第九章 因式分解复习讲义（例题+变式训练+答案解析）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

苏科版数学八年级下册 第九章《因式分解》单元复习讲义 姓名：________　班级：________　日期：________ 一、知识导图 因式分解是苏科版八年级下册第9章的核心内容，新教材（2024版）将因式分解分为三节：9.1 因式分解的概念、9.2 提公因式法、9.3 公式法（含平方差公式、完全平方公式及综合运用）。 知识结构： 1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（分解因式）。因式分解与整式乘法是互逆过程。 2. 因式分解的方法： 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c) 公式法： 平方差公式：a² − b² = (a + b)(a − b) 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 十字相乘法：x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 3. 因式分解的一般步骤：一提（提公因式）→ 二套（套用公式）→ 三查（检查是否分解彻底）。 4. 注意事项：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止；结果中各因式首项系数通常为正数。 二、考点精讲与例题解析 本章重点考查四大块内容：因式分解的概念辨析、提公因式法、公式法（平方差公式与完全平方公式）、十字相乘法，以及综合运用。以下分节讲解，每节包含典型例题和变式训练。 第一节　因式分解的概念辨析 考点说明： 判断一个变形是否属于因式分解，关键看两点：①变形后必须是乘积形式；②每个因式必须是整式，且不能再分解。 【基础·例题1】下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　） A．x(a − b) = ax − bx B．x² − 3x + 1 = x(x − 3) + 1 C．x² − 4 = (x + 2)(x − 2) D．m² + 2m = m(m + 2)² 【解析】 根据因式分解的定义来判断：第一步——A是单项式乘多项式，是整式乘法，不是因式分解。第二步——B的结果中含有加法运算，不是乘积形式，不是因式分解。第三步——C是平方差公式的逆用，(x + 2)(x − 2)是乘积形式，且两个因式都是整式。第四步——D中m(m + 2)² = m(m² + 4m + 4)，而原式是m² + 2m，两者不相等，错误。故答案为C。 【方法归纳】 因式分解的判定三标准：①左边是多项式，右边是乘积；②乘积中各项必须是整式；③左右两边数值相等。 变式训练1：下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　） A．m² − 4 + m = (m + 2)(m − 2) + m B．m² − 5 = m(m − ) C．x² − 2x − 1 = (x − 1)² D．a²b + ab² = ab(a + b) 【解析】 A右边不是乘积形式；B中含分式，不是整式；C展开(x − 1)² = x² − 2x + 1，而左边是x² − 2x − 1，两边不相等；D提公因式正确，且a和b都是正整数时结果仍为整式乘积，正确。 变式训练2：下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　） A．2x² + 4x = 2x(x + 2) B．x² − y² − 1 = (x + y)(x − y) − 1 C．(a − b)² = a² − 2ab + b² D．x² + 3x + 2 = x(x + 3) + 2 【答案】 A 【解析】 A：提公因式2x得2x(x + 2)，符合因式分解定义。B：右边含减号，不是乘积形式。C：是整式乘法展开。D：右边含加法，不是乘积形式。 变式训练3：下列因式分解正确的是（　） A．x² − 9 = (x + 3)(x − 3) B．2xy + 4x = 2(xy + 2x) C．x² − 2x − 1 = (x − 1)² D．x² + y² = (x + y)² 【答案】 A 【解析】 A：平方差公式，正确。B：括号内仍可分解，未分解彻底。C：(x − 1)² = x² − 2x + 1 ≠ x² − 2x − 1，错误。D：应为x² + 2xy + y²才能用完全平方公式。 第二节　提公因式法 考点说明： 公因式的确定分为三步：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；指数取该字母在各同类项中的最低次幂。提公因式后，括号内各项应无公因式，且首项系数通常为正。 【基础·例题2】分解因式：15x³y³ + 5x²y − x²y³ 【解析】 第一步（找公因式） ——系数：15、5、−1，最大公约数为1（符号处理，先提取正公因式时括号内保留负号）。字母：各项都含x和y，x的最低次数为2，y的最低次数为1。故公因式为x²y。 第二步（提公因式） —— 15x³y³ ÷ x²y = 15xy² 5x²y ÷ x²y = 5 −x²y³ ÷ x²y = −y² 第三步——原式 = x²y(15xy² + 5 − y²)。【答案】 x²y(15xy² + 5 − y²) 变式训练1：将多项式x⁴ + x³ + x²分解因式，结果为（　） A．x²(x² + x) B．x²(x² + x + 1) C．x(x³ + x² + x) D．x³(x + 1 + x⁻¹) 【答案】 B 【解析】 公因式为x²：x⁴ ÷ x² = x²，x³ ÷ x² = x，x² ÷ x² = 1， ∴原式 = x²(x² + x + 1)。 变式训练2：分解因式：2a(b + c) − 3(b + c) 【答案】 (b + c)(2a − 3) 【解析】 将(b + c)看作整体提取公因式，即公因式为(b + c)。 注意括号内是2a − 3，不是(2a − 3)(b + c)。 变式训练3：分解因式：3a(x − y) − 6b(y − x) 【答案】 3(x − y)(a + 2b) 【解析】 注意y − x = −(x − y)， ∴原式 = 3a(x − y) − 6b[−(x − y)] = 3a(x − y) + 6b(x − y) = 3(x − y)(a + 2b)。 第三节　公式法——平方差公式 考点说明： 平方差公式a² − b² = (a + b)(a − b)适用于二项式，特点是两项均为平方项且符号相反。识别平方项是解题的关键。 【中等·例题3】分解因式：3m³ − 12m 【解析】 第一步（提公因式） ——公因式为3m。原式 = 3m(m² − 4)。 第二步（套平方差公式） ——m² − 4 = m² − 2² = (m + 2)(m − 2)。 第三步（检查） ——各因式已不能再分解，结果为3m(m + 2)(m − 2)。 【答案】 3m(m + 2)(m − 2) 变式训练1：分解因式：4x⁴ − 64y⁴ 【答案】 4(x² + 4y²)(x + 2y)(x − 2y) 【解析】 原式 = 4(x⁴ − 16y⁴) = 4[(x²)² − (4y²)²] = 4(x² + 4y²)(x² − 4y²) = 4(x² + 4y²)(x + 2y)(x − 2y)。注意x² − 4y²可继续分解，x² + 4y²在实数范围内不能再分解。 变式训练2;分解因式：(a − b)² − 4b² 【答案】 (a − 3b)(a + b) 【解析】 将a − b看作整体A，则原式 = (a − b)² − (2b)² = [(a − b) + 2b][(a − b) − 2b] = (a + b)(a − 3b)。 变式训练3:分解因式：25 − (x + 2y)² 【答案】 (5 + x + 2y)(5 − x − 2y) 【解析】 原式 = 5² − (x + 2y)² = [5 + (x + 2y)][5 − (x + 2y)] = (5 + x + 2y)(5 − x − 2y)。 第四节　公式法——完全平方公式 考点说明： 完全平方公式a² ± 2ab + b² = (a ± b)²适用于三项式。识别要点：“首平方、尾平方，首尾两倍中间放”——先看有无两个平方项，再验证中间项是否等于两平方项底数乘积的 ±2倍。 【中等·例题4】分解因式：9x² + 12x + 4 【解析】 第一步（识别平方项） ——9x² = (3x)²，4 = 2²，这两个是平方项。 第二步（验证中间项） ——2 × 3x × 2 = 12x，恰好等于中间项。 第三步（套公式） ——原式 = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² = (3x + 2)²。 【答案】 (3x + 2)² 变式训练1:分解因式：4a² − 4a + 1 【答案】 (2a − 1)² 【解析】 4a² = (2a)²，1 = 1²，2 × 2a × 1 = 4a，中间项为−4a = −2 × 2a × 1，∴原式 = (2a − 1)²。 变式训练2:分解因式：−2ab − a² − b² 【答案】 −(a +b)² 【解析】 原式 = −(a² + 2ab + b²) = −(a + b)²。注意：先把它变成一个正平方和的形式再做。技巧：原式 = −(a² + 2ab + b²) = −(a + b)²。 变式训练3:分解因式：x² − x + 【答案】 (x − )² 【解析】 x² = x²，()² = ，2 × x × = x，中间项为−x = −2 × x × ， ∴原式 = (x − )²。 第五节　十字相乘法 考点说明： 十字相乘法适用于二次三项式x² + px + q或ax² + bx + c（a ≠ 1）。关键在于将常数项q分解为两个数的乘积，使这两个数的和等于一次项系数p。二次项系数不为1时，需对二次项系数和常数项分别竖分，交叉相乘后相加等于一次项系数。 【中等·例题5】分解因式：x² − 7x + 12 【解析】 第一步（竖分二次项和常数项） —— 二次项系数1：1 = 1 × 1 常数项12：需分解为两个同号数（乘积为正），且和为−7（负）。 尝试分解：12 = (−3) × (−4) 第二步（交叉相乘检验） 1 × (−4) = −4，1 × (−3) = −3 交叉积之和：(−4) + (−3) = −7 = 一次项系数，符合。 第三步（横写因式） ——原式 = (x − 3)(x − 4)。 【答案】 (x − 3)(x − 4) 变式训练1:分解因式：x² − 2x − 15 【答案】 (x − 5)(x + 3) 【解析】 常数项−15，需分解为异号两数：(−5)和3，(−5) + 3 = −2，(−5) × 3 = −15，符合条件，故原式 = (x − 5)(x + 3)。 变式训练2:分解因式：2x² + 7x + 3 【答案】 (2x + 1)(x + 3) 【解析】 二次项系数2 = 2 × 1，常数项3 = 1 × 3。交叉相乘：2 × 3 = 6，1 × 1 = 1，6 + 1 = 7，符合。故原式 = (2x + 1)(x + 3)。 变式训练3:分解因式：6x² + 13x + 5 【答案】 (2x + 1)(3x + 5) 【解析】 6 = 2 × 3，5 = 1 × 5。交叉相乘：2 × 5 = 10，3 × 1 = 3，10 + 3 = 13，符合。故原式 = (2x + 1)(3x + 5)。 第六节　分组分解法 考点说明： 分组分解法适用于四项及以上的多项式。核心思路是将多项式适当分组，使每组能分别进行因式分解，然后再提取各组之间的公因式。常见分组方式有两种：①按字母分组；②按能否套用公式分组（如一三分组或二二分组）。分组后若出现相同因式则提出，否则需调整分组方式。 【中等·例题6】分解因式：am + an + bm + bn 【解析】 第一步（观察） ——四项式，没有整体公因式，考虑分组。 第二步（分组） ——按字母分组：前两项含a，后两项含b。 am + an + bm + bn = (am + an) + (bm + bn) 第三步（组内分解） 第一组：a(m + n)；第二组：b(m + n)。 第四步（提取组间公因式） ——原式 = (m + n)(a + b)。 【答案】 (a + b)(m + n) 【中等·例题7】分解因式：x² − y² + ax + ay 【解析】 第一步——观察四项，无整体公因式。 第二步——按公式特征分组：前三项x² − y²可用平方差公式分解，后两项ax + ay可提公因式。 原式 = (x² − y²) + (ax + ay) 第三步——组内分解： x² − y² = (x + y)(x − y)；ax + ay = a(x + y) 第四步——提取组间公因式(x + y)： 原式 = (x + y)(x − y) + a(x + y) = (x + y)[(x − y) + a] = (x + y)(x − y + a) 【答案】 (x + y)(x − y + a) 【提优·例题8】分解因式：x² + 2xy + y² − 4 【解析】 第一步——四项式，无整体公因式。 第二步——前三项x² + 2xy + y² = (x + y)²（完全平方公式），与−4构成平方差形式。 原式 = (x + y)² − 4 = (x + y)² − 2² 第三步——运用平方差公式：a² − b² = (a + b)(a − b)，其中a = x + y，b = 2。 原式 = [(x + y) + 2][(x + y) − 2] = (x + y + 2)(x + y − 2) 【答案】 (x + y + 2)(x + y − 2) 变式训练1：分解因式：ax − ay + bx − by 【答案】 (a + b)(x − y) 【解析】 原式 = (ax − ay) + (bx − by) = a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b)。 变式训练2：分解因式：x² − a² − 2ab − b² 【答案】 (x + a + b)(x − a − b) 【解析】 原式 = x² − (a² + 2ab + b²) = x² − (a + b)² = [x + (a + b)][x − (a + b)] = (x + a + b)(x − a − b)。注意：先识别后三项为完全平方式，再与第一项构成平方差。 变式训练3：分解因式：ab − ac + bd − cd 【答案】 (a + d)(b − c) 【解析】 原式 = (ab − ac) + (bd − cd) = a(b − c) + d(b − c) = (b − c)(a + d)。 变式训练4:分解因式：m² − 2mn + n² − p² 【答案】 (m − n + p)(m − n − p) 【解析】 原式 = (m² − 2mn + n²) − p² = (m − n)² − p² = (m − n + p)(m − n − p)。 变式训练5:分解因式：x² − y² − x − y 【答案】 (x + y)(x − y − 1) 【解析】 原式 = (x² − y²) − (x + y) = (x + y)(x − y) − (x + y) = (x + y)(x − y − 1)。 变式训练6:分解因式：3x² − 3y² − x + y 【答案】 (x − y)(3x + 3y − 1) 【解析】 原式 = 3(x² − y²) − (x − y) = 3(x + y)(x − y) − (x − y) = (x − y)[3(x + y) − 1] = (x − y)(3x + 3y − 1)。 第七节　综合运用（提优） 考点说明： 中考和期末考试的综合性题目，通常需要先提公因式，再用平方差公式或完全平方公式二次分解，有时还需要用到分组分解、换元法等技巧。这类题目也是区分优秀和中等生的关键。 【提优·例题9】 分解因式：(m + n)² − 6(m + n) + 9 【解析】 第一步（观察结构） ——令t = m + n，则原式 = t² − 6t + 9。 第二步（识别公式） ——t² = t²，9 = 3²，2 × t × 3 = 6t，中间项−6t = −2 × t × 3，符合完全平方公式。 第三步（套公式） ——t² − 6t + 9 = (t − 3)²。 第四步（还原变量） ——将t = m + n代入，得(m + n − 3)²。 【答案】 (m + n − 3)² 变式训练1:分解因式：x² − y² − x − y 【答案】 (x + y)(x − y − 1) 【解析】 原式 = (x² − y²) − (x + y) = (x + y)(x − y) − (x + y) = (x + y)[(x − y) − 1] = (x + y)(x − y − 1)。先对前三项用平方差公式，再提取公因式(x + y)——这叫做“先分组，再分解”。 变式训练2:分解因式：3ax² − 3ay² 【答案】 3a(x + y)(x − y) 【解析】 原式 = 3a(x² − y²) = 3a(x + y)(x − y)。先提公因式3a，再用平方差公式。 变式训练3:分解因式：(x² + 2x)² − 2(x² + 2x) − 3 【答案】 (x + 1)²(x + 3)(x − 1) 【解析】 令t = x² + 2x，则原式 = t² − 2t − 3。十字相乘：t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1)。还原：[(x² + 2x) − 3][(x² + 2x) + 1] = (x² + 2x − 3)(x² + 2x + 1)。继续分解：x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)，x² + 2x + 1 = (x + 1)²。故结果为(x + 3)(x − 1)(x + 1)²。 注意：换元后得到的因式仍可能继续分解，务必检查到底。 第八节　因式分解的应用（提优） 【提优·例题10】 已知xy = 2，x − 3y = 3，求代数式2x³y − 12x²y² + 18xy³的值。 【解析】 原式 = 2xy(x² − 6xy + 9y²) = 2xy(x − 3y)² = 2 × 2 × 3² = 36。 【答案】 36 变式训练1:已知a + b = 3，ab = 2，求a³b + 2a²b² + ab³的值。 【答案】 18 变式训练2:若x² + y² + 2x − 4y + 5 = 0，求x − y的值。 【答案】 −3 变式训练3:已知一个等腰三角形的两边m、n满足9m² − n² = −13，3m + n = 13，求该等腰三角形的周长。 【答案】 16 3、 方法总结 分组后常见处理： 1.各组均提公因式 → 再提组间公因式 2.一组用平方差，另一组提公因式 → 再提组间公因式 3. 一组用完全平方，再与另一组构成平方差 因式分解基本流程： 提取公因式 → 二项式？→ 平方差公式 三项式？→ 完全平方公式/十字相乘法 四项及以上？→ 分组分解法 → 检查是否分解彻底 常见错误提醒： 1. 不先提公因式就直接套公式，导致分解不彻底； 2. 平方差公式用错（如把a² + b²用平方差公式分解）； 3. 完全平方公式中间项的 ±2倍关系判断失误； 4. 十字相乘法只记结果不验证； 5. 分组分解法分组后没有共同因式，未及时调整分组方式； 6. 分解后不检查每个因式是否还能继续分解。 4、 自我检测 用草稿纸完成后再对照 1 下列变形是因式分解的是：x² − 4x = ________ x(x − 4) 2 分解因式：a² − 9b² (a + 3b)(a − 3b) 3 分解因式：m² − 10m + 25 (m − 5)² 4 分解因式：x² + x − 6 (x + 3)(x − 2) 5 分解因式：2x³ − 8x 2024 2x(x + 2)(x − 2) 6 分解因式：4x² − 12xy + 9y² (2x − 3y)² 7 分解因式：x⁴ − 16 2025 (x² + 4)(x + 2)(x − 2) 8 分解因式：5x² + 17x − 12 (5x − 3)(x + 4) 9 已知a + b = 5，ab = 6，求a²b + ab² 30（原式=ab(a+b)=30） 10 分解因式：x² + 2xy + y² − 4 (x + y + 2)(x + y − 2) 学科网（北京）股份有限公司 $