆在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并分别取AB，AC的中点M，N，连接MN．若测得MN的长为5米，则池塘B，C两地的距离为 　　 米． 18．如图，在△ABC中，BD垂直平分AC，点F在BC，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若AB＝9，BF＝DE，则DE的长为 　　 ． 19．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　　 ． 20．如图，在△ABC中，AB＝6，点D、E分别是AB、AC的中点，点M在DE上，且ME，当AM⊥BM时，则BC的长为　　 ． 21．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG． 求证：BD＝AC． 22．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $