精品解析：广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期数学期中考试试题

广州市第六中学2024级高二下学期数学期中考试 命题人：曹晶晶 晏子旭 审题人：刘旭升 本试卷共2页，19道题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用排列数公式即可求解. 【详解】． 2. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 3. 一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出． 【详解】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础． 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】函数，求导得，则， 由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得， 即，所以. 5. 2026年4月12日，广州市第六中学举办了“科技赋能·创享未来”科技节，本次科技节亮点纷呈，趣味满满.为保证活动顺利进行，学校安排了4名高二志愿者分别到体育馆二楼、三航馆、阶梯报告厅3个场馆为参观的同学们提供指引，要求每名志愿者只能选择一个场馆，每个场馆至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式求解. 【详解】将4名志愿者分成3组有种分法，再将每种分法的3组分配到3个场馆有种方法， 所以不同的分配方案有种. 6. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 7. 已知，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等式左右两边的系数相等列式得解. 【详解】显然展开式中没有项，而展开式中含的项为， 因此，解得，经验证符合题意，所以. 8. 已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可知，有且只有一个解，因为是它的唯一解，所以方程在上无解，利用导数判断函数在上的单调性，即可求出． 【详解】由题意知函数的定义域为， 因为恰有一个极值点为，所以有且只有一个解，即是它的唯一解，也就是说另一个方程无解.令，则，所以函数在上单增，从而，所以，当时，无解，恰有一个极值点，所以实数的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 D. 可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法共有96种 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全排列列式计算判断A；利用分步乘法计数原理计算判断B；利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理计算判断C；利用排除法列式计算判断D. 【详解】对于A，没有空盒子的方法共有种，A正确； 对于B，可以有空盒子的方法共有种，B错误； 对于C，没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子有种，C正确； 对于D，可以有空盒子且1号球和2号球放在一个盒子的方法有种， 因此可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法有种，D错误. 10. 定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 的值是19 C. 函数有三个零点 D. 过只可以作两条直线与图象相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意求一次导数，再求二次导数，得到方程组，解出可得A正确；利用对称性得到，再仿写求和即可得到B正确；求导后分析极大值和极小值，再由结合单调性可得C错误；设出切点，由导数的意义和点斜式得到切线方程，再代入切点，解出方程即可得到D正确； 【详解】对于A，因为， 所以， 所以， 由题意可得，即， 解得，故A正确； 对于B，因为的对称中心为， 所以， 设， 仿写得到， 两式相加得到， 所以，故B正确； 对于C，由A可得， 所以， 令，解得或2， 所以，当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以在取得极大值，在处取得极小值， 又，， 且， 所以有一个零点，故C错误； 对于D，设切点为， 则切线方程为， 又切线过点， 所以， 化简可得，即， 解得或， 即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的切线只有2条，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于对于函数新定义的理解后得到方程组解得；本题D选项关键在于设出切点，利用导数的意义得到切线方程，再解出方程的根，其中分解因式较为关键. 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算判断AB；求导并赋值计算判断C；求出并利用组合数公式对裂项，进而求和判断D. 【详解】对于B，，B正确； 对于A，，A错误； 对于C，求导得， 因此，C正确； 对于D，依题意，， 又 ， 因此 ，D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量X的分布列为（，4，7），则______． 【答案】4 【解析】 【详解】依题意，. 13. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】由题意得，令函数，而， 求导得， 则函数在上单调递增，， 不等式，因此， 所以x的范围为. 14. 用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种． 【答案】264 【解析】 【分析】根据给定条件，按用4色、3色分类，再利用排列计数问题及分步乘法计数原理列式求解. 【详解】用4种颜色涂，涂点有种方法，从中选一点涂第四种颜色有种方法， 涂余下两点有3种方法，不同涂色方法有种； 用3种颜色涂，涂点有种方法，再涂点有2种方法，不同涂色方法有种， 所以所求涂色方法种数为. 三、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 16. 已知是椭圆C：的左焦点，椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为且过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，其中A在x轴上方，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N，P两点，记，的面积分别为，，求的值． 【答案】（1）； （2）12. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解. （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的坐标，进而求出线段中垂线方程，并求出点，再利用直角三角形边角关系及三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为，设， 由消去并整理得，则，点， 线段中垂线方程为，令，得， 而，， 所以. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 易知． 因为是的中点，点是的中点， 所以，． ，． 设平面的法向量为， 则得 取，则，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知数列的首项为1，设，. （1）若为常数列，求的值； （2）若为公比为2的等比数列，求的解析式； （3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由. 【答案】（1）15；（2）；（3）能，. 【解析】 【分析】(1)根据为常数列，代入可求得的表达式； (2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解； (3)先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论. 【详解】(1)因为为常数列，所以. ， 所以. (2)因为为公比为2的等比数列，. 所以， 所以， 故. (3)假设存在等差数列，使得对一切都成立， 设公差为，则 相加得 所以. 所以恒成立， 即恒成立，所以 故能为等差数列，使得对一切都成立， 它的通项公式为. 19. 设的定义域为，． （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明： （ⅰ）； （ⅱ），，． 【答案】（1）； （2） （ⅰ）当时，，， 令， 求导得，函数在上单调递增，则， 即在内恒成立， 因此在上单调递增，， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得，当时，，当且仅当时取等号， 即，令，则， 当时，， 于是，，，， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按和分类确定函数的单调性，进而求出最小值. （2）（ⅰ）求出函数的导数并确定单调性，再求出最小值即可得证；（ⅱ）由（ⅰ）的结论赋值，再利用放缩法及裂项相消法推理得证. 【小问1详解】 当时，，求导得， 当时，则，函数在上单调递增， 当时，令，求导得，函数在上单调递增， 由，得，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第六中学2024级高二下学期数学期中考试 命题人：曹晶晶 晏子旭 审题人：刘旭升 本试卷共2页，19道题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则 A. B. C. D. 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 2026年4月12日，广州市第六中学举办了“科技赋能·创享未来”科技节，本次科技节亮点纷呈，趣味满满.为保证活动顺利进行，学校安排了4名高二志愿者分别到体育馆二楼、三航馆、阶梯报告厅3个场馆为参观的同学们提供指引，要求每名志愿者只能选择一个场馆，每个场馆至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 6. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有128种 C. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 D. 可以有空盒子且1号球和2号球不放在一个盒子里的方法共有96种 10. 定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 的值是19 C. 函数有三个零点 D. 过只可以作两条直线与图象相切 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量X的分布列为（，4，7），则______． 13. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 14. 用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种． 三、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 16. 已知是椭圆C：的左焦点，椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为且过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，其中A在x轴上方，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N，P两点，记，的面积分别为，，求的值． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的首项为1，设，. （1）若为常数列，求的值； （2）若为公比为2的等比数列，求的解析式； （3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由. 19. 设的定义域为，． （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明： （ⅰ）； （ⅱ），，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $